人教A版高中数学必修5同步不等式8-【完整版】

1(5x35x)2＝9，
52
20
当且仅当5x=3-5x即x=1 30 时取最大值.
人教A 版高中数学必修5 同步 不等式 8 - 精品课件p p t ( 实用版)
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【素养·探】 在利用基本不等式的变形式过程中,常常用到核心素养 中的数学运算,利用变形式可以求函数的最值. 本例除了应用基本不等式外,还可以用什么方法求最大 值?
2.基本不等式
范围 公式 等号成立
a>0,b>0
ab a b 2
当且仅当a=b时,等号成立
文字叙述
正数a,b的几何平均数不大于它们的 算术平均数
【思考】
为什么基本不等式中规定a,b∈R+? 提示:若a,b中至少含有一个0,则无研究的意义;
若一正一负,则 a无b 意义; 若两个都是负的,则 a 为b 负,
对于④:因为ab>0,则 b >0, a>0,
a
b
所以 ba 2 b当a且2仅，当a=b时取等号,成立.
a b ab
答案:③④
【内化·悟】 应用基本不等式的条件是什么? 提示:a>0,b>0.
【类题·通】 关于基本不等式的应用 (1)考查是否满足公式应用条件,即a>0,b>0; (2)若涉及最值,则需验证等号是否成立.
(2)×.sin x= 9,sin2x=9不成立,故函数的最小值
sin x
不为6.
(3)√.f(x)=x2+ 8≥1
x2
2 =x 218x812,当且仅当x2= ,
81 x2
x=±3时,等号成立.
2.已知x>0,则x+ 1 的最小值为 ( )
2x
A.1 B.1 C. 2 D. 2
2
2
【解析】选D.因为x>0,所以 x 1 2 x 1 2，
【习练·破】 在下列各函数中,能利用基本不等式求得最小值等于2 的是 ( )
A.y＝ x1 x
C.y＝ exe4x 2
B.y＝ sinx 1 (0x)
sin x
2
D.y＝x25 x24
【解析】选C.选项A,当x<0时,y=x+ 1 ≤-2,故错误;选
x
项B,由于0<x< ,函数的最小值取不到2,故错误;选项
答案:3
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2.(2019·荆州高二检测)已知正数m,n满足m2+n2=100,
则m+n( )
A.有最大值10 2 C.有最大值10
B.有最小值10 2 D.有最小值10
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【解析】用二次函数求最值方法:
因为0<x<3 ,
5
Hale Waihona Puke x(3-5x)=-5x2+3x=5(x 3)2 9，
10 20
所以当x= 3 时,取得最大值为 .9
a b ab
【思维·引】从基本不等式适用的范围,等号成立的条 件两个方面进行判断.
【解析】对于①:当x<0时,不成立;
对于②: x22 1 2，
x22
当且仅当 x2 2 1 ，
x2 2
即求出x2+2=1,此时x无解,故②不成立;
对于③:7x+7-x≥ 2 7x 7x 2，
当且仅当7x=7-x,即x=0时取等号,成立;
2x
2x
当且仅当x= 1 ,即x= 时2 取“=”.
2x
2
所以x+ 1 的最小值为 .2
2x
3.当且仅当x=______时,函数y=4x+ 1 (x>0)取得最
x
小值.
【解析】由于x>0,由基本不等式可得y=4x+1 ≥
x
2 4x 1 4， x
当且仅当4x= 1 (x>0),即当x= 1 时,等号成立.
当且仅当-x= 1 ,即x=-1时取等号.
x
类型三 基本不等式的灵活应用
角度1 基本不等式变形式的应用 【典例】(2019·宿州高二检测)已知0<x< 3 ,则x(3-
5
5x)的最大值为 世纪金榜导学号( )
A .3 B .9 C .9 D .1 10 10 20 2
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2
为正a b ,不等式不成立.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对于x≠0,一定有x+ 1 ≥2. ( )
x
(2)当x∈(0,π),函数f(x)=sin x+ 9 的最小值为6.
sin x
()
(3)函数f(x)=x2+ 8 1 的最小值为18.
x2
()
提示:(1)×.当x<0时不成立.
ab ab a b
ab
a= 2 ,b= 2 时,取得等号.
2
答案:2 2
【加练·固】
已知f(x)=x+ 1 -2(x<0),则f(x)有 ( )
x
A.最大值为0
B.最小值为0
C.最大值为-4
D.最小值为-4
【解析】选C.因为x<0,
所以f(x)= －[( x) -21≤-]2-2=-4,
( x)
所以2a+8b≥22a3b＝ 222＝ 4， 当且仅当a=1,b=13 时取等号. 答案:4
【内化·悟】 利用基本不等式求最值的关键是什么? 提示:ab或a+b为定值.
【类题·通】 利用基本不等式求最值的策略
【习练·破】 1.函数y=x2+ 6 的最小值是______ .
x2 1
【解析】y=x2+ 6 =x2+1+ 6 -1
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【解析】因为x+2y=4,所以x+2y+2=6,
所以2x(y+1)=x(2y+2)≤( x 2y2=)29,当且仅当x=
2
2y+2时,即x=3,y=1 时取等号,
2
所以 2x(y≤13),即
的2x最(y大1值) 为3.
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【类题·通】
1.基本不等式的变形式ab≤ ( a b ) 2 可用来求乘积式的
2
最大值;
2.重要不等式a2+b2≥2ab可视为a2+b2≥2|ab|,
另外变形式 a2 b2 (ab)2 可以用在与平方相关的最
2
2
值问题.
x
2
答案: 1
2
类型一 对基本不等式的理解 【典例】下列四个推导过程,正确的是______ .
①对于x≠0,都有 x22 x 2 2
2 x 2x
②因为 x22 1 2 x22 1 2 ， 故最小值
x22
x22
为2
③因为7x+7-x≥ 2 7x7x 2，故最小值为2 ④若ab>0,则 ba 2 b a 2故最小值为2
10
20
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角度2 重要不等式及其应用
【典例】已知实数a,b满足a2+b2=4,则ab的取值范围是
世纪金榜导学号( )
A.[0,2]
B.[-2,0]
2
D, y＝ x241x24 1 2， 但是 x2 4 1 ，
x24
x24
x2 4
得x2+4=1不成立,故错误.
类型二 利用基本不等式求最值
【典例】1.(2019·镇江高二检测)已知x>-1,则x+ 4
x 1
的最小值是 ( )
A.1
B.3
C.4
D.5
2.若x<0,函数f(x)=12x+ 3 的最大值为______.
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【解析】选D.因为a2+b2=4; 所以根据重要不等式得,4=a2+b2≥2|ab|, 所以|ab|≤2,所以-2≤ab≤2, 所以ab的取值范围是[-2,2].
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【习练·破】 1.已知正实数x,y满足x+2y=4,则 2x(y 1) 的最大值为 ______.
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【思维·引】利用基本不等式 ab a b 变形求最值.
2
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【解析】选C.因为0<x<3 ,
5
则x(3-5x)= 1 ×5x(3-5x)
5
x
3.(2019·青岛高一检测)已知a,b∈R,且a+3b-2=0,则
2a+8b的最小值为______. 世纪金榜导学号
【思维·引】1.构造定值后利用基本不等式; 2.将x变成正数后利用基本不等式求最值; 3.先利用基本不等式,再利用已知条件代入.
【解析】1.选B.x>-1,即x+1>0,
则x+ 4 =(x+1)+ 4 -1
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.[-2,2]
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【思维·引】利用重要不等式求|ab|的范围.
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3.4 基本不等式: ab a b 2 第1课时 基本不等式
1.重要不等式 (1)范围:a,b∈R; (2)公式:a2+b2≥2ab; (3)等号成立:当且仅当a=b时,等号成立.
【思考】 你能证明重要不等式吗? 提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0, 所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
x2 1
x2 1
2(x21)x2611＝ 261，
当且仅当x2= 6 -1时取等号.
答案:2 -6 1
2.(2019·河北高二检测)若lg a+lg b=0,则 2 1 的最
ab
小值是______.
【解析】依题意lg a+lg b=0,所以a>0,b>0,且lg ab=0,
即ab=1,所以 2 1 22 1 ＝ 22 ＝ 22 .当 且 仅 当 2 ＝ 1 ， 即
2
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【解析】选A.由 m2n2 (mn)2，
2
2
即 ( m ≤n )52 0,又m>0,n>0,
2
所以 m ≤n 5 ,即2 m+n≤10 . 2
x 1
x 1
2 (x1) 4 1＝3， x1
当且仅当x=1时,取得等号.可得最小值为3.
2.因为x<0,所以-x>0,
所以f(x)=12x+3 = (12x 3 )
x
x
2 12x 3 12，
x
当且仅当-12x= 3 ,x=- 1 时,等号成立.
x
2
答案:-12
3.因为a+3b-2=0,所以a+3b=2,