2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.计算=（）
（A 1
（B ）1 （C （D ）2 2.满足等式()
2221m m m ---=的所有实数m 的和为（） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
3.已知AB 是圆O 的直径，
C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠
的平分线交圆O 于点D ，若CD ，则AB =
（A ）2
（B
（C ）（D ）3 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
5.矩形ABCD 的边长3,2AD AB ==,E 为AB 的
中点,F 在线段BC 上,1
2BF FC =∶∶，AF 分别与DE ,DB 交于点,M N ,则MN =
（A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n 为“好数”那么，所有“好数”之和为（）
（A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=_________.
2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是
红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n =___________..
3.在ABC ∆中，60,75,10A C AB ∠=∠==，,,D E F 分别在
,,AB BC CA 上，则DEF ∆的周长最小值为___________.
4.若实数,,x y z 满足()222
8x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z --z x -的最大值，则A 的最大值为.
第二试（A ）
一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2
222223236,a c b d ad bc +=+=-= 求()()2222a b c d ++的值.
二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点,B C 作圆O 的切线，交于
点P ，连接AC ，若92OP AC =，求PB AC
的值.
三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得
等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值.
第二试（B ）
一、（本题满分20分）已知1t =
，若正整数,,a b m ,使()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值.
二、（本题满分25分）在ABC ∆中，AB AC >，O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，且满
足2AB AC OI -=,求证：
（1）OI ∥BC ;
（2）2AOC AOB AOI S S S ∆∆∆-=.
三、（本题满分25分）若正数,,a b c 满足222
2222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 求代数式222222222
222b c a c a b a b c bc ca ab
+-+-+-++的值.。