1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

∴f(x)为奇函数．
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探究三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[例 4] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π 的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
[答案] D
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23.
∴f53π＝
3 2.
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方法技巧 三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性，两者结合起来，可使 更全面的研究函数图象特征．
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延伸探究 5.(1)若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变， 结果如何？
而 z＋2π＝2x＋π3＋2π＝2(x＋π)＋π3，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x＋π，函
数值才能重复取得，所以函数 f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的最小正周期是 π.
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2．将本例(2)改为：求函数 y＝|1＋sin x|的最小正周期． 解析：∵y＝|1＋sin x|＝1＋sin x，∴T＝2π.
f(5)＝cos53π＝12，f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理可得，每连续六项的和均为 0，
即周期为 6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝12－12－1＝－1. [答案] －1
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方法技巧 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以先研究它在一个周期内的 函数值的变化情况，再给予推广求值．
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延伸探究 3.若将本例(1)的函数改为 f(x)＝sinπ2x＋π6，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝________．
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(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且
当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求 f53π的值． [解析] ∵f(x)的最小正周期是 π，
∴f53π＝f53π－2π＝f－π3. 又∵f(x)是 R 上的偶函数，
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(2)作出 y＝|sin 2x|(x∈R)的图象，如图所示：
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由图象可得，函数 y＝|sin 2x|(x∈R)的周期为π2.
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方法技巧 求三角函数的周期的方法 (1)定义法：对于定义域内每一个 x 是否存在非零常数 T，使 f(x＋T)＝f(x)，若存 在，则 T 是它的一个周期． (2)公式法：形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 为常数，且 A≠0) 的函数的周期 T＝|2ωπ|；正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ)，(其中 A≠0，ω≠0，ωx＋φ≠kπ ＋π2(k∈Z))的周期 T＝|ωπ|. (3)图象法：画出函数的图象，通过图象直接判断．
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角度 2 三角函数周期性的应用
[例 2] (1)已知函数 f(x)＝cosπ3x，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值为________． [解析] ∵f(1)＝cosπ3＝12，f(2)＝cos23π＝－12，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos43π＝－12，
解析：f(1)＝sinπ2＋π6＝cosπ6， f(2)＝sinπ＋π6＝－sinπ6， f(3)＝sin32π＋π6＝－cosπ6，
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f(4)＝sin2π＋π6＝sinπ6， f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， f(x)的周期 T＝4. ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝504×(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋f(1)＋f(2)＋f(3) ＝－sinπ6＝－12. 答案：－12
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跟踪探究 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin－12x＋π2； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)． 解析：(1)显然 x∈R，f(x)＝cos12x， f(－x)＝cos－12x＝cos12x＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．
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应用直观想象 发展逻辑推理
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性 阅读教材 P34～35，思考并完成以下问题 三角函数的正弦值、余弦值的“周而复始”体现了什么性质． (1)由诱导公式一：sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cosx(x∈R)都适合函数的特征： f(x＋T)＝f(x)，这是什么函数？ 提示：周期函数．
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知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性 (阅读教材 P36～37，思考并完成以下问题 正弦函数、余弦函数图象有哪些对称性？ (1)y＝sin x(x∈R)的图象关于(0，0)对称吗？为什么？ 提示：对称：由 sin(－x)＝－sin x 可知，若(x，y)是 y＝sin x 上的点，则(－x，－ y)也是图象上的点． (2)由 cos(－x)＝cos x(x∈R)可看出 y＝cos x 有什么对称性． 提示：关于 y 轴对称．
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(2)由12－ cos2cxo－s x1≥ ≥00， ，得 cos x＝12. ∴f(x)＝0，x＝2kπ±π3，k∈Z. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
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方法技巧 判断函数奇偶性应把握好两个关键点 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看 f(x)与 f(－x)的关系． 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
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(2)已知函数 f(x)＝cosπ3x，则满足 f(x)＝12的 x 的集合为________． [解析] 设 t＝π3x，当 t∈[0，2π)时，cos t＝12，t＝π3或 t＝53π. ∴π3x＝π3，∴x＝1，π3x＝53π，∴x＝5 ∵f(x)的周期为 6.∴x＝1＋6k 或 x＝5＋6k，k∈Z， 即所求的集合为{x|x＝1＋6k 或 x＝5＋6k，k∈Z}． [答案] {x|x＝1＋6k 或 x＝5＋6k，k∈Z}
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知识梳理 (1)对于 y＝sin x，x∈R 恒有 sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数 y＝sin x 是____奇______函数，正弦曲线关于___(0_，__0_)___对称． (2)对于 y＝cos x，x∈R，恒有 cos(－x)＝cos x，所以余弦函数 y＝cos x 是____偶______ 函数，余弦曲线关于____y轴______对称． (3)y＝sin x(x∈R)的对称中心坐标为___(k_π_，__0_)_k_∈__Z____，也是轴对称图形，对称轴 为(4)_y_＝_x_＝c_o_sπ2_＋x_(_xk_∈π_(_Rk_∈)_的_Z_对)__称__轴__为．__x_＝__k_π_(_k_∈__Z_)_，对称中心坐标为__π2_＋__k_π_，__0_k_∈__Z_.
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探究一 求三角函数的周期 [教材 P35 例 2]方法步骤：利用周期定义和诱导公式求解． 角度 1 三角函数的周期性 [例 1] 求下列函数的周期． (1)y＝2sin3x－π6(x∈R)； (2)y＝|sin 2x|(x∈R)．
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[解析] (1)法一：令 u＝3x－π6，∵x∈R，∴u∈R. 函数 y＝2sin u 的最小正周期是 2π，就是说变量 u 至少要增加到 u＋2π，函数 y＝ 2sin u(u∈R)的值才能重复取得． 而 u＋2π＝3x－π6＋2π＝3x＋23π－π6，所以自变量 x 至少要增加到 x＋23π，函数的 值才能重复取得，从而函数 y＝2sin3x－π6(x∈R)的周期为23π. 法二：利用公式可知，函数 y＝2sin3x－π6(x∈R)的周期 T＝|2ωπ|＝23π.
解析：f53π＝f53π－π＝f23π＝f23π－π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－
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(2)函数 y＝sin x 及 y＝cos x(x∈R)的周期是多少？ 提示：周期是 2kπ(k∈Z 且 k≠0)．
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知识梳理 (1)函数的周期性 ①对于函数 f(x)，如果存在一个__非__零__常__数__T___，使得当 x 取定义域内的___每__一__个___ 值时，都有___f_(x_＋__T__)＝__f_(_x_) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，__非__零__常__数__T__叫做这 个函数的周期． ②如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个__最__小__正__数__，那么这个最小正数叫做 f(x)的__最__小__正__周__期_____． (2)y＝sin x 与 y＝cos x 都是___周__期_____函数，_2_k_π_(_k_≠_0_，__k_∈__Z_)___都是它们的周期， 且它们的最小正周期都是____2_π_____．
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4．若将本例(2)改为：求使 cosπ3x＝1 的 x 的集合为________． 解析：使 cosπ3x＝1，有π3x＝0，∴x＝0. ∴{x|x＝6k，k∈Z}． 答案：{x|x＝6k，k∈Z}
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探究二 三角函数的奇偶性 [例 3] 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos32π＋2x＋x2sin x； (2)f(x)＝ 1－2cos x＋ 2cos x－1. [解析] (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x， ∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
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第一章 三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
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内容标准
学科素养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2.会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的周期． 3.掌握函数 y＝sin x，y＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角 函数的奇偶性.
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(2)由11－－1<sin
x<1.
解得定义域为xx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
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[自我检测] 1．函数 f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：A
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2．函数 y＝sin x＋2 的最小正周期为________． 答案：2π
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延伸探究 1.将本例(1)变为：求函数 y＝sin2x＋π3的最小正周期． 解析：令 z＝2x＋π3，因为 x∈R，所以 z∈R. 函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π， 即变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π，函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得．