人教A版高中数学必修五练习不等式测评

第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.若a<b<0,则下列不等式不成立的是( )
A.1
a >1
b B.a 3>b 3 C.a 2>b 2
D.b a
+a b
>2
a<b<0,不妨令a=-2,b=-1,代入四个选项知B 错误.
2.若x>-2,且x ≠0,则1x
的取值范围是( ) A.(-∞,-1
2)
B.(-1
2
,0)
C.(0,+∞)∪(-12
,0) D.(0,+∞)∪(-∞,-12
)
x>-2,且x ≠0,所以当x>0时,有1
x
>0;当-2<x<0时,有1x
<-12
.综上,1x
的取值范围是(0,+∞)∪(-∞,-12
).
3.不等式4+3x-x 2<0的解集为( ) A.{x|-1<x<4}
B.{x|x>4或x<-1}
C.{x|x>1或x<-4}
D.{x|-4<x<1}
4+3x-x 2<0可化为x 2-3x-4>0,即(x+1)(x-4)>0,解得x>4或x<-1.故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}.
4.若点(x ,y )位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y 的最小值是( ) A.-6
B.-2
C.0
D.2
y=|x|与y=2围成的封闭区域为Rt △AOB 及其内部(如图阴影部分).
设2x-y=z ,则y=2x-z ,要使z 最小,则-z 最大,当直线y=2x-z 经过点B (-2,2)时,-z 最大,即z min =2×(-2)-2=-6.故选A .
5.已知x<0,则函数y=4x+3
x 有( ) A.最大值4√3 B.最大值-4√3 C.最小值4√3
D.最小值-4√3
x<0,所以(-4x )+(-3
x )≥2√(-4x )·(-3
x )=4√3,当且仅当x=-√3
2时,取等号.于是y=4x+3
x ≤-4√3,即函数有最大值-4√3.
6.已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -4≤0,
3x +y -3≥0,x -y -1≤0,则z=y
x+1的最大值为( )
A.97
B.13
C.0
D.2
,z=y
x+1
的几何意义是可行域内的点与点(-1,0)的连线的斜率.由图知,当
连线经过点A 时,目标函数取得最大值.由{x +2y -4=0,3x +y -3=0,可得A (25,95),则z=y x+1的最大值是9
525
+1
=9
7.
7.已知函数f (x )=x 2+ax-3a-9对任意的x ∈R 恒有f (x )≥0,则f (1)等于( ) A.6 B.5
C.4
D.3
a 2-4(-3a-9)≤0,即a 2+12a+36≤0,(a+6)2≤0,所以a=-6.所以f (x )=x 2-6x+9,f (1)=4,故选
C .
8.若正实数a ,b 满足a+b=1,则( ) A.1a +1b
有最大值4 B.ab 有最小值14
C.√a +√b 有最大值√2
D.a 2+b 2有最小值√2
2
a+b=1,所以1a
+1b
=2+b a
+a b
≥4,当且仅当a=b=12
时,取等号.故A 错误;因为1=a+b ≥2√ab ,则
ab ≤1
4
,当且仅当
a=b=1
2
时,取等号.故B 错误;由于
1=a+b ≥(√a+√b )2
2,所以√a +√b
≤√2,当且仅当
a=b=12
时,取等号.故C 正确;因为a 2+b 2≥(a+b )22
=12
,当且仅当a=b=12
时,取等号.所以D 错误.
9.当x>0时,x 2+mx+4≥0恒成立,且关于t 的不等式t 2+2t+m ≤0有解,则实数m 的取值范围是( ) A.[1,+∞)
B.[-4,1]
C.(-∞,-4]∪[1,+∞)
D.(-∞,-4]
当x>0时,x 2+mx+4≥0恒成立,
∴m ≥-(x +4
x ).
∵x+4
x ≥2√x ·4
x =4,当且仅当x=2时取等号,∴m ≥-4. ∵关于t 的不等式t 2+2t+m ≤0有解, ∴Δ=4-4m ≥0, ∴m ≤1.
故实数m 的取值范围是[-4,1].故选B .
10.已知x ,y 满足约束条件{2x +y -3≥0,
x +2y -6≤0,y ≥x ,
若z=y-kx 取得最小值的最优解不唯一,则实数k 的值为
( ) A.1
2或1 B.-2或-1
2 C.-12或1
D.-2或1
,如图阴影部分所示,当直线z=y-kx与直线2x+y-3=0重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=-2;当直线z=y-kx与直线y=x重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一
,此时k=1.故实数k的值为-2或1.
11.已知x>0,y>0,若2y
x +8x
y
>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()
A.m≥4或m≤-2
B.m≥2或m≤-4
C.-2<m<4
D.-4<m<2
x>0,y>0,∴2y
x +8x
y
≥8(当且仅当2y
x
=8x
y
时,等号成立
).∵2y
x
+8x
y
>m2+2m恒成立,∴
m2+2m<8恒成立,解得-4<m<2.
12.已知x,y满足约束条件{
3x-y-6≤0,
x-y+2≥0,
x≥0,
y≥0,
若目标函数z=ax+by
(a>0,b>0)的最大值为6,则4
a
+6
b
的最小值为()
A.25
6
B.25
3
C.35
6
D.50
3
.根据目标函数所表示的直线的斜率是负值,可知
目标函数只在点A处取得最大值,故实数a,b满足4a+6b=6,即2a+3b=3,从而4
a
+6
b
=
1
3
(2a+
3b)(4
a
+6
b
)=1
3
(26+12b
a
+12a
b
)≥1
3
(26+24)=50
3
,当且仅当a=b时取等号.从而4
a
+6
b
的最小值为
50
3
.故选D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.不等式
x -1
x
≥2的解集是 .
不等式可化为x -1
x -2≥0,即x+1
x ≤0,所以-1≤x<0.故不等式的解集为{x|-1≤x<0}.
x|-1≤x<0}
14.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,
x +y ≥0,x ≤0,
则z=3x+2y 的值域是 .
(如图阴影部分所示),令x+2y=t ,由图形可知,当直线x+2y=t 经过点A (-12,1
2)时,t 取得最小值1
2;当直线x+2y=t 经过点B (0,1)时,t 取得最大值2,即1
2≤t ≤2.故z=3x+2y
的值域是[√3,9].
√3,9]
15.若log 2x=-log 2(2y ),则x+2y 的最小值是 .
log 2x+log 2(2y )=0,因此2xy=1.由题意知x ,y>0,所以x+2y ≥2√2xy =2,当且仅当x=1,y=1
2
时,取等号.
16.某火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料,由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需10小时,可加工出140箱水煮鱼火锅底料,每箱可获利80元;乙车间加工1吨原材料需6小时,可加工出80箱麻辣鱼火锅底料,每箱可获利100元.若甲、乙两车间每天共能完成至多7吨原料的加工,每天甲、乙两车间耗时总和不得超过48小时,则甲、乙两车间每天总获利的最大值为 元.
x 吨,乙车间加工原材料y 吨,甲、乙两车间每天总获利为z 元,则
{x ≥0,y ≥0,x +y ≤7,10x +6y ≤48,
目标函数z=11 200x+8 000y ,作出可行域,如图阴影部分所示.当z=11 200x+8 000y 对应的直线过直线x+y=7与10x+6y=48的交点A 时,目标函数z=11 200x+8 000y 取得最大值.由{x +y =7,10x +6y =48,得{x =1.5,y =5.5.故z max =11 200×1.5+8 000×
5.5=60 800,即甲、乙两车间每天总获利的最大值为60 800元. 三、解答题(共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知关于x 的不等式ax 2+x+c>0的解集为{x|1<x<3}. (1)求实数a ,c 的值;
(2)若关于x 的不等式ax 2+2x+4c>0的解集为A ,关于x 的不等式3ax+cm<0的解集为B ,且A ⊆B ,求实数m 的取值范围.
由题意知1,3是关于x 的方程ax 2+x+c=0的两个根,且
a<0,所以{a <0,
1+3=-1
a ,1×3=c a ,
解得{a =-1
4,c =-3
4. (2)由(1)得{a =-1
4,
c =-34,所以ax 2+2x+4c>0,即为-14
x 2+2x-3>0,解得2<x<6,所以A=(2,6). 又因为3ax+cm<0,即为x+m>0,解得x>-m ,所以B=(-m ,+∞). 因为A ⊆B ,所以-m ≤2,即m ≥-2. 故实数m 的取值范围是[-2,+∞).
18.(本小题满分12分)已知关于x
的不等式x 2-2ax+1≥0,其中a ∈R . (1)解该不等式;
(2)若不等式对任意的x ≥12
恒成立,求实数a 的取值范围. 当Δ=4a 2-4≤0,即-1≤a ≤1时,不等式的解集为R ;
当Δ=4a 2-4>0,即a>1或a<-1时,关于x 的方程x 2-2ax+1=0有两个不等的实数根,x 1=a+√a 2-1,x 2=a-√a 2-1,且x 1>x 2,不等式的解集为x ≥x 1或x ≤x 2.
综上,当-1≤a ≤1时,不等式的解集为R ;当a>1或a<-1时,不等式的解集为{x |x ≥a +√a 2-1或x ≤a -√a 2-1}.
(2)关于x 的不等式x 2-2ax+1≥0对任意的x ≥1
恒成立,即2ax ≤x 2+1,所以2a ≤x 2+1
. 由于
x ≥1,所以x 2+1=x+1
≥2,当且仅当
x=1时,取等号,故x 2+1
的最小值为
2,要使不等式恒成立,应
满足2a ≤2,即a ≤1.
19.(本小题满分12分)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边所成的角为60°(如图所示),考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9√3 m 2,且高度不低于√3 m .问防洪堤横断面的腰长AB 为多少时,横断面的外周长(AB+BC+CD )最小,并求最小外周长.
AB=x m,横断面的高度为h m,外周长为y m,
则有9√3=12(AD+BC )h ,其中AD=BC+2·x 2=BC+x ,h=√3
2x , 所以9√3=12(2BC+x )·√32x ,解得BC=18x −x
2. 由{ℎ=√3
2x ≥√3,BC =18x
-x
2
>0,
得2≤x<6. 所以y=BC+2x=18x +3
2x (2≤x<6). 由y=18
x +3
2x ≥2√18x ·3x
2=6√3, 当且仅当18
x =3
2x , 即x=2√3时等号成立.
故外周长AB+BC+CD 的最小值为6√3 m,此时腰长AB 为2√3 m .
20.(本小题满分12分)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨,B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨.如何安排生产,使该企业可获得最大利润?最大利润为多少?
x 吨,乙产品为y 吨,该企业获得的利润为z 万元,
则z=5x+3y ,且x ,y 满足{
x ≥0,y ≥0,
3x +y ≤13,2x +3y ≤18.
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.
联立{3x +y =13,2x +3y =18,解得{x =3,y =4.将z=5x+3y 化为y=-53x+z 3.由图可知,当直线y=-53x+z 3经过点
P (3,4)时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大,且z 的最大值为z=5×3+3×4=27.故该企业生产甲产品3吨,乙产品4吨时,可获得最大利润,最大利润为27万元. 21.(本小题满分12分)已知x ,y 满足{x ≥0,
y ≤x ,2x +y +k ≤0.
(1)若y ≥0,且k=-4时,求不等式组表示的平面区域的面积; (2)若z=x+3y 的最大值为12,试求k 的值.
画出不等式组表示的平面区域(如图①中的阴影部分),求得点A (43,4
3),B (2,0).
①
于是所求的平面区域的面积为S=1
2×2×4
3=4
3.
(2)由于k 的不同取值将影响不等式所表示的平面区域,故应对k 的取值进行讨论: 若k ≥0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图②中的阴影部分),由于z=x+3y ,所以y=-13
x+13
z ,因此当直线y=-13
x+13
z 经过平面区域中的点A (0,-k )时,z 取到最大值,且z max =-3k.令-3k=12,得k=-4,这与k ≥0相矛盾,舍去.
②
若k<0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图③中的阴影部分),由图知当直线y=-1
3x+1
3z 经过平面区域中的点A'(-k
3,-k
3)时,z 取到最大值,且z max =-4k
3.令-4k
3=12,得k=-9.
综上,所求k 的值为-9.
③
22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2-2ax-1+a ,a ∈R . (1)若a=2,试求函数y=
f (x )
x
(x>0)的最小值; (2)对于任意的x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立,试求a 的取值范围.
依题意得
y=f (x )x
=
x 2-4x+1x =x+1
x
-4. 因为x>0,所以x+1
x ≥2.
当且仅当x=1
x ,即x=1时,等号成立. 所以y ≥-2. 故当x=1时,y=
f (x )
x 的最小值为-2. (2)因为f (x )-a=x 2-2ax-1,所以要使得“任意的x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g (x )=x 2-2ax-1,
则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立. 所以{g (0)≤0,g (2)≤0,
即{0-0-1≤0,4-4a -1≤0,
解得a ≥3
4
.所以a 的取值范围是[34
,+∞).。