八年级下册四边形讲义

精锐教育学科教师辅导讲义
〔1〕求证：△ABE≌△CDF；
〔2〕请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形〔不再添加辅助线〕．
例5、如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
命题角度3、平行四边形的判定
例6、，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
例7、如图，，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
二、矩形、菱形、正方形：
知识点梳理：
2.1、几种特殊平行四边形的性质：
2.2、几种特殊平行四边形的转换图：
2.3、种特殊平行四边形的判定方法：
命题聚焦：
特殊四边形是历年中考必考内容之一，主要考察矩形、菱形、正方形的性质和判定，要求会运用这些性质及判定定理判断真假命题，证明线段或角相等，考察题型有填空题、选择题，更多以证明题求值计算题及探索性问题、几何动态问题出现，试题强调根底，突出能力，源于教材，变中求新，考察学生的发散思维能力。

典例精析：
命题角度1、矩形的判定与性质
例1、如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点． 求证：∠EBC=∠ECB ．
例2、在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ． 〔1〕求证：△BEC ≌△DFA ；
〔2〕连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
图形 用边判定
用角判定
用对角线判定
矩形 有一个角是直角的平行四边形 三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 菱形
一组邻边相等的平行四边形或四边相等的四边形
对角线互相垂直的平行四边形
正方形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 对角线相互垂直平分相等的四边形
命题角度2、菱形的判定与性质
例3、如下图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=1/2BE．
例4、如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
〔1〕求证：DE∥BF；〔2〕假设∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．
命题角度3、正方形的性质及应用
例5、如图，在正方形ABC1D1中，AB=1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．
〔1〕求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长；
〔2〕请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长。

例6、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．
〔1〕求证：△PDQ是等腰直角三角形；
〔2〕当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
三、梯形
知识点梳理：
3.1、一组对边而另一组对边的四边形叫梯形，其中的梯形叫做等腰梯形，的梯形叫直角梯形。

3.2、等腰梯形性质：〔1〕两腰；〔2〕同一底上的两个内角；〔3〕对角新。

3.3、梯形的中位线平行于两底，等于两底和的一半。

3.4、梯形问题一般转化为三角形和平行四边形的问题。

3.5、梯形中常用辅助线的作法
〔1〕平移一腰〔内部或外部平移成为平行四边形〕〔2〕平移对角线〔3〕延长两腰相交一点〔相似〕〔4〕过一腰的顶点及另一腰中点作直线与另一底延长线相交〔面积〕〔5〕由梯形上底的两端点作下底的垂线〔面积〕。

命题聚焦：
由于圆局部知识难度降低，梯形又是三角形与平行四边形知识的结合点，所以有关梯形的试题形式灵活，考察面广，注意梯形根本知识的掌握，熟练掌握梯形中辅助线的添加方法，体会转化思想，适当练习操作题，创新题，综合性的阅读探索题。

典例精析：
命题角度1、与梯形有关的计算和证明
例1、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
〔1〕求证：四边形ABED是菱形；
〔2〕假设∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
例2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长．
命题角度2、等腰梯形的性质与判定
例3、在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC．
求证：梯形ABCD是一个等腰梯形．
例4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F在BC上，且BE=FC，连接DE，AF．求证：DE=AF．
命题角度3、三角形和梯形的中位线
例5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，AF、BC的延长线交于点G．
〔1〕求证：△ADF≌△GCF．
〔2〕类比三角形中位线的定义，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．阅读填空：
在△ABG中：
∵E中AB的中点由〔1〕的结论可知F是AG的中点，
∴EF是△ABG的线
∴EF=
又由〔1〕的结论可知：AD=CG
∴〔 + 〕
因此，可将梯形中位线EF与两底AD，BC的数量关系用文字语言表述为。

【能力提高】
例1．如图2 菱形ABCD ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点， ∠B=∠EAF=600，∠BAE=180，求∠CEF 的度数。

分析 由菱形ABCD 中，∠B=600，
可推出△ABC 是等边三角形，所以∠BAC=∠ACB=600， 由∠EAF=600，可推出∠BAE=∠CAF ，从而可证△BAE ≌△ACF 进而可知△AEF 是等边三角形，即可求出∠CEF 的度数。

解：连接AC ∵菱形ABCD ∴BA=BC ∠ACB=∠ACF
∵∠B=600 ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠BAC=∠ACB=600 AB=AC ∴∠ACF=∠B=600 ∵∠EAF=∠BAC=600 ∴∠BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE=AF ∴△AEF 是等边三角形 ∴∠AEF=600 ∵∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAF
而∠BAE=180
∴∠CEF=180
例2 如图3 四边形EFGH 是矩形ABCD 的外角平分线围成的。

求证：四边形EFGH 是正方形
分析：先证EFGH 矩形，再证EFGH 是菱形 证明：∵矩形ABCD 的外角都是直角， HE 、EF 都是外角平分线
∴∠BAE=∠ABE=450 ∴∠E=900 同理可证：∠F=∠G=900 ∴四边形EFGH 是矩形
∵AD=BC ∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB
∴△ADH ≌△BCF ∴AH=BF 又∠EAB=∠EBA ∴AE=BE ∴EA+AH=EB+BF ∴EH=EF ∴四边形EFGH 是正方形 例3 如图4 ，E 是正方形ABCD 的边AD 的中点， F 是DC 上的点，且CD DF 4
1
A
B C
D
E
F
G D Q
H
M
N
图3E
D A
F
图2
A
B
C D
E F。