江苏省2019-2020年高二下第一次月考数学试题

高二下第一次月考数学试题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120
分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体
工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求）
1.已知f(x)x a，若f (1)
4
，则a的值等于（）
A.4
B.－4
C.5
D.－5
2.曲线y e x在点(0,1)处的切线方程为（）
A.y x 1
B.y x 1
C.y x 1
D.y x 1
3.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形.根据“三
段论”推理得出一个结论，则这个结论是（）
A.平行四边形的对角线相等
B.正方形的对角线相等
C.正方形是平行四边形
D.以上都不是
4.欧拉公式e i cos i s in (e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，e i 10被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数e - i6的虚部为（）
A.111
i B.i C.
222
D.
1
2
5.某个自然数有关的命题，如果当n k 1(n N )时，该命题不成立，那么可推得n k 时，该命题不成立.现已知当n 2016时，该命题成立，那么，可推得（）
A. C.n 2015
n 2015
时，该命题成立
时，该命题不成立
B.
D.
n 2017
n 2017
时，该命题成立
时，该命题不成立
1
2222
6.一个几何体的三视图如题(6)图所示，则该几何体的侧面积为（）
2
正视图
2
侧视图
A.23
B.43
C.4
D.8题(6)图
俯视图
7.若函数f(x)x33x a有一个零点，则实数a的取值范围是（）
A.a 2
B.(2,2)
C.(,2)(2,)
D.[2,2]
8. 曲线y sin x（0x )与直线y=1
2
围成的封闭图形的面积为（）
A．3 B.2-3 C.2-
3D.3-
3
9.函数（f x）=sin x
1n(x 2)
的图象可能是（）
A B C D 10．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数.（1）sin213cos217sin13cos17
（2）sin218cos212sin18cos12
（3）sin2(18 )cos248sin(18)cos48
（4）sin2(25 )cos255sin(25)cos55
则这个常数为（）
A.4 3
B. 1
C.
3 4
D. 0
11.已知椭圆x2y2
1
95
的右焦点为F,P是椭圆上一点，点A0,23，当APF的周长
最大时，APF的面积等于（）
A.113213
B.
44
C.
11 21
D.
4 4
12.已知函数f(x)ax2bx ln x(a 0,b R),若对任意x 0，f(x)f(1)，则（）
A.ln a 2b B .ln a 2b C.ln a 2b D.ln a 2b
第II卷（非选择题，共90分）
2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.若复数z满足zi 1i，则z
14.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积为_________m3.
15.已知等差数列{a}
n ，若
a a
b 12
n
a
n，则数列{b}
n
也是等差数列，类比上述结
论，可得：已知等比数列{c}
n
，若d
n n
c c
12
c(c 0)
n n
，则数列{d}
n
也是等比数列；
已知等差数列{a}，若b
n n a 2a na
12
12n n
，则数列{b}
n
也是等差数列，类比上述结
论，可得：已知等比数列{c}
n
，若d
n ，则数列{d}
n
也是等比数列.
16．已知偶函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f (x)，当x 0时有2f(x)xf (x)x2，则不等式(x 2016)2f(x 2016)4f (2) 0的解集
为.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
函数f(x)ax ln x b在1,f
(1)
处的切线方程为y x 1
（1）求f(x)（2）求f(x)的解析式；的极值．
18．（本小题满分12分）
在数列{a}中，a=1，a
n 1
2a
n(n N*) 2a
n
a,a,a
（1）求的值；
234
（2）猜想这个数列的通项公式并用数学归纳法证明.D C
1
A
1B 1
19.（本小题满分12分）
如题(19)图，直四棱柱ABCD A BC D
1111
中，D C
DC DD 2A D 2A B,AD DC,
1AB∥DC．
A B
题(19)图
n
n 1
1
3
（1）求证：平面BCD 平面D BD；
11
（2）求二面角B AC D的大小．
11
20.（本小题满分12分）
设函数f(x)(a x2ax 1)e x，其中a R．
（1）若f(x)在其定义域内是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f(x)在(0,1)内存在极值点，求a的取值范围.
21.(本小题满分12分)
从抛物线C：x22py(p 0)外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为
A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M x,4
在抛物线C上，且MF 6（F为抛物线的焦点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：四边形PCQD是平行四边形.
22.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=ln(1+x)
ax
x a
．
（1）若a 1，讨论f(x)在(0,
)
上的单调性；
（2）设n N*，比较12n
与n ln(1n)
23n 1
的大小，并加以证明．
4
月考题参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.C
8.D
9.A 10.C 11.B
12.A
13.
1i
14. 3 15.
d
n
12
n
c (c ) 1
2
2
(c )
3
3
(c )
n
n
16.
{x | 2018 x 2014}
17．（1）因为 f
(x ) a (1 ln x )
易知
f (1) 2 b 2
f (1)1 a 1
f ( x ) x ln x 2
…………………………5 分
（2） f (x ) (1ln x )
，令
f (x ) 0 (1ln x )=0 x
1 e
……6 分
列表
x
f '
( x )
1
(0, )
e
负
1 e
1 ( , )e
正
f ( x )
单调递减
极小值
单调递增
………………………………………………………………………………9 分
所以 f ( x )
的极小值为 1 1 f ( ) 2 e e
，无极大值.………………………10 分
18.（1） a
2
2 1 2 , a , a
3
2 5
………………………………4 分 2
（2）猜想： a ……………………………………………………6 分
n 1
证明如下：当 n =1 时，a =1， 2 2 1 n 1 2
，猜想成立.………………7 分
假设 n =k (k N *, k 1) 时， a k
2 k 1
成立，……………………8 分
那么，当 n =k +1 时， a k 1
2a
k 2 a k
2 4 2
= 2 2k 4 k 2 (k 1) 1 k 1 k 1
……11 分
∴当 n =k +1 时，猜想成立.
综上，由数学归纳法可知，
a
n 2 n 1
对一切正整数成立.………………12 分
19． （1）以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 设 AD AB
1 ,则 D
1
A (0,0,1),
B (1,1,0),
C (0,2,0)
A
1
A (1,0,2),
B (1,1,2),
C (0,2,2),
D (0,0,2) ………2 分
1
1
1
1
z
B
1
C
1
y
3
4 n
1 2 2 k 1 k 1
2+
D C 5
A B
BC (1,1,0),BD (1,1,2)DD (0,0,2)
（1）
11
BC BD (1,1,0)(1,1,2)0,B C BD
11
BC DD (1,1,0)(0,0,2)0,B C DD ,B C
11
平面BCD 平面D BD;………………5分
11
平面D DB
1
（2）A B (0,12),AC (1,2,2),AD (1,0,0),
1111
设平面BAC
1
与平面ACD
11
的法向量分别为：m (x,y,z),n (a,b,c)则
m A C
1
m A B
1
x2y 2z 0x 2z
y 2z 0y 2z
，令z 1,则m (2,2,1),…………7分
n A C
1
n A D
11
x2y 2z 0x 0
y z
，令z 1,则n (0,1,1),……………9分
c os m,n
m n3 2
|m||n|322
，………………………………………………11分
二面角B AC D
11
的大小为
3
4
.…………………………………………………12分20．（1）f (x)(a x23ax a 1)e x……………………1分
当a 0时，f (x)e x 0，符合题意；…………2分
当a 0时，
若f(x)在R上单调递增，则f (x )(a2x3
a x
a1x)e
恒
0成立ax23ax a 10恒成立
9a24a(a 1)0
a 0
0a
4
5即0a
4
5
；………………5分
若f(x)在R上单调递减，则f (x )(a2x3
a x
a1x)e
恒
0成立ax23ax a 10恒成立
9a24a(a 1)0
a 0
a无解……6分0a
4
x 0
5
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
7
分
6
（2）要使 f ( x )
在 (0,1)
内存在极值，由（ 1）知首先有
a 0
或
a
4 5
，另外还需要方程
g ( x ) ax 2 3ax a 1 0 的根在 (0,1)
内，由于对称轴 3 x 0
2
只需
g (1)g (0)
0 （5a 1)(a 1) 0
1a
1 5
…………10 分
所以 1
5
a
1
．……………………12 分
21. 解：（1）因为
MF
4
p 2
6
所以 p 4
，即抛物线 C 的方程是 x 2
8 y
……4 分
（2）由 x
2
8 y
得
y
x 2
x ， y '
8
4 ………………
5 分设
x 2 x 2
，
则直线 PA
的方程为
x 2
x
x 1
1 x x 8 4
， ①…………………………………………6 分
则直线 PB
的方程为
y
x 2
x
2
2 x x 8
4
，②………………………………
…………7 分
由①和②解得：
x x x x
x 1 2 , y 1 2 2 8
x
x x x ，所以 P
1
2 , 1 2 2 8
……………………8 分
设点
Q
0,t
，则直线 AB 的方程为 y kx t
x 2 8 y
由 得 x y kx t 2
8k x 8t 0
则
x x 8k , x x
8t 1
2
1 2
…………………9 分
所以 P
4k ,t
，所以线段 PQ
的中点为（2k ,0)
在①中，令 y 0
解得 x
x 1 2
x x ，所以 C 1 ,0 ，同理得 D
2 ,0
2 2
，所以线段
CD
的中点
坐标为
x
x 1
2
,0
4
，即 2k ,0
……………………………………………………10 分
即线段 C D 与线段 PQ 互相平分…………………………………………………………11 分
因此，四边形 PCQD
是平行四边形…………………………………………………12 分
A x , 1 ,
B x , 2 8 8 1 2
1
2
22.解：（1）由题设，x
0,,f x x
x a 22a
x 1x
a2
．…………2分
7
当a22a 0，即1a 2时，则f x0,f
x
的增区间为0,；……4分当a22a 0，即a>2时，
有x 0,a22a 时，f x0,f x 的减区间为0,a22a ；
有x a 22a,时，f x0,f
x
的增区间为a 22a,；．……6分
综上可知，当1a 2时， f x 在
0,上是增函数；当a>2时， f
x
在
0,a22a 上是减函数，在
a
22a,上是增函数．
（2）1 2n
n ln(n 1)
2 3n 1
，………………………………7分
证明如下：
111x
方法一：上述不等式等价于＋＋…＋<ln(n＋1)，先证明ln(1＋x)>，x>0.
23n＋11＋x
令g(x)ln(1x)
x11x ,g(0)0,g (x)0 1x1x (1x)2(1x)2
g(x)在(0,+)单调递增，g(x)g(0)=0ln(1x)
x x
0ln(1x)
1x1x
1n＋11
…9分令x＝，n∈N ，则ln >即：
n ＋n n＋1ln(n 1)ln n
1
1n
111
故有ln2－ln1>，ln 3－ln2>，……，ln(n＋1)－ln n>，
23n＋1
111
上述各式相加可得ln(n＋1)> ＋＋…＋，结论得证．………………12分
23n＋1
11n＋1
方法二：令x＝，n∈N，同方法一有<ln.下面用数学归纳法证明．
n ＋n＋1n
1
当n＝1时，<ln 2，结论成立．
2
111
假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋<ln(k＋1)．
23k＋1
11111k＋2
那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋<ln(k＋1)＋<ln(k＋1)＋ln ＝ln(k
23k＋1k＋2k＋2k＋1
＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N 成立．
＋
x x12
方法三：n d x是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋ (x)
＋1x＋123
＋n
是图中所示各矩形的面积和，
n＋1
12n x1
∴＋＋…＋>n d x＝n1－d x＝n－ln(n＋1)，结论得证．23n＋1x＋1x＋1
0 0
8。