高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算(1)课件 新人教版选修21

B M
D
向量来分析.
O
N
A
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB，求 x y的值.
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第十二页，共18页。
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB，求 x y的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
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第十六页，共18页。
思考 2(课本 P95 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
加法交换律 a b b a
加法(jiāfǎ)结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的
加、减法实质是一样的.
2
第二页，共18页。
b b
a a
我们知道(zhī dào)平面向量还有 数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的 数乘运算,其运算律是否也与平面向量 3
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一、
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如 (lìr ú):
3a a
3a 4 第四页，共18页。
显然,空间(kōngjiān)向量的数乘运算满足 分配律及结合律
3.1.2空间(kōngjiān) 向量的
数乘运算
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上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量 加法(jiāfǎ):三角形法则或 平行四边形法则 减法(jiǎnfǎ):三角形法则
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
⑴∵ AP与a 、b 共面,
C
p
P
b
AaB
∴ 唯一有序实数对(x, y),
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
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第十一页，共18页。
练习 1:已知 OE 是以 OA、OB 、OC 为棱的平行六面
体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上. G
E
分析:
C
F
证三点共线可 尝试(chángshì)用
学习
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第十三页，共18页。
例4、已知四边形ABCD是空间(kōngjiān)四边形，E、H分
别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且
求证C：F四边2 形CBE,FCGGH是2梯C形D。.
3
3
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三.共面向(miàn xiànɡ)量:
1.共面向量:平行于同一(tóngyī)平面的向量,叫做共面
a // b R , a b . c
b
a
9
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二、共线向量(xiàngliàng)
1.共线及向其量:定如理果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
向量． a 平行于b 记作 a // b ．
规定: o 与任一向量a 是共线向量. 2.共线向量定理：空间任意两个向量a
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第十七页，共18页。
课外思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量:
⑴ DM
1（a b) c 2
⑵ AG
A
1（a b c) 3
B
G
M
作业:课本
P106
A
组第
C
1、2
题
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D
18
、b（b
≠0
），
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
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思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
BP
注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.
a
⑴∵ AP // aO,∴存即在，唯P一,实A,数B三t 点R ,共使 线AP。 t或a .表示
向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 (liǎnɡ ɡè)向量是共 面的，但空间任意三 个向量就不一定共面
2.共面向量定理:如果两个向的量了。a 、b 不共线,则向
Байду номын сангаас
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
C
p
P
b
AaB
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第十五页，共18页。
D1
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1 G
B1
M
(4) AB
AD
1 2
CC1
D
C
解：(1) AB BC＝AC;
A
B
(2) AB 1
AD
AA1
AC
1
AA1
AC
CC1
AC1
(3)
( AB 3
AD
AA1 )
3
AC
AG
(4) AB
AD+
1 2
CC1＝AM
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
即：(a b) a b
（ ）a a a
(a) ()a
A
P96 练习 1（1）、（2）、（3）
D
F
5
B
E 第五页，共18页。
C
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量(xiàngl 表达式，并标出化简结果的向量(xiàngliàng).(如图)
(1) AB BC
∴ 点 P 在直线 l为上： 唯O一P实数(1ttR)O, 使AAPtO Bt a. ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内,且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
（1）化简 1 AA BC 2 AB ，并在图中标出其结果；
2
3
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面 BCCB对 角线 BC
上的3/4分点，设 MN AB AD AA，试求 、、
的值。
练习：
如图，已知正方体ABCD ABCD， 点E是上底面 ABCD的中心，求下列各式中x、y、z的值： (1)BD x AD y AB z AA;
(2) AE x AD y AB z AA.
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第八页，共18页。
二、共线(ɡònɡ xiàn)向量 定义:表示及空其间定向量理的有向线段所在直线互相平行或
重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量) 思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那
么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? 类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
.
6
第六页，共18页。
例2、平行六面体A1B1C1D1 ABCD，M分 AC成的
比为 1 2
，N分
A1D 成的比为2，设
AB a, AD b, AA1 c,试用(shìyòAn1g)
D1
a, b, c 表示 MN 。
B1
C1
N
A
M
B
第七页，共18页。
D C
7
例3、已知 ABCD ABCD 是平行六面体。