2014年高考新课标1全国卷理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标1
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.
1.已知集合2
{|230}A x x x =--，{|22}B x x =-<，则A B ⋂=（ ）. A .[]2,1-- B .[)1,2- C .[]1,1- D .[)1,2
2.32(1)(1)i i +=-（ ）. A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --
3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）.
A .()()f x g x 是偶函数
B .()()f x g x 是奇函数
C .()()g x f x 是奇函数
D .()()f x g x 是奇函数
4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）.
A .3
B .3
C .3m
D .3m
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.
A .18
B .38
C .58
D .78
6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）.
7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ）.
A .203
B . 72
C . 165
D .158 8.设(0,)2πα∈，(0,)2
πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ）. A .32παβ-=
B . 32παβ+=
C .22παβ-=
D .22παβ+=
9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩
的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,
3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.
其中真命题是（ ）.
A .2p ，3P
B .1p ，2p
C .1p ，4p
D .1p ，3P
10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若
4FP FQ =，则||QF =（ ）.
A .72
B . 3
C .52
D .2
11.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为（ ）.
A .()2,+∞
B .()1,+∞
C .(),2-∞-
D .(),1-∞-
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）.
A .62
B .6
C .42
D .4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必
须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.8()()x y x y -+的展开式中27
x y 的系数为 .（用数字填写答案）
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2
AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，
且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.
（Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.
18.（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .
（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间()187.8,212.2的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .
附：15012.2≈，若Z ～2(,)N μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，
(22)0.9544P Z μδμδ-<<+=.
19.（本小题满分12分）
如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.
（Ⅰ）证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，F 是椭圆的右焦 点，直线AF 的斜率为233
，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.
21.（本小题满分12分）
设函数1
()ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为(1)2y e x =-+. （Ⅰ）求,a b ；
（Ⅱ）证明：()1f x >.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如
果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框
涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE = （Ⅰ）证明：D E ∠=∠；
（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若0,0a b >>，且11a b
+=. （Ⅰ）求33a b +的最小值；
（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
参考答案
一、选择题
ADCAD CDCBB CB
二、填空题
13. 20- 14. A 15.
π2 16.
三、解答题
17.（1）证明：由题意得112
111n n n n n n a a S a a S λλ++++=-⎧⎨=-⎩ 所以1211n n n n n a a a a a λ++++-=
又因为0n a ≠
所以10n a +≠
所以2n n a a λ+-=
（2）解：假设存在λ，使得{}n a 为等差数列.
由（1）知12131
1a a a a a λλ=-⎧⎨-=⎩ 因为11a =
所以2311
a a λλ=-⎧⎨=+⎩ 因为1322a a a +=
所以()221λλ+=-
所以4λ=
故24,n n a a +-=
所以{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143;n a n -=-
{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，24 1.n a n =-
所以121, 2.n n n a n a a +=--=
因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列.
18.解：
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数
1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯
2100.242200.082300.02+⨯+⨯+⨯
200=
()()()2222300.02200.09100.22s =-⨯+-⨯+-⨯
22200.33100.24200.08300.02+⨯+⨯+⨯+⨯
150=
（2）（1）由（1）知，()~200,150Z ，从而
()()187.8212.220012.220012.20.6826P Z P Z <<=-<<+=
（2）由（1）知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826
依题意知()~100,0.6826X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=
19.解：
（1）连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO .因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点.
又1B O CO =，故1AC AB =
（2）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO CO =
又因为AB BC =，所以BOA BOC ≅
故OA OB ⊥，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直.
以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -. 因为160CBB ∠=，所以1CBB 为等边三角形.又AB BC =，则
30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝
⎭， 1131,,03B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝
⎭ 设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，
11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
所以可取()
1,3,3n = 设m 是平面111A B C 的法向量，则111100
m B C m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 同理可取()1,3,3m =-
则1cos ,7
n m
n m n m ⋅== 所以二面角111A A B C --的余弦值为
17.
20.解：
（1）设(),0F c ，由条件知，
2233c =，得3c = 又32
c a =，所以2a =，222b a c =-1= 故E 的方程为2
214
x y +=. （2）依题意设直线l ：2y kx =-
将2y kx =-代入2
214x y +=得 ()221416120k x kx +-+=
当()216430k ∆=->，即2
34k >时，21,22824341k k x k ±-=+ 从而222
1224143141
k k PQ k x x k +-=+-=+ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+，所以OPQ 的面积
12OPQ S d PQ =⋅=
t =，则0t >，24444OPQ t S t t t
=
=++ 因为44t t
+≥，当且仅当2t =
，即2k =±时等号成立，且满足0∆> 所以当OPQ 的面积最大时，l 的方程为
22
y x =±
-. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x
--'=+
-+, 由题意可得()12f =,()1f e '=
故1, 2.a b == （2）由（1）知，()12ln x x f x e x e x -=+
从而()1f x >等价于2ln x x x xe e
->-. 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+. 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<;当1,x e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时, ()0g x '>.
故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为 11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 设函数()2x h x xe e -=-，则()()1x h x e x -'=-. 所以当()0,1x ∈时，()0h x '>;当()1,x ∈+∞时，()0h x '<.故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x 在()0,+∞的最大值为()11h e
=-
. 综上，当0x >时，()()g x h x >,即()1f x >.
22.（1）由题设得，,,,A B C D 四点共面，所以D CBE ∠=∠
由已知得，CBE E ∠=∠ ,所以D E ∠=∠
（2）设BC N 中点为，连接MN ,则由MB MC =,知MN BC ⊥
所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM AD ⊥
即MN AD ⊥所以AD //BC ,故A CBE ∠=∠.
又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠由（1）知D E ∠=∠
所以ADE △为等边三角形。

23.（1）曲线C 的参数方程为2cos ()3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩
为参数 直线l 的普通方程为260x y +-=
（2）在曲线C 上任意取一点(2cos ,3sin )P θθ到l
的距离为d 3sin 6θθ=+-
则0)6sin 30d PA θα=
=+-其中α为锐角。

且4tan 3θ=
当sin()θα+1=-时，5
PA 取得最大值
当sin()θα+1=PA
24.（111
a b =+≥得2ab ≥，当且仅当a b ==
故33a b +≥≥a b ==
由于6>，从而不存在,236a b a b +=使得。