电磁感应中的单杆模型

一、 单杆模型
【破解策略】 单杆问题是电磁感应与电路、力学、能量综合应用的体现，因此相关问题应从以下几个角度去分析思考：
(1)力电角度：与“导体单棒”组成的闭合回路中的磁通量发生变化→导体棒产生感应电动势→感应电流→导体棒受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……，循环结束时加速度等于零，导体棒达到稳定运动状态。

(2)电学角度：判断产生电磁感应现象的那一部分导体(电源)→利用
t N
E ∆∆=φ或BLv E =求感应动电动势的大小→利用右手定则或楞次定律判断电流方向→分析电路结构→画等效电路图。

(3)力能角度：电磁感应现象中，当外力克服安培力做功时，就有其他形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电能转化为其他形式的能。

00≠v 00=v
示
意
图
单杆ab 以一定初速度0v 在光滑水平轨道上
滑动，质量为m ，电阻不计，杆长为L
轨道水平、光滑，单杆ab 质量为m ，电阻不计，杆长为L
轨道水平光滑，杆ab 质量为m ，电阻不计，杆长为L ，拉力F 恒定
力 学 观 点
导体杆以速度v 切割磁感线产生感应电动势BLv E =，电流
R BLv
R E I =
=，安培力
R
v
L B BIL F 22==，做减速运动：↓↓⇒a v ，当0
=v 时，0=F ，0=a ，
杆保持静止
S 闭合，ab 杆受安培力
R BLE F =，此时mR BLE a =，杆ab 速度↑⇒v 感应电动势↓⇒↑⇒I BLv 安培力↓⇒=BIL F 加速度↓a ，当
E E =感时，v 最大，且2222L B BLIR L B FR v m ==BL E
=
开始时m F a =
，杆ab 速度↑⇒
v 感应电动势↑⇒
↑⇒=I BLv E 安培力↑=BIL F 安由a F F m =-安知↓a ，当0
=a 时，v 最大，22L B FR v m =
图 像 观 点
能 量 观 点
动能全部转化为内能： 2021mv Q = 电能转化为动能 2
21m mv W 电 F 做的功中的一部分转化为杆的动能，一部分产热：
22
1m F mv Q W +
= 1．如图12—2一l2所示，abcd 是一个固定的U 形金属框架，ab 和cd 边都很长，bc 长为l ，框架的电阻不计，ef 是放置在框架上与bc 平行的导体杆，它可在框架上自由滑动(摩擦可忽略)，它的电阻为R ，现沿垂直于框架平面的方向加一恒定的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向
垂直于纸面向里，已知当以恒力F 向右拉导体杆ef 时，导体杆最后匀速滑动，求匀速滑动时的速度．
2.两根光滑的足够长的直金属导轨MN 、''N M 平行置于竖直面内，导轨间距为L ，导轨上端接有阻值为Ｒ的电阻，如图１所示。

质量为m 、长度为L 、阻值为r 的金属棒ab 垂直于导轨放置，且与导轨保持良好接触，其他电阻不计。

导轨处于磁感应强度为B 、方向水平向里的匀强磁场中，ab 由静止释放，在重力作用下运动，若ab 从释放至其运动达到最大速度时下落的高度为h 求： (1)ab 运动的最大速度；
(2)ab 从释放至其运动达到最大速度此过程中金属棒产生的焦耳热为多少？ （3）ab 从释放至其运动达到最大速度的过程中，流过ab 杆的电荷量 （4）ab 从释放至其运动达到最大速度所经历的时间
3.两根光滑的足够长的直金属导轨MN 、''N M 平行置于竖直面内，导轨间距为L ，导轨上端接有阻值为Ｒ的电阻，如图１所示。

质量为m 、长度为L 、阻值为r 的金属棒ab 垂直于导轨放置，且与导轨保持良好接触，其他电阻不计。

导轨处于磁感应强度为B 、方向水平向里的匀强磁场中，ab 由静止释放，在重力作用下运动，若ab 从释放至其运动达到最大速度时所经历的时间为ｔ，求： (1)ab 运动的最大速度；
(2)ab 从释放至其运动达到最大速度此过程中金属棒产生的焦耳热为多少？ （3）ab 从释放至其运动达到最大速度的过程中，流过ab 杆的电荷量
4. 如图2所示，电源的电动势为E，内阻不计，ab棒电阻为R，长为L，U形支架足够长，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图2所示：
(1)分析ab棒从静止开始到最后的运动过程；
(2)ab棒是否有稳定的运动速度？若有，为多大？
5.如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ
的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻。

R
B
b
N
M
P
一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，并与导轨垂直。

整套装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上，导轨和金属杆的电阻可忽略。

让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，经过足够长的时间后，金属杆达到最大速度v m ，在这个过程中，电阻R 上产生的热为Q ，导轨和金属杆接触良好，它们之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan θ，已知重力加速度为g 。

（1）求磁感应强度的大小
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到m v 3
1时，求此时金属杆的加速度的大小； （3）求金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度。

6. 如图9所示，在与水平方向成︒=30θ角的平面内放置两条平行、光滑且足够长的金属轨道，其电阻可忽略不计。

空间存在着匀强磁场，磁感应强度B=0.2T ，方向垂直轨道平面向上。

导体棒ab 、cd
垂直于轨道放置，且与金属轨道接触良好构成闭合回路，每根导体棒的质量2
100.2-⨯=m kg 、
电阻Ω⨯=-2
100.5r ，金属轨道宽度50.0=l m 。

现对导体棒ab 施加平行于轨道向上的拉力，使之沿轨道匀速向上运动。

在导体棒ab 运动过程中，导体棒cd 始终能静止在轨道上。

g 取10m/s2，求：
(1)导体棒cd 受到的安培力大小； (2)导体棒ab 运动的速度大小； (3)拉力对导体棒ab 做功的功率。

变式、(淮安、连云港、宿迁、徐州四市2008第三次调研)
如图18所示，足够长的光滑平行金属导体cd 和ef ，水平放置且相距L ，在其左端各固定一个半径为r 的四分之三金属光滑圆环，两圆环面平行且竖直。

在水平导轨和圆环上各有一根与导轨垂直的金属杆，两金属杆与水平导轨、金属圆环形成闭合回路，两金属杆质量均为m ，电阻均为R ，其余电阻不计。

整个装置放在磁感应强度大小为B 、方向竖直向上的匀强磁场中。

当用水平向右的恒力mg F 3=拉细杆a ，达到匀速运动时，杆b 恰好静止在圆环上某处，试求： (1)杆a 做匀速运动时，回路中的感应电流； (2)杆a 做匀速运动时的速度； (3)杆b 静止的位置距圆环最低点的高度。

图18
7.如图所示，倾角θ=30°，宽度L=1m的足够长的U形平行光滑金属导轨，固定在磁
感应强度B=1T，范围充分大的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直.用平行于导轨、
功率恒为6W的牵引力F牵引一根质量m=O.2kg，电阻R=1omega放在导轨上的金属棒
ab，由静止开始沿导轨向上移动(ab始终与导轨接触良好且垂直)，当ab棒移动2.8m
时获得稳定
速度，在此过程中，金属棒产生的热量为5.8J(不计导轨电阻及一切摩擦，取g=10m
／s2)，求：该过程经历的时间
8.（08·北京·22）（16分）均匀导线制成的单位正方形闭合线框abcd，每边长
为L，总电阻为R，总质量为m。

将其置于磁感强度为B的水平匀强磁场上方h
处，如图所示。

线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始
终与水平的磁场边界平行。

当cd边刚进入磁场时，
（1）求线框中产生的感应电动势大小;
（2）求cd两点间的电势差大小;
（3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h所应满足的条件。

9.（09·福建·18）如图所示，固定位置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d，其右端接有
阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中。

一质量为m（质量分布均匀）的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为u。

现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动距离L时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）。

设杆接入电路的电阻为r，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。

则此过程（）
A.杆的速度最大值为
B.流过电阻R的电量为
C.恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量
D.恒力F做的功与安倍力做的功之和大于杆动能的变化量。