苏教版高中数学必修二直线与方程直线的斜率文字素材

直线斜率的几种求法
斜率是直线的要素之一，求斜率是求直线方程的必要步骤，求出斜率就相当于直线问题解决了一半，下面介绍几种求直线斜率的方法。

一、利用直线上两点求斜率
例1、已知直线l 过点(02)M ，且与以两点(14)(31)A B ，，，为端点的线段AB 相交，求直线l 斜率的范围． 解：如图42210MA k -==-，121303
MB k -==--， 作直线MC 使0MC k =，
根据题意可知直线l 斜率的范围为123k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，． 点评：本题利用数形结合先求出“临界值”2MA k = ，13
MB k =-，然后用运动变化观点求出k 的范围。

一般地，求经过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)(且x 1≠x 2)的直线斜率，可用公式1
212x x y y k --=。

二、利用直线的倾斜角求斜率
例2、已知过A(3,-5)、B(0,-9)两点的直线的倾斜角为θ，直线l 的倾斜角与2θ互为补角，求直线l 的斜率k 。

解：由题意得3
434tan πθπθ<<=，故 则直线l 的倾斜角为()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-2,32ππθπ ∴()724tan 1tan 22tan 2tan 2=--=-=-=θ
θθθπk 。

点评：本题是利用直线斜率与倾斜角的关系求解的，当直线l 的倾斜角为 (θ≠
900)时，直线l 的斜率θtan k =。

三、利用直线的方向向量求斜率
例3、已知A(7,1)、B(1,4)，直线y=ax 的方向向量是AB ，求a 。

解：∵AB =(-6,3)
∴a=－2
1 点评：直线的方向向量确定了直线的斜率，当直线l 的方向向量为()n m ,=且m ≠0时，直线l 的斜率m
n =k ，当m=0时直线的斜率不存在。

四、利用直线位置满足有关要求解得斜率
例4、若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点，则k 的取值范围是____________. 解：y=|x|是第一、二象限角的平分线，直线y=kx+1是过定点（0，1）的直线系方程，
由图象易知－1<k<1.
例5、已知点P （2，－1），求过P 点与原点距离为2的直线l 的斜率。

解：过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，1），
可见，过P （2，1）垂直于x 轴的直线满足条件
此时l 的斜率不存在
若斜率存在，设l 的方程为y+1=k （x －2），即kx －y －2k －1=0 由已知，得1
122+--k k =2，解之得k=43 ∴直线l 的斜率是不存在或4
3。

点评：求直线的斜率时，常利用直线之间平行或垂直关系求直线的斜率，当两直线相互平行时，它们的斜率相等；当两直线相互垂直时，它们的斜率乘积为－1，特别地，当其中一直线斜率等于0(或不存在)，那么另一条直线斜率为不存在(或0)。

另一类，知直线满足某些条件要求其斜率，通常是根据问题对直线的要求列出有关斜率的约束条件，通过解方程(组)求得斜率。

点击“直线斜率”易错点
许多同学在刚学习直线时，对直线的倾斜角和斜率相关概念理解不全、不透，而经常导
致错解，下面举例剖析．
一、忽视直线倾斜角的范围致错
例1、已知直线的倾斜角的正弦值为
45
，求直线的斜率．： 错解：设直线的倾斜角为α，则4sin 5α=，则4tan 3
α= 故斜率4tan 3k α== 错因：忽视直线倾斜角的范围[0,)π而导致漏解．
正解：设直线的倾斜角为α，则4sin 5
α=
，又[0,)απ∈ 则4tan 3α=或4tan 3α=-，故故斜率43k =或43k =- 例2、已知直线l 过点(8,6)A ，且直线l 的倾斜角是直线3420x y --=的倾斜角的一半，求直线l 的方程．
错解：设直线l 的倾斜角为α，则直线3420x y --=的倾斜角为2α，且3tan 24α= 即22tan 31tan 4αα=-，解得1tan 3
α=或tan 3α=-，又直线l 过点(8,6)A 则直线l 的方程为3100x y -+=或3300x y +-=
错因：忽视倾斜角2α的取值范围而导致增解3300x y +-=．
正解：因2[0,)απ∈，则[0,
)2
πα∈，故tan 0k α=≥ 由上面错解，只能取1tan 3
k α==，故则直线l 的方程为3100x y -+= 二、对斜率k 关于倾斜角α的函数tan k α=图象理解不深致错
例3、若直线倾斜角的范围是2(,)43
ππ，则直线斜率的范围是
错解：因tan 14π=，2tan 3π=(． 错因：对斜率函数tan k α=，[0,)(,)22ππαπ∈U 图象理解不深刻，如取2(,)43ππ中的3π，
(，故答案不正确． 正解：当(
,)42ππα∈，tan k α=单调递增，此时(1,)k ∈+∞
当2(,)23ππ
α∈，tan k α=单调递增，此时(,k ∈-∞
故直线斜率的范围是(,(1,)-∞+∞U
例4、若直线的斜率为11k -≤≤，则直线的倾斜角的范围为
错解：设直线l 的倾斜角为α，因tan
14π=，3tan 14π= 则直线的倾斜角的范围为3[,]44ππ
α∈
错解：对斜率函数tan k α=，[0,
)(,)22ππαπ∈U 图象理解不深刻，如当斜率0k =时，倾斜角0α=，而30[,]44
ππ∉，显然，答案不正确． 正解：对照函数tan k α=，[0,)(,)22π
παπ∈U 图象，当10k -≤<时，3[,)4
παπ∈，当01k ≤≤，[0,]4πα∈，故3[0,][,)44ππαπ∈U 评注：已知斜率范围求倾斜角范围时，若斜率范围中含0，应对大于等于0和小于0分类讨论；同理，已知倾斜角范围求斜率范围时，若倾斜角范围中含
2π，应将区间分大于2
π和小于2π两类讨论．总之，在解决相关题目时，最好将函数tan k α=，[0,)(,)22ππαπ∈U 图象画出，对照图象解题，形象直观，大大提高答题的正确率．。