空间向量在立体几何中的应用（重点知识+高考真题+模拟精选）

空间向量在⽴体⼏何中的应⽤（重点知识+⾼考真题+模拟精选）
空间向量在⽴体⼏何中的应⽤
【重要知识】
⼀、求平⾯法向量的⽅法与步骤：
1、选向量：求平⾯的法向量时，要选取两个相交的向量，如AC AB ,
2、设坐标：设平⾯法向量的坐标为),,(z y x n =
3、解⽅程：联⽴⽅程组=?=?0
AC n AB n ，并解⽅程组
4、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，⽽是⽐例关系。

设定某个坐标为常
数得到其他坐标
⼆、利⽤向量求空间⾓： 1、求异⾯直线所成的⾓：
设b a ,为异⾯直线，点C A ,为a 上任意两点，点D B ,为b 上任意两点，b a ,所成的⾓
为θ，则BD
AC BD AC ??=
θcos
【注】由于异⾯直线所成的⾓θ的范围是：?≤
设直线l 的⽅向向量为a ，平⾯α的法向量为n ，直线l 与平⾯α所成的⾓为θ，a 与n
所成的⾓为?，则n
a n a ??=
=?θcos sin
【注】由于直线与平⾯所成的⾓θ的范围是：?≤≤?900θ，因此0sin ≥θ 3、求⼆⾯⾓：
设21,n n 分别为平⾯βα,的法向量，⼆⾯⾓βα--l 为θ，则>=<21,n n θ或
><-21,n n π，其中2
12121,cos n n n n n n ??>=
<
三、利⽤向量求空间距离： 1、求点到平⾯的距离
设平⾯α的法向量为n ，,α?A α∈B ，则点A 到平⾯α的距离为
n
n AB ?
2、求两条异⾯直线的距离
设21,l l 是两条异⾯直线，n 是公垂线段AB 的⽅向向量，
D C ,分别为21,l l 上的任意两点，则21l l 与的距离为n
n CD AB ?=
【重要题型】
1、（2012⼴东，理）如图所⽰，在四棱锥ABCD P -中，底⾯ABCD 为矩形，
ABCD PA 平⾯⊥，点E 在线段PC 上，BDE PC 平⾯⊥
（1）证明：PAC BD 平⾯⊥
（2）若2,1==AD PA ，求⼆⾯⾓A PC B --的正切值
2、（2013⼴东，理）如图①，在等腰三⾓形ABC 中，?=∠90A ，6=BC ，E D ,分别是
AB AC ,上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点。

将ADE ?沿DE 折起，得到如图②
所⽰的四棱锥BCDE A -'，其中3='O A 。

（1）证明：BCDE O A 平⾯⊥'
（2）求⼆⾯⾓B CD A --'的平⾯⾓的余弦值
3、（2009⼴东，理）如图，已知正⽅体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点E 是正⽅形11B BCC 的中⼼，点G F ,分别是棱11D C 、1AA 的中点，设,1E 1G 分别是点G E ,在平⾯11D DCC 内的正投影。

（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平⾯11D DCC 内的正投影为底⾯边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线11FEE FG 平⾯⊥；（3）求异⾯直线11G E 与EA 所成⾓的正弦值。

4、（2013课标，理）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是1,BB AB 的中点，
AB CB AC AA 2
2
1=
== （1）证明：CD A BC 11//平⾯；（2）求⼆⾯⾓E C A D --1的正弦值.
5、（2012辽宁，理）如图，直三棱柱C B A ABC '''-，?=∠90BAC ，A A AC AB '==λ，点N M ,分别为B A '和C B ''的中点（1）证明：C AC A MN ''平⾯//；
（2）若⼆⾯⾓C MN A --'为直⼆⾯⾓，求λ的值.
6、（2010辽宁，理）已知三棱锥ABC P -中，A B C PA 平⾯⊥，AC AB ⊥，
AB AC PA 2
1
=
=，N 为AB 上⼀点，AN AB 4=，S M ,分别为BC PB ,的中点。

（1）证明：SN CM ⊥；
（2）求SN 与平⾯CMN 所成⾓的⼤⼩.
7、（2010⼴东，理）如图，是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平⾯AEC
外⼀点F 满⾜a FD FB 5==，a FE 6=
（1）证明：FD EB ⊥；
（2）已知点R Q ,分别为线段FB FE ,上的点，使得
FE FQ 32=
，FB FR 3
2
=，求平⾯BED 与平⾯RQD 所成⼆⾯⾓的正弦值.
8、（2013汕头⾼⼆统考，理）在四棱锥P ABCD -中，PA
⊥
P
N
平⾯ABCD ，ABC ?是正三⾓形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，⼜4PA AB ==，
120CDA ∠=，点N 在线段PB 上，且2PN =．
（1）求证：BD PC ⊥；（2）求证：//MN 平⾯PDC ; （3）求⼆⾯⾓A PC B --的余弦值．
【参考答案】
1、（1）证明：ABCD PA 平⾯⊥，ABCD BD 平⾯?，BD PA ⊥∴⼜BDE PC 平⾯⊥，BDE BD 平⾯?，BD PC ⊥∴
P PC PA = ，PAC BD 平⾯⊥∴
（2）解：PAC BD 平⾯⊥，PAC AC 平⾯?，AC BD ⊥∴ A B C D 矩形∴是正⽅形
建⽴如图所⽰的坐标系xyz A -，则
)0,0,0(A ，)1,0,0(P ，)0,2,2(C ，)0,0,2(B
)1,0,0(=∴AP ，)0,2,2(=AC
)1,0,2(-=BP ，)0,2,0(=BC
设平⾯PAC 的⼀个法向量为),,(1111z y x n =
则=?=?0
011n AC n AP ，即=+=0220111y x z 令11=x ，则0,111=-=z y ，即)0,1,1(1-=n 设平⾯PBC 的⼀个法向量为),,(2222z y x n =，
则=?=?0
022n BP n BC ，即=+-=020222z x y 令12=x ，则2,022==z y ，即)2,0,1(2=n
10
10
5
21,cos 2
12121=
=
>=
<∴n n n n n n 设⼆⾯⾓A PC B --的⼤⼩为α，则1010cos =α，10
103sin =α 3tan =∴α
2、（1）证明：连接OE OD ,
由图①得，22,23,3===AD AC OC
在OCD ?中，由余弦定理可得，
545cos 22
2
2
=-+=CD OC CD OC OD ，即5=OD 由翻折的不变性可知，22=='AD D A 2
2
2
D A OD O A '=+'∴，OD O A ⊥'∴同理可证，O
E O A ⊥'
⼜O OE OD = ，BCDE O A 平⾯⊥'∴
（2）解：以O 点为原点，建⽴空间直⾓坐标系xyz O -如图所⽰则)0,2,1(),0,3,0(),3,0,0(--'D C A 所以)3,3,0(=CA ，)3,2,1(-=DA 设平⾯CD A '的⼀个法向量为),,(z y x n =，则=?=?0
n DA n CA
即
=++-=+0
320
33z y x z y
令1=x ，则3,1=-=z y ，即)3,1,1(-=n
由（1）知，)3,0,0(=OA 为平⾯CDB 的⼀个法向量
5
15
5
33,cos =
=
>=
<∴OA
n OA n OA n 即求⼆⾯⾓B CD A --'的平⾯⾓的余弦值为
5
15 3、（1）解：依题意得，111D DCC EE 平⾯⊥，且四边形FGAE 在平⾯11D DCC 内的正投影为四边形11DE FG
点E 是正⽅形11B BCC 的中⼼，11=∴EE 111111111D CE F C E G FD D D CC D E FG S S S S S ---=∴ 2212
1
1121112122
=??-??-??-
=
故所求的四棱锥的体积为3
212313111111=??=?=
-EE S V DG FE DE FC E （2）证明：由（1）知，F C E 11?与F D G 11?都是等腰直⾓三⾓形 ?=∠∴9011FE G ，即11FE FG ⊥
⼜111D DCC EE 平⾯⊥，111D DCC FG 平⾯?，11FG EE ⊥∴ 111E FE EE = ，11FEE FG 平⾯⊥∴
（3）解：以D 为原点，DA DC DD ,,1分别为z 轴，y 轴，x 轴的正向，
12
1
DD 为1个单位长度，建⽴空间直⾓坐标系，则)1,2,0(),1,0,0(),2,1,0(),1,2,1(11E G F E )0,0,2(,A
)1,2,1(--=∴EA ，)0,2,0(11-=G E 1
11111,cos G E EA G E EA G E EA ?>=
<∴3
62
64=?=
3
3
)36(
1,sin 211=
->=<∴G E EA 4、（1）证明：连接1AC 交C A 1于点F ，则F 为1AC 中点⼜D 是AB 中点，连接DF ，则DF BC //1
CD A DF 1平⾯? ，CD A BC 11平⾯?，CD A BC 11//平⾯∴（2）由AB CB AC 2
2
=
=得，BC AC ⊥以C 为坐标原点，CA 的⽅向为x 轴正⽅向，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系xyz C -，设2=CA ，则
)0,1,1(D ，)1,2,0(E ，)2,0,2(1A ，
)0,1,1(=CD ，)1,2,0(=CE ，)2,0,2(1=CA
设),,(1111z y x n =是平⾯CD A 1的法向量，则
=?=?0
111CA n CD n ，即??
=+=+02201111z x y x ，可取)1,1,1(1--=n
同理，设),,(2222z y x n =是平⾯CE A 1的法向量，则
=?=?0
122CA n CE n ，即??
=+=+022022222z x z y ，可取)2,1,2(2-=n 从⽽3
3
3
33,cos 2
12121=
=
>=
=
即⼆⾯⾓E C A D --1的正弦值为3
6
5、（1）证明：连接C A B A '',
三棱柱C B A ABC '''-为直三棱柱，M 为B A '的中点 M ∴为B A '的中点⼜N 为C B ''的中点 C A MN '∴//
C AC A C A ''?'平⾯，C AC A MN ''?平⾯ C AC A MN ''∴平⾯//
（2）以A 为坐标原点，分别以直线A A AC AB ',,为x 轴，y 轴，z 轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系xyz A -，如图所⽰：设1='A A ，则λ==AC AB 于是)0,0,0(A ，)0,0,(λB ，)0,,0(λC
)1,0,0(A '，)1,0,(λB '，)1,,0(λC '
因此，)21,0,2(
λ
M ，)1,2
,2(λλN 设),,(1111z y x n =是平⾯MN A '的法向量，
由=?='?0011MN n M A n 得，=+=-0212
02
121111z y z x λλ
，可取),1,1(1λ-=n 同理，设),,(2222z y x n =是平⾯MNC 的法向量，
由=?=?0022MN n NC n 得，=+=-+-0212
02
222222z y z y x λλλ
，可取),1,3(2λ--=n C MN A --' 为直⼆⾯⾓
021=?∴n n ，即0132=++-λ，解得2=λ
6、（1）证明：设1=PA ，以A 为原点，AP AC AB ,,分别为z y x ,,轴正⽅向建⽴空间直⾓坐标系，如图所⽰：则)0,0,2
1(),21
,0,1(),0,0,2(),0,1,0(),1,0,0(N M B C P
)0,2
1,1(S
)0,21
,21(),21,1,1(--=-=SN CM
由0021
21=++-=?SN CM 可知，SN CM ⊥
（2）)0,1,2
1
(-=NC
设),,(z y x n =为平⾯CMN 的⼀个法向量
由=?=?0
CM n NC n 得，
=+-=+-021021
z y x y x ，可取)2,1,2(-=n
设SN 与平⾯CMN 所成⾓为θ，则
222
2321
1,cos sin =?-
-=
=><=SN n SN n SN n θ ?=∴45θ
7、（1）证明：E 为的中点，BC AB =，AC 为直径 AD EB ⊥∴ 2
2
2
EB FB FE += FB EB ⊥∴
⼜B AD FB = ，BDF EB 平⾯⊥∴ B D F FD 平⾯? ，FD EB ⊥∴
（2）如图，以B 为原点，BD BE ,分别为y x ,轴正⽅向，过B 作平⾯BEC
的垂线，建⽴
空间直⾓坐标系xyz B -，连接FC 由此得，
)0,0,(),0,2,0(),0,,0(),0,0,0(a E a D a C B CD BC FB FD ==, BD FC ⊥∴ a FC 2=∴FB FR FE FQ 32
,32==∴
)32,31,0(a a R ∴
)0,0,32
(32a BE RQ ==∴
)3
2
,35,0(a a RD -=
设平⾯RQD 的法向量为),,(1111z y x n =，
由=?=?00
11RQ n RD n 得，==-03
203235
111ax az ay ，可取)5,2,0(1=n 同理，设平⾯BED 的法向量为),,(2222z y x n =，可取)1,0,0(2=n
29
29
529
5,cos 2
12121=
=
>=
<∴n n n n n n 29
29
2,sin 21>=
<∴n n ∴平⾯BED 与平⾯RQD 所成⼆⾯⾓的正弦值为
29
29
2 8、证明：（1）因为ABC ?是正三⾓形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分
⼜因为PA ABCD ⊥平⾯，BD ?平⾯ABCD ，PA BD ⊥………………2分⼜PA
AC A =，所以BD ⊥平⾯PAC ………………3分
⼜PC ?平⾯PAC ，所以BD PC ⊥………………4分
（2）在正三⾓形ABC 中，23BM =………………5分在ACD ?中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =
120CDA ∠=，所以23
3
DM =
，所以:3:1BM MD =………………6分在等腰直⾓三⾓形PAB 中，4PA AB ==，42PB =，
所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分⼜MN ?平⾯PDC ，PD ?平⾯PDC ，所以//MN 平⾯PDC ………………9分（3）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴,
y 轴, z 轴建⽴如图的空间直⾓坐标系，
所以43
(4,0,0),(2,23,0),(0,
,0),(0,0,4)3
B C D P ………………10分由（2）可知，43
(4,,0)3
DB =-
为平⾯PAC 的法向量………………11分 (2,23,4)PC =-，(4,0,4)PB =-
设平⾯PBC 的⼀个法向量为(,,)n x y z =,
则00
n PC n PB ??==??，即22340440x y z x z ?+-=??-=??，
令3,z =则平⾯PBC 的⼀个法向量为(3,3,3)n =………………12分设⼆⾯⾓A PC B --的⼤⼩为θ(显然为锐⾓)，则7 cos 7
n DB n DB
θ?=
=
所以⼆⾯⾓A PC B --余弦值为7
7
………………14分
z y
x
M
A
D B C
P N。