高考数学复习第十二讲立体几何之空间角

第十二讲立体几何之空间角
一、基本知识回顾
空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1.范围：0，1）异面直线所成角
2）直线与平面所成角2
0，
2.求法：平移相交（找平行线替换）2
向量法
1.范围0 ，
2
0,
定义2
2.求法
向量法
m n
arcsin若 m n 则 a //或a若m // n则a m n
1.范围：
0.
定义法（即垂面法）
3）二面角 2.作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理
垂线法
直接法
3. 求二面角大小的方法射影面积法
向量法
S S cos( S为原斜面面积, S为射影面积 ,为斜面与射影所成锐二面角的平面角)
m n
当为锐角时，arccos
m n
m n
当为锐角时，arccos
m n
二、例题讲解
1.在正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中，若 AB 2 BB 1 , 求 AB 1 与 C 1 B 所成的角的大小。

解：法一：如图一所示，
设 O 为 B 1 C 、 C 1 B 的交点， D 为 AC 的中点，则所求角是 DOB 。

设 BB 1
a , 则 AB 2 a ，于是在
DOB 中，
O B
1 3
a , BD 3 2 a
6
BC 1
2
a,
2 2
2
O D
1 3 2
2
2
2
AB 1 a , BD OBOD,
2
即
DOB
90 ,
DOB
90
法二： 取 A 1 B 1 的中点 O 为坐标原点， 如图建立空间直角坐标系
1
O xyz , AB 的长度单位，
2
则由
AB2BB1有
A 0,1,2,B0,1, 2 , B10,1, 0, C 13,0,0
AB 10, 2, 2 ,C1B 3 ,1, 2 ,
AB1 C1B 2 2 0, AB1 C 1 B
2.如图二所示，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，
BAD90 ,AD // BC,AB BC a , AD 2 a , 且 PA底面 ABCD ，P D 与底面成 30角。

⑴若 AE PD , E 为垂足，求证：BE PD ；
⑵求异面直线AE , CD 所成角的大小。

解：⑴证明：PA底面ABCD ， PA AB ，
再由 ABAD
A B平面 PAD, A
B PD
,得
AEPD, PD平面 ABE,故BEPD 又
⑵如图三所示设 G , H分别为 ED , AD 的中点，连结 BH , HG , BG 。

D H C B 为平行四边形，
BH //CD,
G , H 分别为 ED , AD 的中点， FG // AE , 则 B H G 或它的补角就是异面
直线 AE ,CD
所成角，而 H G
1 AE 1 a .B H AB 2
A H 2
2 a 。

2 2 BG 2
BE 2
EG 2
AB 2
AE 2
EG 2
11 a 2
4
在 BHG 中，由余弦定理可得
BH
2
2
2
2
2 cos
H G
BG
BH G
BH G
2 BH H G
,
arccos
4
4
BH
2
2
BG
2
2
cos
HG
2
BHG
BHG
2 BH HG
4 arccos
4
所以，异面直线 AE , CD 所成角的大小为
arccos
2 。

4
法二：以 AB , AD , AP 所在的直线分别为
x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，
a 3 a 3 a, a, 0 ，
则E0,,
a , C 0, a, 0 , D 0, 2 a , 0 , AE 0, ,
a , C D
2
2
2
2
a3a3
a , a ,0 , E0, , a , C 0, a ,0 , D 0, 2a ,0 ,AE0, , a , CD 2222
cos CD,AE C D A E 2 ，
C D A E4
所以，异面直线AE , CD 所成角的大小为arccos 2 。

4
3.已知四棱锥P A B中，底面ABC是矩形，
P A 平面A，AB P A1 D,A2分别是的中点。

B,ABE,PD F
⑴求证：AF // 平面 PEC；
⑵求 P C 与平面 AB C D 所成角的大小；
⑶求二面角P E C D 的大小。

解析：法一：⑴如图四所示，
取 PC 的中点 O ，连接 OF ,OE
1
FO // DC,FODC, FO // AE
2
又因为 E是AB的中点，且AB DC, FO AE
所以四边形 A E O F 是平行四边形，
AF//OE 。

又 OE平面PEC ,AF平面PEC ，
AF //平面PEC。

⑵连结 AC , PA平面ABCD ,PCA是直线PC 与平面ABCD所成的角。

在R t PA C 中，tan P AC P A15。

A C55
Rt PAC 中 , tan PCA
PA15
AC55
即直线PC与平面ABCD所成角的大小为arctan 5 。

5
⑶作 AM CE,交CE延长线于 M ,连结PM 。

由三垂线定理，得 P M C E .PM A 是二面角 P E C D 的平面角。

由 AME CBE ,可得 AM
2
tan PM A
1
,2 22
2
AME CBE , 可得 AM
2
tan PMA
1
,2 22
2
所以，二面角P EC D 的大小为arctan 2 。

法二：以 A 为原点，如图五所示，建立直角坐标系。

则
A 0,0,0 ,
B 2,0,0 ,
C 2,1,0
, D 0,1,0 ,F
0, 1 1 , P 0, 0,1。

,
,E 1,0,0
2 2
⑴取 PC 的中点 O ，连结 OE,O
1 1 0, 1 1 1 1
1, , , AF
,
,EO0, ,
,
2 2
2 2 2 2
AF // EO AF EO
又OE
平面PEC ,AF
平面PEC ，
AF //平面PEC。

⑵由题意可得 PC 2,1, 1 ，设平面 A B C D 的一个法向量是 PA
0,0, 1 。

cos PA , PC PA PC
6
,
PA PC
6
即直线PC 与平面ABCD
所成角的大小为 arcsin
6 。

6
⑶设平面 PEC 的一个法向量为
m
x, y , z .PE 1, 0, 1 ,EC
1,1, 0
m PE
0, x z 0
1, 则 m
1,1,
1
则
可 得
x
y
令 z m EC
0.
由⑵可得平面 AB C D 的一个法向量是 PA 0, 0, 1 。

cos m , P A m PA1 3 。

m P A33
所以，二面角 P EC D 的大小为 arccos 3 。

3
4.（ 07 福建）如图六所示正三棱柱ABC A1 B1 C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。

⑴求证： AB
1平面ABD
1
⑵求二面角 A A1 D B 的大小。

解析：⑴取 B C 中点 O ，连结 AO 。

因为 AB C 是正三角形，AOBC
因为在正三棱柱 ABC A1 B1 C1，平面 ABC平面 BC C1B1 AO平面 BCC 1B1。

连结 B1O
在正方形 BB 1C1C 中， O，D 分别为 BC , CC 1的中点。

B1O BD
AO BD
BD平面AOB 1
AB 1BD
在正方形ABB 1 A1中，AB 1A1 B
AB 1平面 A1BD
取B1 C 1的中点 O1，以 O 为原点，OB , OO1, OA的方向为x轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系。

则B 1,0,0 ,D1,1,0 , A10,2, 3 ,A 0,0, 3 ,B1 1,2,0
AB11, 2,3, BD2,1, 0 , BA11, 2,3
AB1 BD220, AB 1 BA1 1 430
AB1BD , AB1BA1 ,AB 1平面 A1BD
⑵设平面 A1A D 的法向量为n x, y, z
AD1,1,3,AA10,2,0, n AD , n AA1。

n AD0,x y 3 z0,y0
n AA10. 2 y0x 3 z
令 z 1, n3, 0,1为平面 A1 A D 的一个法向量。

由⑴知， AB 1A1BD， AB1为平面A1BD的法向量
n AB 1336
cos n , AB 1
n AB 1 2 224
所以，二面角 A A1D B 的大小 arccos 6 。

4
直接法
设 AB 1与 A1 B 交于 G，在平面 A1 BD 中，作 GF A1 D 于 F，连结 AF
由（ 1）得AB1平面 A1BD
AF A1 D
AFG 是二面角 A A1 D B 的平面角。

在AA1 D 中由等面积可求得
45 AF
5
又AG 1
2
AB 1
2
AG210
sin AFG
AF 4 54
5
所以，二面角 A A1 D B 的大小为 arcsin10 。

4。