【人教版】2020学年高二数学下学期期末适应性考试试题 文人教、新目标版

2020年度下学期高二年级期末适应性考试（文科）数学
一选择题
1.已知
21z
i i
=++，则复数z =（ ） A.13i -+ B.13i - C.13i -- D.13i + 2. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是
A. 11a b >
B. 11a b a
>- C. 1133a b < D. 22
33a b >
3. 不等式2
20x x --≥的解集是( )
A. {}|2 2 x x -<<
B. {}
|2 2 x x x -或
C. {}|2 2 x x -≤≤
D. {}
|2 2 x x x ≤-≥或
4. 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3
＋ax ＋b =0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A. 方程x 3＋ax ＋b =0没有实根
B. 方程x 3
＋ax ＋b =0至多有一个实根
C. 方程x 3＋ax ＋b =0至多有两个实根
D. 方程x 3
＋ax ＋b =0恰好有两个实根
5. 曲线的参数方程为2
2
32
1
x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 是参数），则曲线是（ ） A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆 D ．射线 6. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
时，则输入的值为（ ）
A.
B.
C.
或
D.
或
7. 设()1111(2,)23f n n n N n =+
+++>∈，经计算可得()42,f > ()58,2f > ()163,f > ()7322
f >. 观察上述结果，可得出的一般结论是（ ）
A. ()()21
22,2n f n n n N +>
≥∈ B. ()
()22
2,2n f n n n N +≥
≥∈ C. ()
()222,2
n n f n n N +≥≥∈
D. ()
()2
22,2
n f n n n N +>≥∈
8. 在极坐标系中,直线l 的方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝
⎛+πθρ,则点⎪⎭⎫
⎝⎛43,2πA 到直线l 的距离为（ ）
A.22
B.2
C.222-
D.222+
9. 若关于x 的不等式2
124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为
A ．),3()1,(+∞-∞
B ．(1,3)
C ．),1()3,(+∞---∞
D ．(3,1)--
10. 函数1y x x =+
在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，函数2y x x
=+在上是减函数，在)+∞
上是增函数，函数3
y x x
=+
在
上是减函数，在)+∞上是增函数，…利用上述所提供的信息解决下列问题：若函数3(0)m
y x x x
=+>的值域是[6,)+∞，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 11. (),P x y 是曲线1{
x cos y sin αα
=-+=上任意一点，则()()22
24x y -++的最大值是 （ ）
A. 36
B. 6
C. 26
D. 25
12. 已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222
a b b c a c
++
+++ 的最小值为( ) A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 二填空题
13. 已知复数z 满足i z z 42-=-，则=z _______．
14. 设1
()42
x f x =
+，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得
129
()()()101010
f f f +++= ． 15平面直角坐标系xoy 中，点,在曲线C ： {x acos y sin φ
φ
==（φ为参数， 0a >）上. 以原点O 为极点， x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，若点，
的极坐标分别为
,
，
, )2
π
θ+
，且点M ， N 都在曲线
上，
则
2
212
1
1
ρρ+
=_________．
16. 已知a R ∈，函数()4
f x x a a x
=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是_____. 三解答题
17. 已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(2
2
+++-+=. （1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？
（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求n
m 1
1+的最小值及取得最值时的m 、n 值.
18. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若不等式对任意
都成立，求实数
的取值范围.
19. 设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，若已知曲线C 的极坐标方程为
222123cos 4sin ρθθ=+，点F 1、F 2为其左、右焦点，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=t
y t x 22221（t 为参数，t∈R）．
（Ⅰ）求曲线C 的标准方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的最大距离．
20. 已知函数()()1,3,f x x g x x a a R =-=-++∈． （1）解关于x 的不等式()6g x >（解集用含a 的区间表示）；
（2）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的上方，求实数a 的取值范围．
21. 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θ
θ
⎧=⎪
⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B ．
（1）若3
π
α=，求线段AB 的中点的直角坐标；
（2）若直线l 的斜率为2，且过已知点()3,0P ，求PA PB 的值．
22. 已知,,a b c 为正实数，且3a b c ++= （Ⅰ）解关于c 的不等式24c a b -≤+；
（Ⅱ）证明：
222
3c a b a b c
++≥
赣县中学北校区高二年级六月考答案
1【答案】B 由22(1)(2)231+31z
i z i i i i i i =+⇒=++=++=+由共轭复数定义得i z 31-=
2【答案】B 11
0a b a a b a >->∴<- ,所以不能成立的是B.
3D 【解析】把不等式改写为2
20x x --≥，解得： 2x ≥，则2x ≤-或2x ≥；选D.
4【答案】A
5【答案】D 由题意，得53=-y x ，且⎩
⎨⎧-≥≥12
y x ，即该曲线是一条射线；故选D ．
6【答案】D 分段函数或或
7【答案】C
，
，
，
，所以推得一般结论是
，
,
8【答案】A 直线l ：224sin =⎪
⎭⎫
⎝
⎛
+
πθρ的直角坐标方程为10x y +-=,点⎪⎭
⎫
⎝⎛4
3,2πA
的直角坐标为(，
因此点到直线的距离为2
d =
= 9【答案】A∵()()|13|212x x x x +--≤+--= ，∴3123x x -≤+--≤ ，由不等式2
412a a x x ->+--
有实数解，知243a a ->- ，解得),3()1,(+∞-∞ ．
10【答案】C 函数3(0)m
y x x x
=+>
在上是减函数,
在)+∞上为增函数,
所以当x =,y 有最小值,
6m =,解得2m =
11【答案】A {x cos y sin αα
=消去参数得， ()2211x y ++=，所以， ()()2224x y -++表示圆()2
211x y ++=上
的点到点
()2,4-
的距离的平方，结合图形得，
()()
22
24x y -++的最大值是
()
2
2
1136AC ⎤+==⎥⎦
，故选A . 12 D 2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++ ()1
112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭
()()()()21
111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭
，当且仅当13a b c ===时等号成立 13设bi
a z +=()24a bi i
-=-2a =，4b =-，解得3a =，所以=z 34i -．
14【答案】49
111()(1)4242x x f x f x -+-=+++1442424x x x
=+++⨯ 2412424x x
+==+⨯
令129()()()101010n S f f f =++
+,1
292n S =⨯,92n S = 981
()()()101010
n S f f f =+++,
1554
曲线C ： {x acos y sin φφ==（φ为参数， 0a >）消参后可化为22
21x y a +=，将点()2,0A 代入可得2a =，则曲
线方程为22
44x y +=；由极坐标与直角坐标的互化关系c o s ,s i x y ρθρθ==可得点
()1122cos ,sin ,cos ,sin 22M N ππρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即()()1122
cos ,sin ,sin ,cos M N ρθρθρθρθ，将这两点代入2244x y +=可得()()22
22112111cos 4sin 4sin cos 4
ρθρθθθ
ρ+=⇒=+， ()()22
22222211sin 4cos 4sin cos 4ρθρθθθρ+=⇒=+，将以上两式两边相加可得22121115144
ρρ+=+=，应填答
案54。

16(],4.5-∞45x a a x +-+≤，即45x a a x +-≤-，所以5a ≤，又因为4
5x a a x +-≤-，所以
455a x a a x -≤+-≤-，故4255a x x -≤+≤，
又因为14x ≤≤， 445x x ≤+≤，所以254a -≤，解得9
2
a ≤，故答案为(],4.5-∞.
17（1）令022=-+x x ，则2-=x 或1=x ------3分
又0232≠++x x ，所以1=x -------------------------------------5分
（2）当0=x 时，Z(-2,2)，又Z 落在直线n mx y +-=上，所以22=+n m ，又0>mn ，---------6分 所以22
3
223)2)(11(11+≥++=++=+m n n m n m n m n m ，
当且仅当222m n =时等号成立，--------------------9分
又22=+n m ，所以22-=m 且222-=n .---------------10分
18 （1）原不等式等价于或
或，--------------4分
得或
或
，
∴不等式的解集为
．-----------------------6分
（2） ∵，---------------8分
∴
.--------------12分
19
（I ）曲线C 的极坐标方程为ρ2
= ，化为直角坐标方程：3x 2+4y 2
=12
，即
=1．----------------3分
直线l 的参数方程为（t 为参数，t ∈R ）普通方程：x ﹣1﹣y=0．---6分
（II ）设P （2cos θ,3sin θ），θ∈[0，2π），----8分
2d =
=
=
=
，∴点P 到直线l 的最大距离是
．----12分
20（1）36,36x a x a -++>+<-，-----2分 当6a ≤时无解，----4分
当6a >时，()63639a x a a x a --<+<--<<-，，∴不等式解集为()()3,96a a a -->；----6分 （2）()2y f x =图象恒在()g x 图象上方，故()()20213f x g x a x x ->⇒<-++，-----8分
设()()31,3
213,5,3x 131,1x x h x x x h x x x x --≤-⎧⎪
=-++=--<≤⎨⎪+>⎩
，-----10分
做出()h x 图象(如下图)得出当1x =时，()min (1)4h x h ==，故4a <时，()2y f x =的图象在()g x 图象上方
------12分
21（1）由曲线1:cos tan
x C y θ
θ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），可得C 的普通方程是221x y -=．．．．．．．．．．2分
当3πα=
时，直线l 的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），
代入曲线C 的普通方程，得2
6160t t --=，．
．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
得
126
t t +=，则线段AB 的中点对应的
12
32t t t +=
=，
故线段AB 的中点的直角坐标为92⎛ ⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得
()2
2
2
cos sin 6cos 80
t
t ααα-++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
则
()21222
281tan 8
cos sin 1tan PA PB t t αααα
+===--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
故已知得tan 2α=，故
40
3PA PB =
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22（1）∵24c a b -≤+且3a b c ++= 3分 ∴243c c -≤- ∴3243c c c -≤-≤----- ∴不等式的解集为71,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
----6分
（2）∵2
2c a c a
+≥（当且仅当a c =时取等号） 2
2a b a b +≥（当且仅当a b =时取等号） 2
2b c b c
+≥（当且仅当b c =时取等号）----8分
∴
222
222c a b a b c a b c a b c +++++≥++--------10分 ∴
222
c a b a b c a b c ++≥++ ∵3a b c ++= ∴
222
3c a b a b c
++≥--------12分。