高考数学复习点拨直线与圆锥曲线问题解析

故 DE
(x1 x2) 2 ( y1 y2 )2
2 ( x1 x2) 2 4x1x2 4 5
（或 DE 1 k 2 x1 x2 4 5 ）．
说明：（1）当弦的两端点的坐标易求时， 可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求
弦 长 ；（ 2 ） 当 弦 的 两 端 点 的 坐 标 不 易 求 时 ， 可 用 弦 长 公 式 d
1
4 ，得 a
2．
(4，1) ，
注 :本题同样也可用“点差法”解．
说明：（ 1）求弦中点（轨迹）问题一般解题步骤 :①联立解方程组转化为一元二次方程；
②应用根与系数的关系；③消参数（注意检验） ．（ 2）求弦的中点及与中点有关的问题，常
用根与系数的关系；有时采用“点差法” ，可优化解题方法，简化运算．
3．圆锥曲线的弦长问题，考查两点的距离公式，弦长公式，以及分类讨论思想 例 3 已知点 A( 3，0) 和 B( 3，0) ，动点 C 到 A， B 两点的距离之差的绝对值为
2，点 C
的轨迹与直线 y x 2 交于 D， E 两点，求线段 DE 的长．
解：设点 C ( x， y) ，则 CA CB 2 ，
线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．
2．直线与圆锥曲线的相交弦中点问题，考查运用一元二次方程根与系数的关系，考查
用点差法与中点建立联系的能力
例2
已知倾斜角为
45°的直线
l 过点
A(1，
2) ，若直线
l 与双曲线
x2 C: 2
y2
1(a 0)
a
相交于 E，F 两点，且线段 EF 的中点坐标为 (4，1) ，求 a 的值．
直线与圆锥曲线问题解析
直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线与方程中的重点内容，
特别是公共点， 弦长及最
值等方面的内容更是本章的热点．下面就其三个方面进行说明．
1．直线与圆锥曲线的交点问题，考查用方程组的方法求交点的个数及交点坐标，培养 方程思想
例 1 讨论直线 l : y kx 1 与双曲线 C : x2 y 2 1 的公共点的个数．
根据双曲线的定义，可知点
C 的轨迹是双曲线
x2
2
y2 2 1．由 2a 2，2c
AB
2 3，
ab
2
得 a2 1， b2
2 ，故点 C 的轨迹方程是
2
x
y
1．
2
x2 由
2
y 2
1，消去 y ，得 x 2 4 x 6 0 ．
y x 2，
因为 0 ，所以直线与双曲线有两个交点． 设交点为 D ( x1，y1)， E( x2，y2 ) ，则 x1 x2 4 ， x1 x2 6 ．
解：联立方程
y kx 1，
x2
y2
整理得 (1 1，
k2 )x2
2kx
2
0，
当 k 1 时， x 1 ．
当 k 1时，
4k 2 8(1 k 2 ) 8 4k 2 ，
若 0 ，则 2 k 2 ；
若 0 ，则 k
2；
若 0 ，则 k
2或k 2．
综上所述，当 k
2 时，直线与双曲线相切于一点； k2 或
2
d 1 1 y1 y2 ；如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． k
用心 爱心 专心
2
解：由题意易知，直线 l 的方程为 y x 3 ，
由方程组
y x 3，
x2 a2
y2
得 1，
1 a2
1 x2
6x 10
0．
用心 爱心 专心
1
设两个交点分别为 E( x1， y1)， F (x2， y2 ) ，
则 x1 x2
2
6a 2 ，因为 EF 的中点坐标为 1a
2
所以 x1 x2 2
4 ，即
3a a2
于 一 点； k
2 或 k 2 时 ，直 线与双 曲 线没 有公 共点 ； 1 k 2 或 1 k 1 或
2 k 1时，直线与双曲线有两个公共点．
说明：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问
题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，
除了相切的情况之外，还有直