预条件SOR方法收敛性比较
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-1 -1 -1
[3] 引理 7 令 T Ε 0, 如果存在 T Ε 0 x > 0和 α > 0, 使 Tx Φ αx, 则 ρ( T ) Φ α 。 进一步 , 如果使 Tx < αx, 则 ρ( T ) < α 。 [3] -1 -1 引理 8 令 A = M ∃ N 为弱正则分裂 , 则 ρ(M N ) < 1 Ζ A Ε 0 。 [5] -1 -1 引理 9 令 A 为不可约矩阵 ,若 A =M - N 为 M - 分裂 ,则存在一个正向量 x,使得 ρ(M N ) x =M N x 。
在解线性方程组
Ax = b ( 1)
时 ,一般采用迭代法 。这里 A 为一个 n 阶方阵 , x, b为 n 维向量 1 常见的迭代法有 AOR、 SOR、 Gauss Seidel等经典的迭代法 , 为了加快迭代法的收敛速度 , 许多学者采用预条件方法 。在 2001 年 , Evans等 人在文献 [ 1 ]中给出了一个新的预条件子 P = ( I + C ) , 其中 - a1 n i = 1, j = n ( 2) C = ( aij ) = , 0 其他 并证明了预条件 AOR 法加快了一般 AOR 方法的收敛速度 。 本文给出一种新预条件子 P = ( I + S ) , 其中 - ain i = 1 …n - 1, j = n ( 3) S = ( aij ) = 1 0 其他 我们将证明 , 在这种预条件子作用下的预条件 SOR 方法加快了经典的 SOR 方法的收敛速度 。 对于线性方程组 ( 1 ) ,不失一般性 ,令 A = I - L - U, 其中 I为单位矩阵 , L 和 U 分别为 A 的严格下 三角和严格上三角矩阵 。则对应于 ( 1 ) 的 Gauss - Seidel和 SOR 迭代阵分别为 -1 -1 ( 4) TG - S = M N = ( I - L ) U; -1 ( 5) TSOR = ( I - ωL ) ( ( 1 - ω) I +ωU ) , 0 < ω Φ 11 对应于 ( 2 ) 的 Gauss - Seidel 迭代矩阵为
-1 -1 ρ(Mω Nω ) x = Mω Nω x
-1 -1 用 λ表示 ρ(Mω Nω ) , 则 ( I - ωL ) ( ( 1 - ω) I +ωU ) x = λx, 则
TSOR ( S ) - λx = M Sω [ ( 1 - ω) ( I + D S 1 ) +ω ( U + US 1 ) ] x - λx
预条件sor方法收敛性比较扬州大学数学科学学院江苏扬州2250022001年evans等人在文献d1j1evansm1m1martinsm1e1trigo1theaormethodpreconditionedliner1322001用下的预条件aor方法文章将讨论在预条件子作用下的预条件sor与经典的sor方法的收敛速度之间的关系这里a的上三角矩阵每行的最后一个元素组成
2 主要结论
引理 10 设 A 为非奇异 M ∃ 矩阵 ,则 AC = ( I + C ) 也为非奇异 M - 矩阵 , 其中 C 为 (2) 所定义的矩阵。 证明 : 因为 aij - ain an j i = n, 1 Φ j < n
, 0 i = 1, j = n aij 2 Φ i Φ n, 1 Φ j Φ n 因为 A 为 Z - 矩阵 ,所以 ( aC ) ij Φ 0, 所以 AC 也为 Z - 矩阵 。 又 A 为非奇异 M - 矩阵 ,由引理 6 可知 ,存在向量 x > 0, 使 A x > 0, 所以 AC x = ( I + C ) A x > 0 。再 由该引理便得到所证结论 1 引理 11 设 A 为不可约 M - 矩阵 ,且 0 < ain an i < 1, 1 Φ i < n, 则 TSOR ( S ) 和 TSOR 为非负矩阵 。 AC = ( aC ) ij =
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第 2期
何宏好 ,等 : 预条件 SOR 方法收敛性比较
・7・
引理 12 设 A 为非奇异 M ∃ 矩阵 ,且 0 < a1 n an1 < 1, 则 ρ( TC ) < 1 。 证明 : 因为 1 - a1 n an1 i = j = 1
M C = ( aC ) ij =
证明 : 因为 ( I - ωL ) = I +ωL +ω L + … -1 所以 TSOR = ( I - ωL ) [ ( 1 - ω) I +ωU ] 2 2 = ( I +ωL +ω L + …) [ ( 1 - ω) I +ωU ] = ( 1 - ω) I +ωU + T 其中 T 为非负矩阵 , 又因 A 为 M - 矩阵 , 所以 , L, U 都为非负矩阵 , 且 A 不可约 , 我们可以得 ( 1 - ω) I + ωU 为非负矩阵 。
= M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 +ω ( U S 1 - DS 1 + LS 1 ) - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 +ω ( SL - S + SU ) - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 +ωSL - ωS +ωSU - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 +ωSL - ωS +λS ( 1 - ωL ) - S ( 1 - ω) - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 + ( 1 - λ)ωSL - S ( 1 - λ) - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω = M Sω
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
ωL +λ ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - ω - λ) D S 1 + ( 1 - ω - λ) I +ωU +ωU S 1 +λ ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - ω - λ) D S 1 + ( 1 - ω - λ) I + (λ +ω - 1 ) I +ωU S 1 +λ ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - ω - λ) D S 1 +ωUS 1 +λ
・6・ 角和严格上三角矩阵 。
云南师范大学学报 (自然科学版 )
第 29 卷
1 预备知识
定义 1 定义 2
[3] [3]
n× n 设 A = ( aij ) ∈ R , 如果 aij Ε 0, i, j = 1, 2 ……, 则称 A 为非负矩阵 。 n× n n× n
A = ( aij ) ∈ R 称为 Z - 矩阵 , 若 aij Φ 0, i ≠ j ( i, j = 1, 2 …) ; 若 A ∈ Z 有分解式 A = sI - B , B Ε 0, 使得 s > ρ( B ) ,则称 A 为 M - 矩阵 。 [3] 定义 3 矩阵分裂 A = M - N 称为 ( 1 ) Gauss - Seidel - 分裂 ,如果 M = ( D - L ) , N = U ; ( 2 ) M - 分裂 ,如果 M 为非奇异的 M - 矩阵 ,且 N Ε 0 ; ( 3 )弱正则分裂 ,如果 M - 1 存在 , 且 M - 1 Ε 0, M - 1 N Ε 0 。 [2] 定义 4 如果矩阵 A 的方向图为强连接的 ,则称 A 为不可约矩阵 。 [2] 引理 5 若 A 为 Z ∃ 矩阵 , 则下列条件等价 ( 1 ) A 为非奇异 M ∃ 矩阵 ; ( 2 )存在向量 x > 0, 使得 A x > 0 ; ( 3 ) A 的所有主子式为正 。 [4] -1 -1 引理 6 若 A1 = M 1 - N 1 和 A2 = M 2 - N 2 分别为弱正则的单调矩阵 , 且有 M 2 Ε M 1 , 如果存在 一个正向量 x, 使得 0 Φ A1 x Φ A2 x , 则有 -1 -1 M 2 N2 x Φ M 1 N1 x , 特别地 , 如果 M 1 N 1 有一个 Pe rron向量 , 则 ρ(M 2 N 2 ) Φ ρ(M 1 N 1 ) 。
1 2 Φ i = j Φ n , - aij i > j
由条件可知 , 1 - a1n an1
0 i < j -1 > 0, 所以 M C 为 M - 矩阵 , 因而 M C Ε 0。 又 N C Ε 0。 所以 AC = M C - N C 为 M - 分
第 29 卷范大学学报 Journal of Yunnan Normal University
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Vol . 29 No. 2 M ar . 2009
预条件 SOR 方法收敛性比较
何宏好 , 袁东锦 , 侯 毅
(扬州大学数学科学学院 ,江苏 扬州 225002 )
A =
1 1 ( I - ωL ) ( ( 1 - ω) I +ωU ) , ω ω
显然 Mω =
1 1 ( I - ωL ) 为非负 M - 矩阵 , 而 Nω = ( ( 1 - ω) I +ωU ) 为非负矩阵 , 所以 A = M - N 为 ω ω M - 分裂 。 由引理 8 和 9 可知 ,ρ( TSOR ( S ) ) < 1 且存在一个正向量 X ,使得
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收稿日期 : 2008 - 10 - 07 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 607740731 ) 1 作者简介 : 何宏好 (1982 - ) ,男 ,安徽省蚌埠市人 ,在读硕士研究生 ,主要从事数值代数方面研究 1 通讯作者 : 袁东锦 ( 1958 - ) ,男 ,江苏省扬州市人 ,教授 ,主要从事并行计算方面研究 1
TC = M C N C = ( DC - LC )
-1 -1
UC ,
( 6)
其中 DC = I + DC 1 , LC = L + LC 1 , UC = U + UC 1 , 而 DC 1 , LC 1 , UC 1 分别为 C - CL 的主对角线矩阵 , 严格 下三角和严格上三角矩阵 。 对应于 ( 3 ) 的 Gauss - Seidel 和 SOR 迭代阵分别为
TG - S = M S N S = ( D S - LS ) TSOR ( S ) = M
-1 Sω -1 -1
US ;
( 7) ( 8)
N Sω = ( D S - ωLS )
-1
( ( 1 - ω) DS +ωU S ) , 0 < ω Φ 11
其中 DS = I + DS 1 , LS = L + LS 1 , US = U + US 1 , 而 DS 1 , LS 1 , US 1 分别为 S - SL 的主对角线矩阵 ,严格下三
-1
裂 ,由定义 3可知 ,M - 分裂必为弱正则分裂 ,又 A 为 M - 矩阵 , 所以 A Ε 0。 由引理 8 可得 ρ( TC ) < 1 。 注 : 同理可得当 A 为非奇异 M ∃ 矩阵时 ,有 ρ( TG - S ) < 1 成立 。 定理 13 若 A 为非奇异不可约 M - 矩阵 ,且 0 < a inan i < 1, 1 Φ i < n, 当 0 < ω Φ 1 时 , 则有 ρ( RSOR ( S ) Φ ρ( TSOR ) < 1。 证明 : 因为 A 为不可约 M - 矩阵且 0 < ω Φ 1 ,则
摘 要: 在 2001 年 , Evans等人在文献 [ 1 ] (D 1J1 Evans,M 1M 1M artins, M 1 E1 Trigo1 The AOR method for p reconditioned liner[ J ] , J 1Com 1App 1M ath , 132 (2001) : 461 - 466)中讨论了在预条件子 P = ( I + C) 作 用下的预条件 AOR 方法 , 文章将讨论在预条件子 P = ( I + S ) 作用下的预条件 SOR 与经典的 SOR 方法 的收敛速度之间的关系 , 这里 , S 由 A 的上三角矩阵每行的最后一个元素组成 。 关键词 : M - 矩阵 ; 预条件迭代法 ; Gauss - Seidel - 分裂 ; 收敛 中图分类号 : O151121 文献标识码 : A 文章编号 : 1007 - 9793 (2009) 02 - 0005 - 04
[3] 引理 7 令 T Ε 0, 如果存在 T Ε 0 x > 0和 α > 0, 使 Tx Φ αx, 则 ρ( T ) Φ α 。 进一步 , 如果使 Tx < αx, 则 ρ( T ) < α 。 [3] -1 -1 引理 8 令 A = M ∃ N 为弱正则分裂 , 则 ρ(M N ) < 1 Ζ A Ε 0 。 [5] -1 -1 引理 9 令 A 为不可约矩阵 ,若 A =M - N 为 M - 分裂 ,则存在一个正向量 x,使得 ρ(M N ) x =M N x 。
在解线性方程组
Ax = b ( 1)
时 ,一般采用迭代法 。这里 A 为一个 n 阶方阵 , x, b为 n 维向量 1 常见的迭代法有 AOR、 SOR、 Gauss Seidel等经典的迭代法 , 为了加快迭代法的收敛速度 , 许多学者采用预条件方法 。在 2001 年 , Evans等 人在文献 [ 1 ]中给出了一个新的预条件子 P = ( I + C ) , 其中 - a1 n i = 1, j = n ( 2) C = ( aij ) = , 0 其他 并证明了预条件 AOR 法加快了一般 AOR 方法的收敛速度 。 本文给出一种新预条件子 P = ( I + S ) , 其中 - ain i = 1 …n - 1, j = n ( 3) S = ( aij ) = 1 0 其他 我们将证明 , 在这种预条件子作用下的预条件 SOR 方法加快了经典的 SOR 方法的收敛速度 。 对于线性方程组 ( 1 ) ,不失一般性 ,令 A = I - L - U, 其中 I为单位矩阵 , L 和 U 分别为 A 的严格下 三角和严格上三角矩阵 。则对应于 ( 1 ) 的 Gauss - Seidel和 SOR 迭代阵分别为 -1 -1 ( 4) TG - S = M N = ( I - L ) U; -1 ( 5) TSOR = ( I - ωL ) ( ( 1 - ω) I +ωU ) , 0 < ω Φ 11 对应于 ( 2 ) 的 Gauss - Seidel 迭代矩阵为
-1 -1 ρ(Mω Nω ) x = Mω Nω x
-1 -1 用 λ表示 ρ(Mω Nω ) , 则 ( I - ωL ) ( ( 1 - ω) I +ωU ) x = λx, 则
TSOR ( S ) - λx = M Sω [ ( 1 - ω) ( I + D S 1 ) +ω ( U + US 1 ) ] x - λx
预条件sor方法收敛性比较扬州大学数学科学学院江苏扬州2250022001年evans等人在文献d1j1evansm1m1martinsm1e1trigo1theaormethodpreconditionedliner1322001用下的预条件aor方法文章将讨论在预条件子作用下的预条件sor与经典的sor方法的收敛速度之间的关系这里a的上三角矩阵每行的最后一个元素组成
2 主要结论
引理 10 设 A 为非奇异 M ∃ 矩阵 ,则 AC = ( I + C ) 也为非奇异 M - 矩阵 , 其中 C 为 (2) 所定义的矩阵。 证明 : 因为 aij - ain an j i = n, 1 Φ j < n
, 0 i = 1, j = n aij 2 Φ i Φ n, 1 Φ j Φ n 因为 A 为 Z - 矩阵 ,所以 ( aC ) ij Φ 0, 所以 AC 也为 Z - 矩阵 。 又 A 为非奇异 M - 矩阵 ,由引理 6 可知 ,存在向量 x > 0, 使 A x > 0, 所以 AC x = ( I + C ) A x > 0 。再 由该引理便得到所证结论 1 引理 11 设 A 为不可约 M - 矩阵 ,且 0 < ain an i < 1, 1 Φ i < n, 则 TSOR ( S ) 和 TSOR 为非负矩阵 。 AC = ( aC ) ij =
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第 2期
何宏好 ,等 : 预条件 SOR 方法收敛性比较
・7・
引理 12 设 A 为非奇异 M ∃ 矩阵 ,且 0 < a1 n an1 < 1, 则 ρ( TC ) < 1 。 证明 : 因为 1 - a1 n an1 i = j = 1
M C = ( aC ) ij =
证明 : 因为 ( I - ωL ) = I +ωL +ω L + … -1 所以 TSOR = ( I - ωL ) [ ( 1 - ω) I +ωU ] 2 2 = ( I +ωL +ω L + …) [ ( 1 - ω) I +ωU ] = ( 1 - ω) I +ωU + T 其中 T 为非负矩阵 , 又因 A 为 M - 矩阵 , 所以 , L, U 都为非负矩阵 , 且 A 不可约 , 我们可以得 ( 1 - ω) I + ωU 为非负矩阵 。
= M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 +ω ( U S 1 - DS 1 + LS 1 ) - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 +ω ( SL - S + SU ) - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 +ωSL - ωS +ωSU - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 +ωSL - ωS +λS ( 1 - ωL ) - S ( 1 - ω) - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - λ) D S 1 + ( 1 - λ)ωSL - S ( 1 - λ) - ( 1 - λ)ωLS 1 ] x = M Sω = M Sω
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
ωL +λ ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - ω - λ) D S 1 + ( 1 - ω - λ) I +ωU +ωU S 1 +λ ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - ω - λ) D S 1 + ( 1 - ω - λ) I + (λ +ω - 1 ) I +ωU S 1 +λ ωLS 1 ] x = M Sω [ ( 1 - ω - λ) D S 1 +ωUS 1 +λ
・6・ 角和严格上三角矩阵 。
云南师范大学学报 (自然科学版 )
第 29 卷
1 预备知识
定义 1 定义 2
[3] [3]
n× n 设 A = ( aij ) ∈ R , 如果 aij Ε 0, i, j = 1, 2 ……, 则称 A 为非负矩阵 。 n× n n× n
A = ( aij ) ∈ R 称为 Z - 矩阵 , 若 aij Φ 0, i ≠ j ( i, j = 1, 2 …) ; 若 A ∈ Z 有分解式 A = sI - B , B Ε 0, 使得 s > ρ( B ) ,则称 A 为 M - 矩阵 。 [3] 定义 3 矩阵分裂 A = M - N 称为 ( 1 ) Gauss - Seidel - 分裂 ,如果 M = ( D - L ) , N = U ; ( 2 ) M - 分裂 ,如果 M 为非奇异的 M - 矩阵 ,且 N Ε 0 ; ( 3 )弱正则分裂 ,如果 M - 1 存在 , 且 M - 1 Ε 0, M - 1 N Ε 0 。 [2] 定义 4 如果矩阵 A 的方向图为强连接的 ,则称 A 为不可约矩阵 。 [2] 引理 5 若 A 为 Z ∃ 矩阵 , 则下列条件等价 ( 1 ) A 为非奇异 M ∃ 矩阵 ; ( 2 )存在向量 x > 0, 使得 A x > 0 ; ( 3 ) A 的所有主子式为正 。 [4] -1 -1 引理 6 若 A1 = M 1 - N 1 和 A2 = M 2 - N 2 分别为弱正则的单调矩阵 , 且有 M 2 Ε M 1 , 如果存在 一个正向量 x, 使得 0 Φ A1 x Φ A2 x , 则有 -1 -1 M 2 N2 x Φ M 1 N1 x , 特别地 , 如果 M 1 N 1 有一个 Pe rron向量 , 则 ρ(M 2 N 2 ) Φ ρ(M 1 N 1 ) 。
1 2 Φ i = j Φ n , - aij i > j
由条件可知 , 1 - a1n an1
0 i < j -1 > 0, 所以 M C 为 M - 矩阵 , 因而 M C Ε 0。 又 N C Ε 0。 所以 AC = M C - N C 为 M - 分
第 29 卷范大学学报 Journal of Yunnan Normal University
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Vol . 29 No. 2 M ar . 2009
预条件 SOR 方法收敛性比较
何宏好 , 袁东锦 , 侯 毅
(扬州大学数学科学学院 ,江苏 扬州 225002 )
A =
1 1 ( I - ωL ) ( ( 1 - ω) I +ωU ) , ω ω
显然 Mω =
1 1 ( I - ωL ) 为非负 M - 矩阵 , 而 Nω = ( ( 1 - ω) I +ωU ) 为非负矩阵 , 所以 A = M - N 为 ω ω M - 分裂 。 由引理 8 和 9 可知 ,ρ( TSOR ( S ) ) < 1 且存在一个正向量 X ,使得
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收稿日期 : 2008 - 10 - 07 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 607740731 ) 1 作者简介 : 何宏好 (1982 - ) ,男 ,安徽省蚌埠市人 ,在读硕士研究生 ,主要从事数值代数方面研究 1 通讯作者 : 袁东锦 ( 1958 - ) ,男 ,江苏省扬州市人 ,教授 ,主要从事并行计算方面研究 1
TC = M C N C = ( DC - LC )
-1 -1
UC ,
( 6)
其中 DC = I + DC 1 , LC = L + LC 1 , UC = U + UC 1 , 而 DC 1 , LC 1 , UC 1 分别为 C - CL 的主对角线矩阵 , 严格 下三角和严格上三角矩阵 。 对应于 ( 3 ) 的 Gauss - Seidel 和 SOR 迭代阵分别为
TG - S = M S N S = ( D S - LS ) TSOR ( S ) = M
-1 Sω -1 -1
US ;
( 7) ( 8)
N Sω = ( D S - ωLS )
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( ( 1 - ω) DS +ωU S ) , 0 < ω Φ 11
其中 DS = I + DS 1 , LS = L + LS 1 , US = U + US 1 , 而 DS 1 , LS 1 , US 1 分别为 S - SL 的主对角线矩阵 ,严格下三
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裂 ,由定义 3可知 ,M - 分裂必为弱正则分裂 ,又 A 为 M - 矩阵 , 所以 A Ε 0。 由引理 8 可得 ρ( TC ) < 1 。 注 : 同理可得当 A 为非奇异 M ∃ 矩阵时 ,有 ρ( TG - S ) < 1 成立 。 定理 13 若 A 为非奇异不可约 M - 矩阵 ,且 0 < a inan i < 1, 1 Φ i < n, 当 0 < ω Φ 1 时 , 则有 ρ( RSOR ( S ) Φ ρ( TSOR ) < 1。 证明 : 因为 A 为不可约 M - 矩阵且 0 < ω Φ 1 ,则
摘 要: 在 2001 年 , Evans等人在文献 [ 1 ] (D 1J1 Evans,M 1M 1M artins, M 1 E1 Trigo1 The AOR method for p reconditioned liner[ J ] , J 1Com 1App 1M ath , 132 (2001) : 461 - 466)中讨论了在预条件子 P = ( I + C) 作 用下的预条件 AOR 方法 , 文章将讨论在预条件子 P = ( I + S ) 作用下的预条件 SOR 与经典的 SOR 方法 的收敛速度之间的关系 , 这里 , S 由 A 的上三角矩阵每行的最后一个元素组成 。 关键词 : M - 矩阵 ; 预条件迭代法 ; Gauss - Seidel - 分裂 ; 收敛 中图分类号 : O151121 文献标识码 : A 文章编号 : 1007 - 9793 (2009) 02 - 0005 - 04