10.8超几何分布二项分布正态分布课件高三数学一轮复习
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CkMCnN－－kM P(X＝k)＝______C_nN_______，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则 m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如 果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第八节 超几何分布、二项分布、正态分布
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布 列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
【解】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校
_____1_0________.
【解析】 由题意知 X＝2 表示取出的 4 件产品中 2 件次品，故 P(X＝2)＝CC23·41C0 27＝130.
4．小王通4过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过 的概率是_____9_________．
【解析】 ＝49.
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__□1_1__0_.6_8_2_7_____. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__□_1_2_0_.9_5_4_5_____.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__□_1_3_0_.9_9_7_3_____.
提醒：(1)若 X1，X2 相互独立，则 E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (2)若 X～N(μ，σ2)，则 X 的均值与方差分别为 E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (3)“恰好发生 k 次”与“有指定的 k 次发生”不同：恰好发生 k 次的概率 P＝Cknpk(1 －p)n－k，有指定的 k 次发生的概率 P＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． (4)在 X～N(μ，σ2)中，随机变量 X 在 μ 的附近取值的概率很大，在离 μ 很远处取值的 概率很小．
3．两点分布与二项分布 (1)两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示“成功”， A 表示“失
败”，定义 X＝10， ，AA发发生生，， 如果 P(A)＝p，则 P( A )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1－p，那么 X 的分布列如下表所 示.
X01 P 1－p p 我们称 X 服从两点分布，或 0－1 分布． 若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝0.
P(X＝4)＝CC61C51044＝412.因此 X 的分布列为
X0 1 2 3 4
P
1 42
5 21
10 21
5 21
1 42
E(X)＝0×412＋1×251＋2×1201＋3×251＋4×412＝2.
考点二 独立重复试验与二项分布
【例 2】 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23.假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
______集__中______. 矮胖
②当 σ 较大时，峰值低，曲线“______________”，表示随机变量 X 的分布比较 分散
______________.
(5)若 X～N(μ，σ2)，则 E(X)＝_______μ_______，D(X)＝______□1_0__σ_2 ____.
(6)3σ 原则
4．正态曲线和正态分布 (1)正态曲线：函数 f(x)＝______________，x∈R，其中 μ∈R，σ>0 为参数，称为正 态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (2)正态分布：若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分 布，记为___X__～_N__(μ_，__σ_2_)_，特别地，当 μ＝0，σ＝1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布．
的概率均为23，故 X～B3，23，从而 P(X＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3. 所以，随机变量 X 的分布列为
【解】 (1)因为 20 人中答对第 5 题的人数为 4，
因此第 5 题的实测难度为240＝0.2，
所以，估计 240 人中有 240×0.2＝48 人实测答对第 5 题．
(2)X 的所有可能取值是 0,1,2.
P(X＝0)＝CC122260＝1129，P(X＝1)＝CC11622C0 14＝3925，P(X＝2)＝CC22240＝935.X 的分布列为
(2)二项分布的定义 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0<p<1)，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝____C_kn_p_k(_1_－__p_)n_－_k，k＝0,1,2，…，n，
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～ ____B__(n_，__p_)____.
(3)二项分布的均值与方差 如果 X～B(n，p)，那么 E(X)＝_______n_p______，D(X)＝_____n_p_(_1_－__p_)__.
提醒：超几何分布与二项分布的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要． (2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)．
『变式训练』 1．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方 法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心 理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列及数学期望．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)一个盒中装有 4 个黑球、3 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球 则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为 X，则 X 服从超几何分布．( × ) (2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…， n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布．( √ ) (3)正态曲线关于直线 x＝μ 对称，这个曲线在 x 轴上方．( √ ) (4)X 服从正态分布，通常用 X～N(μ，σ2)表示，其中参数 μ 和 σ2 分别表示 X 的均值和 方差．( √ )
X0
1
2
P
12 19
32 95
3 95
(3)将抽样的 20 名学生测试中第 i 题的实测难度作为 240 名学生测试中第 i 题的实测 难度．
列表如下： 题号 1 2 3 4 5
实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 S＝15×[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012. 因为 S＝0.012<0.05， 所以，该次测试的难度预估是合理的．
【解】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的事件为 M，则 P(M) ＝CC51480＝158.
(2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4，则 P(X＝0)＝CC15650＝412，P(X＝1)＝CC46C51014＝251， P(X＝2)＝CC63C51042＝1201，P(X＝3)＝CC62C51043＝251，
(3)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线______x_＝__μ_____对称．
1 ②曲线在 x＝μ 处达到峰值____σ__2_π_______.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴．
(4)参数 μ 和 σ 对正态曲线形状的影响 ①当 σ 较小时，峰值高，曲线“_____瘦__高_______”，表示随机变量 X 的分布比较
共 5 道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
12345
考前预估难度 Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1 2 3 45
实测答对人数 16 16 14 14 4
(1)根据题中数据，估计这 240 名学生中第 5 题的实测答对人数； (2)从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生，记这 2 名学生中答对第 5 题的人数为 X， 求 X 的分布列； (3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设 Pi′为第 i 题的实测难度，并定义统 计量 S＝1n[(P1′－P1)2＋(P2′－P2)2＋…＋(Pn′－Pn)2]，若 S<0.05，则本次测试的难度预 估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否合理．
【解析】 ∵X～N(100,4)∴P(98≤X≤104)＝0.6827＋0.9545－2 0.6827＝0.8186，∴质 量在[98,104]内的产品估计有 10000×0.8186＝8186(件)，故选 D.
3．在含有 3 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，X 表示取到的次品数，则 P(X＝2)＝ 3
2．已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分布 N(100,4)，现从该产 品的生产线上随机抽取 10000 件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( D )
(附：若 X 服从 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545) A．4093 件 B．4772 件 C．6827 件 D．8186 件
次品的 N M
件产品中，不放回地随机抽取
n
件产品的次品数．令
p＝MN ，则
E(X)＝
______N_·_n______＝_______n_p______.
2．伯努利试验 (1)伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． (2)n 重伯努利试验 ①定义：将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试 验． ②n 重伯努利试验的特征：同一个伯努利试验重复做 n 次， 各次试验的结果相互独 立．
易错点睛：(1)对正态分布 N(3,1)理解不准确致误． (2)相互独立事件同时发生与独立重复试验混淆致错．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 超几何分布
【例 1】 在测试中，客观题难度的计算公式为 Pi＝RNi，其中 Pi 为第 i 题的难度，Ri 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级 240 名学生进行一次测试，
由题意知，小王连续测试 3 次，恰有 1 次获得通过的概率为 C13·131－132
易错易混 5．已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(X≥4)＝0.1587，则 P(2<X<4)＝( A ) A．0.6826 B．0.3413 C．0.4603 D．0.9207
【解析】 ∵X～N(3,1)，且 P(X≥4)＝0.1587，∴P(2<X<4)＝1－2P(X≥4)＝1－ 2×0.1587＝1－0.3174＝0.6826，故选 A.
6．箱子里有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，
重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为( B )
35C45 14
B.593×49
C.35×14
D．C41×593×49
【解析】 由题意知，第 4 次取球后停止是当且仅当前 3 次取的球是黑球，第 4 次取 的球是白球的情况，此事件发生的概率为593×49.故选 B.
其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则 m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如 果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第八节 超几何分布、二项分布、正态分布
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布 列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
【解】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校
_____1_0________.
【解析】 由题意知 X＝2 表示取出的 4 件产品中 2 件次品，故 P(X＝2)＝CC23·41C0 27＝130.
4．小王通4过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过 的概率是_____9_________．
【解析】 ＝49.
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__□1_1__0_.6_8_2_7_____. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__□_1_2_0_.9_5_4_5_____.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__□_1_3_0_.9_9_7_3_____.
提醒：(1)若 X1，X2 相互独立，则 E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (2)若 X～N(μ，σ2)，则 X 的均值与方差分别为 E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (3)“恰好发生 k 次”与“有指定的 k 次发生”不同：恰好发生 k 次的概率 P＝Cknpk(1 －p)n－k，有指定的 k 次发生的概率 P＝pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． (4)在 X～N(μ，σ2)中，随机变量 X 在 μ 的附近取值的概率很大，在离 μ 很远处取值的 概率很小．
3．两点分布与二项分布 (1)两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示“成功”， A 表示“失
败”，定义 X＝10， ，AA发发生生，， 如果 P(A)＝p，则 P( A )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1－p，那么 X 的分布列如下表所 示.
X01 P 1－p p 我们称 X 服从两点分布，或 0－1 分布． 若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝0.
P(X＝4)＝CC61C51044＝412.因此 X 的分布列为
X0 1 2 3 4
P
1 42
5 21
10 21
5 21
1 42
E(X)＝0×412＋1×251＋2×1201＋3×251＋4×412＝2.
考点二 独立重复试验与二项分布
【例 2】 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23.假定甲、 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
______集__中______. 矮胖
②当 σ 较大时，峰值低，曲线“______________”，表示随机变量 X 的分布比较 分散
______________.
(5)若 X～N(μ，σ2)，则 E(X)＝_______μ_______，D(X)＝______□1_0__σ_2 ____.
(6)3σ 原则
4．正态曲线和正态分布 (1)正态曲线：函数 f(x)＝______________，x∈R，其中 μ∈R，σ>0 为参数，称为正 态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． (2)正态分布：若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分 布，记为___X__～_N__(μ_，__σ_2_)_，特别地，当 μ＝0，σ＝1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布．
的概率均为23，故 X～B3，23，从而 P(X＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3. 所以，随机变量 X 的分布列为
【解】 (1)因为 20 人中答对第 5 题的人数为 4，
因此第 5 题的实测难度为240＝0.2，
所以，估计 240 人中有 240×0.2＝48 人实测答对第 5 题．
(2)X 的所有可能取值是 0,1,2.
P(X＝0)＝CC122260＝1129，P(X＝1)＝CC11622C0 14＝3925，P(X＝2)＝CC22240＝935.X 的分布列为
(2)二项分布的定义 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0<p<1)，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝____C_kn_p_k(_1_－__p_)n_－_k，k＝0,1,2，…，n，
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～ ____B__(n_，__p_)____.
(3)二项分布的均值与方差 如果 X～B(n，p)，那么 E(X)＝_______n_p______，D(X)＝_____n_p_(_1_－__p_)__.
提醒：超几何分布与二项分布的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要． (2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)．
『变式训练』 1．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方 法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心 理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列及数学期望．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)一个盒中装有 4 个黑球、3 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球 则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为 X，则 X 服从超几何分布．( × ) (2)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…， n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布．( √ ) (3)正态曲线关于直线 x＝μ 对称，这个曲线在 x 轴上方．( √ ) (4)X 服从正态分布，通常用 X～N(μ，σ2)表示，其中参数 μ 和 σ2 分别表示 X 的均值和 方差．( √ )
X0
1
2
P
12 19
32 95
3 95
(3)将抽样的 20 名学生测试中第 i 题的实测难度作为 240 名学生测试中第 i 题的实测 难度．
列表如下： 题号 1 2 3 4 5
实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 S＝15×[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012. 因为 S＝0.012<0.05， 所以，该次测试的难度预估是合理的．
【解】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的事件为 M，则 P(M) ＝CC51480＝158.
(2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4，则 P(X＝0)＝CC15650＝412，P(X＝1)＝CC46C51014＝251， P(X＝2)＝CC63C51042＝1201，P(X＝3)＝CC62C51043＝251，
(3)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线______x_＝__μ_____对称．
1 ②曲线在 x＝μ 处达到峰值____σ__2_π_______.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴．
(4)参数 μ 和 σ 对正态曲线形状的影响 ①当 σ 较小时，峰值高，曲线“_____瘦__高_______”，表示随机变量 X 的分布比较
共 5 道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
12345
考前预估难度 Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，随机抽取了 20 名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1 2 3 45
实测答对人数 16 16 14 14 4
(1)根据题中数据，估计这 240 名学生中第 5 题的实测答对人数； (2)从抽样的 20 名学生中随机抽取 2 名学生，记这 2 名学生中答对第 5 题的人数为 X， 求 X 的分布列； (3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设 Pi′为第 i 题的实测难度，并定义统 计量 S＝1n[(P1′－P1)2＋(P2′－P2)2＋…＋(Pn′－Pn)2]，若 S<0.05，则本次测试的难度预 估合理，否则不合理，试检验本次测试对难度的预估是否合理．
【解析】 ∵X～N(100,4)∴P(98≤X≤104)＝0.6827＋0.9545－2 0.6827＝0.8186，∴质 量在[98,104]内的产品估计有 10000×0.8186＝8186(件)，故选 D.
3．在含有 3 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，X 表示取到的次品数，则 P(X＝2)＝ 3
2．已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分布 N(100,4)，现从该产 品的生产线上随机抽取 10000 件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( D )
(附：若 X 服从 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545) A．4093 件 B．4772 件 C．6827 件 D．8186 件
次品的 N M
件产品中，不放回地随机抽取
n
件产品的次品数．令
p＝MN ，则
E(X)＝
______N_·_n______＝_______n_p______.
2．伯努利试验 (1)伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． (2)n 重伯努利试验 ①定义：将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试 验． ②n 重伯努利试验的特征：同一个伯努利试验重复做 n 次， 各次试验的结果相互独 立．
易错点睛：(1)对正态分布 N(3,1)理解不准确致误． (2)相互独立事件同时发生与独立重复试验混淆致错．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 超几何分布
【例 1】 在测试中，客观题难度的计算公式为 Pi＝RNi，其中 Pi 为第 i 题的难度，Ri 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级 240 名学生进行一次测试，
由题意知，小王连续测试 3 次，恰有 1 次获得通过的概率为 C13·131－132
易错易混 5．已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(X≥4)＝0.1587，则 P(2<X<4)＝( A ) A．0.6826 B．0.3413 C．0.4603 D．0.9207
【解析】 ∵X～N(3,1)，且 P(X≥4)＝0.1587，∴P(2<X<4)＝1－2P(X≥4)＝1－ 2×0.1587＝1－0.3174＝0.6826，故选 A.
6．箱子里有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，
重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为( B )
35C45 14
B.593×49
C.35×14
D．C41×593×49
【解析】 由题意知，第 4 次取球后停止是当且仅当前 3 次取的球是黑球，第 4 次取 的球是白球的情况，此事件发生的概率为593×49.故选 B.