工程力学 06动量定理

mB vr kmBϕ0 l v= = mA + mB mA + mB
当 时，也有 。此时小球相对于物块有向右 ϕ =0 sin kt = −1 kϕ 0 l 的最大速度 ，可求得物块有向左的最大速度
kmBϕ0 l v= mA + mB
【例6.3】 如图6.3所示，均质曲柄为 如图6.3 6.3所示，均质曲柄为 AB长r，质量为m1，假设受力偶作用 以不变的角速度 转动，并带动滑槽 ω 连杆以及与它固连的活塞D，如图所 示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2， 质心在点C。在活塞上作用一恒力F。 不计摩擦，求作用在曲柄轴A处的最 大水平分力Fx。
(6-10)
F a 式中， 合外 为作用在质点系上外力的合力； C 为质点系质心的 加速度。
dvC (6-8) (6-10) 将式(6-8) a C = (6-8)和 代入式(6-10) (6-10)，整理得 dt F合外dt = dm ⋅ vC = dP
(6-11)
若 F合外 = 0，则有 vC = 常量 即质点系在运动过程中，如果作用于质点系上的外力矢量 和 F合外 为零，则质点系质心的速度 C 为一常量；如果开始时 质点系质心速度为零，则无论质点系各质点如何运动，质点系 (6-11) 的质心位置保持不变。这就是质心运动守恒定律。将式(6-11) 向坐标轴投影可得到质心运动守恒定律投影式，这也是质心运 动定理应用最为广泛之处。
6.10 6-7 如图6.10 6.10所示，均质杆AB长为l，直立放在光滑的水平面上。 求杆从铅直位置无初速度倒下时，端点A相对图示坐标系的运 动轨迹。 6-8 如图6.11 6.11 6.11所示，质量为的小球沿质量为的光滑大半圆柱顶 部滑下，大半圆柱半径为R，放在光滑水平面上。初始时系统 静止，求小球脱离大半圆柱前相对图示坐标系的运动轨迹。
⎧ F1 ⋅ dt = m1d v1 ⎪ ⎨ Fi ⋅ dt = mi dvi ⎪ F ⋅ dt = m d v ⎩ n n n
(6-6)
(6-6) 将方程(6-6) (6-6)求和得 (∑ Fi ) ⋅ d t = ∑ mi dv i = ∑ d mi v i = ∑ dPi
即
(F合外 + F合内 )dt = dP
v
【例6.2】 如图6.2所示，物块A可沿光滑水平面自由滑动，其 质量为mA，小球B的质量为mB，用细杆与物块铰接，如图所示。设 杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角 ϕ0 ；释 ϕ = ϕ 0 cos kt 规律摆动(k为已知常数)，求 放后，细杆近似以 物块A的最大速度。
解：取物块和小球为研究对象，其上的重 力以及水平面的约束力均为铅垂方向。此系统 水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守 & 恒。细杆角速度为 ω = ϕ = − kϕ 0 sin kt ， 当 sin kt = 1 时，其绝对值最大，此时应 有 cos kt = 0 ，即 ϕ = 0 。由此，当细杆铅垂时 小球相对于物块有最大的水平速度，其值 为 vr = lω max = kϕ0 l ，当速度 vr向左时，物块 应有向右的绝对速度，设为v，而小球向左的绝 va = vr − v 对速度值为 。根据动量守恒定律，有 m A v − m B (v r − v ) = 0 解出物块的速度为
Fmax m1 = F + rω ( + m ) 2
2
思
考 题
6-1 当质点系中每一质点都做高速运动时，该系统的动量是否一 定很大？为什么？ 6-2 炮弹在空中飞行时，若不计空气阻力，则系统质心的轨迹为 一抛物线。炮弹在空中爆炸后，其质心轨迹是否改变？当部分 弹片落地后，其质心轨迹是否改变？为什么？ 6-3 试求如图6.4 6.4 6.4所示各均质物体的动量。设各物体的质量均为m。 6-4 一刚体受一力系作用，若改变力系中各力的作用点，则刚体 质心的加速度如何变化？ 6-5 若一质点在做匀速圆周运动，则其动量有无变化？为什么？
第6章
● 6.1.1 ● 6.1.2 ● 6.1.3
动量定理
● 6.1 动量定理与动量守恒定律
动量与冲量 质点的动量定理 质点系的动量定理与动量守恒定律
● 6.2 动量定理与动量守恒定律的应用 ●本章习题
● 6.1 动量定理与动量守恒定律 ● 6.1.1 动量与冲量 F 冲量是指力F在时间t上的累计，即F·t，用字母I表示。由于 冲量为矢量F乘上一个标量t，因此冲量仍是矢量，并且具有力F 的矢量特征，当然由于时间t的加入，使得冲量为一过程量。 即，力F在物体上作用t时间的冲量I为
(6-7)
F 为 式中，P = ∑ P i；F合外为作用在质点系上外力的合力； 合内 质点系内力的合力 根据作用与反作用定律，内力是成对出现的，则 F合内 ≡ 0则 . (6-7) 式(6-7) (6-7)可写为 (6-8) F合外dt = dP
即质点系的动量在任一时间内的增量，等于作用于该质点 系上的外力在同一时间内对质点系的冲量。此即为质点系的动 量定理。和质点的动量定理一样，质点系的动量定理同样具有 (6-8) 微分式、积分式和普通式，只需将式(6-8) (6-8)处理一下即可。 (6-8) 由式(6-8) (6-8)可知，若作用在质点上的外力 F合外 = 0，则 有 dP = 0 ，也就是说此时质点系的动量为一常量 P= P=常量 (6-9)
d 2 xC − rω 2 m1 ax = 2 = ( + m2 ) cos ϕ dt m2 + m1 2
( m2 + m1 ) a Cx = Fx − F
②
将式②代入式①，解得 m Fx = F − rω 2 ( 1 + m2 ) cos ϕ 2
ϕ = 180° 显然，当 时，有最大水平分力
F =m
F = ma a = dv / dt
dv dt
即
F ⋅ dt = m d v
(6-3) 将式(6-3) (6-3)写成积分形式
(6-3) (6-4) (6-5)
∫t
t2
1
F ⋅ dt-4) (6-4)两边积分得 F ⋅ ∆t = m ∆v
即质点的动量在任一时间内的增量，等于作用于该质点上 的力在同一时间内对质点的冲量。此即为质点的动量定理。式 (6-4) (6-5) (6-3) (6-3)、式(6-4) (6-4)、式(6-5) (6-5)分别为动量定理的微分式、积分式和普 通式，可以根据问题的不同选择不同的形式。 ● 6.1.3 质点系的动量定理与动量守恒定律 n i 现取n个质点，第i个质点的质量为 mi 、速度为 vi ，则该质 F 点的动量 Pi 为 mi vi，假定作用于该质点上的合力为Fi，则由质 点的动量定理的微分式得
解：如图所示，选取整个机构为研究对象。作用在水平方向的 外力有F和Fx，力偶不影响质心运动。 列出质心运动定理在x轴上的投影有 ① 为了求质点系质心的加速度在x轴上的投影，先计算质点系 质心的坐标，然后把它对时间取二阶导数，即 1 ⎡ r ⎤ xC = ⎢ m1 cos ϕ + m2 ( r cos ϕ + b ) ⎥ ⎣ 2 ⎦ m2 + m1
6-6 两质量均为M的小车，停放在光滑的水平直轨道上。一质量 为m的人，从一车跳到另一车，然后立刻跳回第一车。证明两 / m+M 车最后速度大小之比为Ｍ/（m+M). m+M). 6-7 若质点系中每一个质点的动量都等于零，这个质点系的动量 是否等于零？若质点系的动量等于零，这个质点系中每一个质 点的动量都等于零吗？ 6-8 如图6.5 6.5 6.5所示，宇航员A、B，其质量 m A > mB，如果他们在 太空中拔河，宇航员A会赢吗？为什么？
即质点系在运动过程中，如果作用于质点系上的外力矢量 和始终为零，则质点系的动量恒定不变。此即为质点系的动量 守恒定律。 (6-1) (6-9) 由于式(6-1) (6-1)～式(6-9) (6-9)均为矢量式，可以将它们向任一坐标 (1) ( ) 轴投影得到投影式。也就是说：(1) 如果作用在质点(系)的外力 ( ) 在某一轴上的投影的代数和为零，则质点(系)的动量在该轴上的 (2) ( ) 投影保持为常量。(2) 质点(系)的动量在任一时间内在某一坐标 ( ) 轴上的增量，等于作用于该质点(系)上的外力在该坐标轴上的投 ( ) 影在同一时间内对质点(系)的冲量。投影式的应用，使得动量定 理和动量守恒定律的应用更加灵活，这一点会在后面的学习中 体会到。
6.7 14m/s 6-4 如图6.7 6.7所示，货车以14m/s 14m/s的速度 20m 在路面上行驶，制动后滑行20m 20m停住。 0.48 已知货物A与车间的摩擦系数为0.48 0.48， 试问货物A能否在车上滑动？如果滑 s 动，求滑过的距离s和时间。 6.8 30kg 6-5 如图6.8 6.8所示，质量为30kg 30kg的平 20kg 板车上放有质量为20kg 20kg的重物A。 120N 若平板车受到120N 120N的水平推力F作 2s 5m 用2s 2s后移动5m。试求重物在平板 ( 车上滑动的距离(不计平板车与路 ) 面的摩擦)。 6-6 如图6.9 6.9 6.9所示，若上题中，水 平推力F作用在重物A上，重物在 0.5m 平板车B上滑动了0.5m 0.5m，求此时 平板车B移动的距离。
此时小球相对于物块有向右的最大速度可求得物块有向左的最大速度0kl?sin1kt?0?0babkmlvmm?例例例例63636363如图如图如图如图63636363所示均质曲柄为所示均质曲柄为所示均质曲柄为所示均质曲柄为abababab长长长长rrrr质量为质量为质量为质量为mmmm1111假设受力偶作用假设受力偶作用假设受力偶作用假设受力偶作用以不变的角速度转动并带动滑槽以不变的角速度转动并带动滑槽以不变的角速度转动并带动滑槽以不变的角速度转动并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞连杆以及与它固连的活塞连杆以及与它固连的活塞连杆以及与它固连的活塞dddd如图所如图所如图所如图所示
I = F ⋅t
(6-1)
动量是表征物体机械运动状态的力学量，是指物体质量m 与其速度v的乘积mv，用字母P表示。由于动量为速度矢量v乘上 一个标量m，因此动量仍是矢量，并且具有速度v的矢量特征， 即动量P也为一个瞬时量。质量为m、速度为v的质点的动量P为
P = mv
(6-2)
● 6.1.2 质点的动量定理 由牛顿第二定律可知 又 所以
习
题
6-1 一F1赛车以30m/s 30m/s 30m/s的速度在平直赛道上行驶。设车轮在制动 后立即停止转动。问车轮与路面的摩擦系数f为多大时，才能使 6s 赛车在制动后6s 6s停下来。 3000kg 6-2 宇宙飞船的返回舱总质量为3000kg 3000kg，进入大气层后，假定打 60m/s 30s 开降落伞前的速度为60m/s 60m/s，若要返回舱速度在30s 30s内降至 ( 10m/s 10m/s，那么降落伞应获得多大的空气阻力(不计返回舱受到的 ) 空气阻力)？ 6.6 6-3 如图6.6 6.6所示，物块A和B用质量 不计的轻杆连接，分别沿光滑的地 300N 面和墙面运动。若物块A重300N 300N， 1kN 在图示位置由1kN 1kN的水平推力F作用 10m/s 0.5s 0.5s后，其速度由零变为10m/s，试 求墙受到的冲量。
0 − mv = mgt − FB t
从而求得
mv FB = + mg 代入数据，即得 t FB = 16.3 ×10 2 kN
● 6.2 动量定理与动量守恒定律的应用 质心运动定理： 现取n个质点，第i个质点的质量为 mi ，n个质点的总质量m 为 ∑ mi ，由牛顿第二定律可得
F合外 = maC
6.10 图6.10
6.11 图6.11
6.1 6.1 【例6.1 如图6.1 6.1】 6.1所示，锻锤 A 的质量 m = 3000 kg kg，从高度 h = 1.45m 1.45m处自由下落到锻件B上。假设锻锤由接触锻件到最大 t=0.01s 变形所用时间t=0.01s t=0.01s，求锻锤作用在锻件上的平均碰撞力。 解：取锻锤作为研究对象。从高度h自 由下落到锻件产生最大变形的过程，可 分成两个阶段。 6.1(a) (1) 碰撞前的自由下落阶段。如图6.1(a) 所示，锻锤只受重力作用，由机械能量 守恒定律得 1 2 mv − 0 = mgh 2 从而求得碰撞前锻锤速度的大小 v = 2 gh (2) 锻锤由开始接触锻件到最大变形阶段。 6.1(b) 如图6.1(b) 6.1(b)所示，该阶段锻锤受重力 mg 和锻件对锻锤的碰撞 ( 力(设其平均值为FB ) )的作用，写出冲量定理在铅直轴y上的投 影式，并注意锻件变形最大时锻锤速度为零。有