相似三角形的性质与判定

相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质
一、知识要点
1．相似图形的概念
2．相似多边形的概念
3．相似三角形的判定和性质
4．相似比的概念
5．理解位似的概念
二、典型例题
见课堂讲解
三、强化训练
基础篇:
（一）填空题
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ︰AB =1︰2，则△ADE ∽△_______，∠C =∠________，△ABC 的面积︰△ADE 的面积=___________
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
2．已知：如图，直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E ，且∠1=∠B ，则)
()()()()()(
==. 3．如图，DE ∥BC ，则△_________∽△__________，若AD =3，BD =2，AF ⊥BC ，交DE 于G ，则AG ︰AF =_______︰_______，△AGE ∽△AFC ，且它们的相似比为_______
4．如图，平行四边形ABCD 中，P 是CD 上的一点，CP ︰DP =3︰4，则三角形APB 的面积︰平行四边形ABCD 的面积=________，S △BCP ︰S △APD ︰S △APB =______︰_______︰_______
5．已知：如图，梯形ABCD 的上底CD =10cm ，下底AB =28cm ，高为12cm ，点M 为腰AD 、BC 的交点，则点M 到上底CD 的距离为_________cm ，点M 到下底AB 的距离为___________cm.
（第4题图） （第5题图） （第6题图）
6．如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥AD ，CD ∥AB ，且BD =3，CD =2，则下底AB 的长是_________________
7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是3︰7，若DE =15cm ，则BC =__________cm ，AD ︰BD =_________
（第7题图） （第8题图）
8．如图，在△ABC 中，AB =12，AC =15，D 为AB 上一点，且AD =AB 3
2，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AE =_________ 9．若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB =3，A 1B 1=4.5，且S △ABC + S △111
A B C =78，则S △111A B C =____________ 10．如图，CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，
（1）若AD =9cm ，CD =3cm ，则BD =__________；
（2）已知AB =25cm ，BC =15cm ，则BD =____________
（二）选择题
11．下列命题中，不正确的是（ ）
A ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等
B ．等腰直角三角形都是相似三角形
C ．有一个角为60°的两个等腰三角形相似
D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
12．下列结论中，不正确的是（ ）
A ．有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似
B ．顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似
C ．如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似
D ．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似
13．如图，已知：∠BAO =∠CAE =∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ）
A ．AE
BC AD AB = B ．
AD BC AE AC = C ．AE
BC DE AB = D ．AD AB AE AC =
（第13题图） （第14题图）
14．如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则下列说法中正确的有（ ）
①图中有4个三角形与△ACB 相似；② 2DE AE EC =⋅；③∠A =∠BCD =∠CDE ；
④ BD CE AC AD =；⑤ 若AC =4，BC =3，则CD =3
16；⑥DB AD EC AE =。

A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个
15．一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ）
A ．3100
B ．20
C ．54
D ．25
108
提高篇:
16．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ︰S △BDC =1︰3，那么S △ODC ︰S △ABC 的值是（ ）
A ．51
B ．61
C ．71
D ．9
1
（第16题图） （第18题图）
17．已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1︰4，则两底的比是（ ）
A ．1︰2
B ．1︰4
C ．1︰8
D ．1︰16
18．已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，对角线AC⊥BD，垂足为P，已知AD︰BC=
3︰4，则BD︰AC的值是（）
A．3︰2 B．2︰3 C．3︰3 D．3︰４
（三）解答题与证明题
19．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点。

求证：△ADQ∽△QCP
20．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC，且BD=CE，AD、BE相交于点M。

求证（1）△AME∽△BAE
（2）BD2=AD×DM.
21．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：2
=⋅
FD FB FC
22．已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。

求证：2
=⋅
CD DF DA
四、中考试题满分解答欣赏(试题选自各省市中考试题及模拟试题的解答题部分，属综合题型，可能包含目前未学过的内容)
2009北京19（5分）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，BC ＝4，E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长．
第19题图
满分解答：19．解法一：如图①，过点D 作DG ⊥BC 于点G ．
∵AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠A ＝90°．
可得四边形ABGD 为矩形．
∴BG ＝AD ＝1，AB ＝DG ．
∵BC ＝4，∴GC ＝3．
∵∠DGC ＝90°，∠C ＝45°，∴∠CDG ＝45°．
∴DG ＝GC ＝3．∴AB ＝3．
又∵E 为AB 中点，∴2
321==AB BE ． ∵EF ∥DC ，∴∠EFB ＝45°． 在△BEF 中，∠B ＝90°，22
345sin .
==∴D BE EF ．
第19题答图
解法二：如图②，延长FE 交DA 的延长线于点G ．
∵AD ∥BC ，EF ∥DC ，∴四边形GFCD 为平行四边形，∠G ＝∠1．∴GD ＝FC ．
∵EA ＝EB ，∠2＝∠3，∴△GAE ≌△FBE ．∴AG ＝BF ．
∵AD ＝1，BC ＝4，设AG ＝x ，则BF ＝x ，CF ＝4－x ，GD ＝x ＋1． ∴x ＋1＝4－x ．解得2
3=x ． ∵∠C ＝45°，∴∠1＝45°． 在△BEF 中，∠B ＝90°，22345cos ==
∴D BF EF ．
①②。