(典型题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点（点P 不与点B 、D 重合），PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接EF ，给出下列几个结论：①AP EF =；②AP EF ⊥；③当APD ∆是等腰三角形时，67.5DAP ∠=︒；④PFE BAP ∠=∠．其中有正确有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平，再一次折叠，使点D 落到EF 上的点G 处，并使折痕经过点A ，已知2BC =，则线段EG 的长度为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．2
3．如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，5AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点E 在BC 边上可移动的最大距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是边CB 延长线上一点，F 为AB 边上一点，BE ＝BF ，连接EF 并延长交线段AD 于点G ，连接CF 交BD 于点M ，连接CG 交BD 于点N ．则下列结论：
①AE ＝CF ；
②∠BFM ＝∠BMF ；
③∠CGF ﹣∠BAE ＝45°；
④当∠BAE ＝15°时，MN ＝433． 其中正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC ＋BC ＝6，空白部分面积为10.5，则AB 的长为（ ）
A ．32
B ．19
C ．25
D ．26
6．下列命题中，正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．平行四边形的对角线平分且相等
D ．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形
7．如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，60C ∠=°，2CD AD =，4AB =，点P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
8．以下命题，正确的是（ ）.
A ．对角线相等的菱形是正方形
B ．对角线相等的平行四边形是正方形
C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
9．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若
25CBF ︒∠=，则AED =∠
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
10．如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折B 叠，使点恰好落在ED 上的点F 处，若5,3CD BC ==，则BE 的长为（ ）
A ．0.5
B ．1
C ．1.5
D ．2
11．如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A ．n
B ．n －1
C ．（14）n －1
D ．14
n 12．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（ ）
A 6
B 7
C ．3
D ．5
二、填空题
13．如图，以AB 为边作边长为8的正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ ＝8，若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向D 点运动，点Q 只能在线段AD 上运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长为_____．
14．（知识衔接）
（1）长方形的对角线相等且互相平分；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（问题解决）如图，在ABCD 中，2CD AD =，BE AD ⊥于点E ，F 为DC 的中点，连结EF ，BF ．下列结论：
①2ABC ABF ∠=∠；②EF BF =；③S 四边形DEBC 2EFB S =△；④4CFE DEF ∠=∠．正确的是_______
15．如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，以OD ，OC 为一组邻边做正方形1DOCC ；CD ，1OC 交于点1O ，以1O D ，11O C 为一组邻边做正方形112DO C C ；1C D ，12O C 交于点2O ，以2O D ，22O C 为一组邻边做正方形223DO C C ……．若1AB =，则1n n n DO C C S +正方形的值为_____．
16．如图，在菱形ABCD 中，2,60AB BAD =∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形,AEFG 点E 在AC 上．EF 与CD 交于点,P 则PE 的长是____．
17．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为BC 中点，AC ＝6，BD ＝8，则线段OH 的长为_____．
18．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若∠DHO=20°，则∠HDB 的度数是________．
19．已知：如图，点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 是AB 边的中点，且60BAD ∠=︒，则MP PB +的最小值是_______．
20．如图将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点A 、B 分别落在A ′、B ′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________．
三、解答题
21．△ABC 是等腰三角形，其中AB ＝BC ，将△ABC 绕顶点B 逆时针旋转50°到△A 1BC 1的位
置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D；
（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．
22．如图一，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5，对角线AC，BD相交于O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（所需图形须在备用图中画出）
（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（2）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（3）在旋转过程中，当EF⊥BD，旋转的角度小于180°时，求出此时绕点O顺时针旋转的度数．
23．（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边上，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF；
（2）如图2，四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，AD=DC=10，BC=6，点E在CD上，
∠BAE=45°，在（1）的基础上求DE长．
24．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF//CE 交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．
25．在四边形ABCD中，AD//BC．∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm．BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ ＝CD，需要经过的时间是多少？
26．综合与实践
问题情境：
如图1，已知点O是正方形ABCD的两条对角线的交点，以点O为直角顶点的直角三角形
=，30
BC=．
OEF的两边OE，OF分别过点B，C，且OF OC
∠=︒，2
E
（1）OC的长度为________；
操作证明：
∆按如图放置，若OE，OF分别与AB，BC （2）如图2，在（1）的条件下，将OEF
相交于点M，N．请判断OM和ON有怎样的数量关系，并证明结论；
探究发现：
∆按如图放置，若点B恰好在EF上，求证：（3）如图3，在（1）的条件下，将OEF
=．
EM EB
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP＝EF；④∠PFE＝∠BAP；延长AP到EF，交EF于点H，知∠PAG＝
∠PFH，结合∠APG＝∠FPH得∠PHF＝∠PGA＝90°，据此知AP⊥EF，②正确；由点P是正方形ABCD的对角线BD上不于点B、D重合的任意一点，∠ADP＝45°知当∠PAD＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形，可判断③；
【详解】
过点P作PG⊥AB于点G，
∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点（点P 不与点B 、D 重合），
∴GB ＝GP ，
同理：PE ＝BE ，
∵AB ＝BC ＝GF ，
∴AG ＝AB−GB ，FP ＝GF−GP ＝AB−GB ，
∴AG ＝PF ，
在△AGP 和△FPE 中，
AG PF AGP FPE GP PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AGP ≌△FPE （SAS ），
∴AP ＝EF ，①正确，∠PFE ＝∠GAP ，
∴∠PFE ＝∠BAP ，④正确；
延长AP 到EF ，交EF 于一点H ，
∴∠PAG ＝∠PFH ，
∵∠APG ＝∠FPH ，
∴∠PHF ＝∠PGA ＝90°，
∴AP ⊥EF ，②正确，
∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上不与点B 、D 重合的任意一点，∠ADP ＝45°， ∴当PA ＝PD 时，∠PAD ＝45°；
当DA ＝DP 时，∠PAD ＝67.5°，
即当，△APD 是等腰三角形时，∠PAD ＝45°或67.5°时，故③错误．
因此，正确的结论是①②④，共3个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
2．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质可得AE=12AD=12
BC=1，AG=AD=2，由勾股定理得出EG 即可．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，
∴AE=1
2AD=
1
2
BC=1，EF⊥AD，
∴∠AEF=90°，
∵再一次折叠，使点D落到EF上点G处
∴AG=AD=2，
∴EG=22
213
-=，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．3．B
解析：B
【分析】
根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．
【详解】
解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
ED=AD=5，
在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，
即52=（5-EB）2+32，
解得EB=1，
如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，
∵3-1=2，
∴点E在BC边上可移动的最大距离为2．
故选：B ． 【点睛】
本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
①根据已知条件证明△ABE ≌△CBF ，即可判断；
②由△ABE ≌△CBF 和已知条件证明四边形DGEB 是平行四边形，再证明△FBC ≌△GDC ，当且仅当∠FCG=45°时，∠BFM=∠BMF ，即可判断； ③结合①②证明∠FMB=∠CGF ，进而可以判断；
④当∠BAE=15°时，∠BCM=∠GCD=∠BAE=15°，可得△CMN 是等边三角形，作CH ⊥BD 于点H ，根据正方形边长为4，即可求出MN 的值，进而可以判断. 【详解】
解：①∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF ＝90°， 在△ABE 和△CBF 中，
BE BF ABE CBF AB CB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△CBF （SAS ）， ∴AE ＝CF ，故①正确； ②∵△ABE ≌△CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ，
∵∠GEC ＝∠DBC ＝∠ADB ＝45°， ∴∠BMF ＝∠FCB +∠DBC ＝∠FCB +45°， ∵∠GEC ＝∠DBC ， ∴EG ∥DB ， ∵DG ∥BE ，
∴四边形DGEB 是平行四边形， ∴BE ＝DG ， 在△FBC 和△GDC 中，
BF DG FBC GDC BC DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△FBC ≌△GDC （SAS ）， ∴∠BCF ＝∠DCG ，
∴∠BFM ＝∠FCD ＝∠DCG +∠FCG ＝∠BCF +∠FCG ， ∴当且仅当∠FCG ＝45°时，∠BFM ＝∠BMF ，故②错误； ③∵GE ∥BD ， ∴∠FMB ＝∠GFC ， ∵△FBC ≌△GDC ， ∴CF ＝CG ， ∴∠GFC ＝∠CGF ， ∴∠FMB ＝∠CGF ，
∴∠CGF ﹣∠BAE ＝∠FMB ﹣∠BCM ＝∠MBC ＝45°，故③正确； ④当∠BAE ＝15°时，∠BCM ＝∠GCD ＝∠BAE ＝15°， ∴∠FCG ＝90°﹣∠BCM ﹣∠GCD ＝60°， ∵BD ∥EG ，
∴∠GFC ＝∠NMC ，∠FGC ＝∠MNC ， ∵∠GFC ＝∠FGC ， ∴∠NMC ＝∠MNC ， ∴CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△CMN 是等边三角形， 作CH ⊥BD 于点H ，如图，
∴CH ＝12BD ＝12
2244+＝2，
∴CM 223
×2＝46
3，
∴MN ＝CM 46
，故④错误． 所以其中正确有①③，2个． 故选：B ． 【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中
点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等.
5．B
解析：B 【分析】
根据余角的性质得到∠FAC ＝∠ABC ，根据全等三角形的性质得到S △FAM ＝S △ABN ，推出S △ABC ＝S 四边形FNCM ，根据勾股定理得到AC 2＋BC 2＝AB 2，解方程组得到3AB 2＝57，于是得到结论． 【详解】
解：∵四边形ABGF 是正方形， ∴∠FAB ＝∠AFG ＝∠ACB ＝90°， ∴∠FAC ＋∠BAC ＝∠FAC ＋∠ABC ＝90°， ∴∠FAC ＝∠ABC ， 在△FAM 与△ABN 中，
90F NAB FAM ABN AF AB ∠=∠=︒⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△FAM ≌△ABN （AAS ）， ∴S △FAM ＝S △ABN ， ∴S △ABC ＝S 四边形FNCM ， ∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∵AC ＋BC ＝6，
∴（AC ＋BC ）2＝AC 2＋BC 2＋2AC•BC ＝36， ∴AB 2＋2AC•BC ＝36， ∵AB 2﹣2S △ABC ＝10.5， ∴AB 2﹣AC•BC ＝10.5， ∴3AB 2＝57，
解得AB
故选：B ． 【点睛】
本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握割补法得出图形面积之间的关系是解题关键．
6．D
解析：D 【分析】
根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可． 【详解】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；
D、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．C
解析：C
【分析】
作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD 最小；再作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD'=∠DD'C，然后根据平行线的性质得出∠D'CE=∠DD'C，从而求得∠D'CE=∠DCD'，得出∠D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．
【详解】
作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．
作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．
∵CD=2AD，
∴DD'=CD，
∴∠DCD'=∠DD'C．
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABED'是矩形，
∴DD'∥EC，D'E=AB=4，
∴∠D'CE=∠DD'C，
∴∠D'CE=∠DCD'．
∵∠DCB=60°，
∴∠D'CE=30°，
∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，
∴PC+PD的最小值为8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，
故选A．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法．
9．C
解析：C
【分析】
先证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°，在△ADE中利用三角形内角和180°可求∠AED度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．
又AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．
∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．
10．B
解析：B 【分析】
求出4DF =，设BE x =，则5AE x =-，根据勾股定理列方程可得BE 的长． 【详解】
解：设BE x =，则5AE x =-，
由折叠得：3CF BC ==，90B CFE ∠=∠=︒，
90CFD ∴∠=︒，
2222534DF CD CF ∴=
-=
-=，
四边形ABCD 是矩形，
3AD BC ∴==，90A ∠=︒，
Rt AED ∆中，222AE AD ED +=，
222(5)3(4)x x ∴-+=+，
1x ∴=， 1BE ∴=， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
11．B
解析：B 【分析】
过中心作阴影另外两边的垂线可构建两个全等三角形（ASA ），由此可知阴影部分的面积
是正方形的面积的
1
4
，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为（n -1）个阴影部分的和，即可求解． 【详解】
如图作正方形边的垂线，
由ASA 可知同正方形中两三角形全等，
利用割补法可知一个阴影部分面积等于正方形面积的
14
，
即是1
2214
⨯⨯
=， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：()111n n ⨯-=-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
12．C
解析：C 【分析】
根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】 ∵AB ⊥AF ， ∴∠FAB=90°， ∵点D 是BC 的中点，
∴AD=BD=
1
2
BC=4， ∴∠DAB=∠B ，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B ， ∵∠AEB=2∠B ， ∴∠AED=∠ADE ， ∴AE=AD ， ∴AE=AD=4， ∵
，EF ⊥AF ，
∴==3，
故选：C ． 【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
13．4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P 在AB 上Q 在AD 上时AO ＝由圆的定义可以知O 的轨迹为E
解析：4π+8
【分析】
根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解 【详解】
解：（1）当P 在AB 上，Q 在AD 上时，AO ＝1
42
PQ =，由圆的定义可以知O 的轨迹为EF 这段
1
4
圆弧 （2）同理当P 在CD 上，Q 在AD 上时，DO ＝1
42
PQ =，由圆的定义可以知O 的轨迹为EG 这段
1
4
圆弧 （3）Q 在AD 上，P 在BC 上，可知PQ ∥AB ，O 的运动轨迹为FG 这条线段 综上分析：O 的运动路径长为：4π+8．
故答案：4π+8 【点睛】
本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
14．①②③【分析】利用平行线的性质等腰三角形的性质即可判断①；延长EF 与BC 的延长线相交与点G 易证再根据全等三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②；根据三角形中位线的性质即可判断③
解析：①②③ 【分析】
利用平行线的性质，等腰三角形的性质即可判断①；
延长EF 与BC 的延长线相交与点G ，易证DEF CGF ≅△△，再根据全等三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②； 根据三角形中位线的性质即可判断③；
设DEF x ∠=，根据三角形外角和平行线的性质即可判断④． 【详解】 解：
F 为DC 的中点，
2CD CF ∴=
2CD AD =,AD BC = CF BC AD ∴==
CFB CBF ∴∠=∠ //AB CD
CFB ABF ∴∠=∠
ABF CBF ∴∠=∠
2ABC ABF ∴∠=∠,故①正确；
延长EF 与BC 的延长线相交与点G ，
//AD BC ，BE AD ⊥ DEF G ∴∠=∠，⊥BE BG
在DEF 和CGF △中，
DEF G EFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
DEF CGF ∴≅△△
EF GF ∴=
在Rt EBG 中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， EF BF ∴=，故②正确； BF 是EBG 的中线 2BEG BEF S S ∴=△△
又
DEF CGF S S =△△
∴S 四边形DEBC =S △BEC
∴S 四边形DEBC =2S △BEF ，故③正确；
设DEF x ∠=
//AD BC
DEF G x ∴∠=∠= FG FB = G FBG x ∴∠=∠=
2EFB x ∴∠=，CFB CBF x ∠=∠=
233CFE CFB BFE x x x DEF ∴∠=∠+∠=+==∠，故④错误；
故答案为：①②③． 【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线、三角形外角性质、三角形中位线、等腰三角形的三线合一、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．【分析】依题意得由从而可得同理继而可得……依此规律作答【详解】解：在正方形中同理∵∴∵……故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质全等三角形的性质及求三角形的面积等知识正确理解正方形的对角线把正方形 解析：
+1
12n
【分析】
依题意，得1ABCD S =正方形，由ABC DOC 142DOC
DOC
D C S S
S S
==正方形正方形，，从而可得
111
22
DOCC ABCD S S =
=正方形正方形，同理，11
1S 4DO C DOCC S =正方形，11
112S 2DO C DO C C S
=正方形，
继而可得 112121111
S 2222
DO C C DOCC S =
=⨯=正方形正方形 ，22
112S 4DO C DO C C S =正方形，
22223S 2DO C DO C C S
=正方形，2231121S 2
DO C C DO C C S =
=正方形正方形23111
222⨯=……，依此规律作答
【详解】
解：在正方形ABCD 中，,,AC BD AO BO CO DO AB BC CD DA ⊥======，
AOB BOC COD DOA ∴≌≌≌，
AOB
BOC
COD
DOA
S
∴=S
=S
=S
S 4DOC
ABCD S
∴=正方形，
1S 2DOC
DOCC S
=正方形，
11
S 2
DOCC ABCD S ∴=正方形正方形，
同理∵11
1S 4DO C DOCC S =正方形，11
112S 2DO C DO C C S
=正方形
∴112121111S 2222
DO C C DOCC S =
=⨯=正方形正方形 ， ∵22
112S 4DO C DO C C S =正方形，22
223S 2DO C DO C C S
=正方形
223112231111S 2222
DO C C DO C C S =
=⨯=正方形正方形， ……
1
1
1
S 2n n n DO C C n ∴++=
正方形， 故答案为：1
12n + 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质及求三角形的面积等知识，正确理解正方形的对角线把正方形分成面积相等的四个全等三角形是解题的关键
16．【分析】连接BD 交AC 于O 由菱形的性质得出CD=AB=2∠BCD=∠BAD=60°由直角三角形的性质求出OB=AB=1由直角三角形的性质得出由旋转的性质得出AE=AB=2∠EAG=∠BAD=60°求 解析：31- 【分析】
连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，
1ACD 302
︒∠=∠=∠=BAC BAD ，由直角三角形的性质求出OB=12AB=1，由直角三角形的性质得出23AC =，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE 232=-，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE 的长
【详解】
解：连接BD 交AC 于O ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，1ACD 302︒∠=∠=
∠=BAC BAD ，OA=OC ，AC ⊥BD ， ∴112OB AB =
= ∴33,==OA OB ∴23AC =由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，
∴232,=-=CE AC AE
∵四边形AEFG 是菱形，
∴EF ∥AG ，
∴∠CEP=∠EAG=60°，
∴∠CEP+∠ACD=90°，
∴∠CPE=90°，
∴1312
PE CE == 31
【点睛】
本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
17．5【分析】先根据菱形的性质得到AC⊥BDOB＝OD＝BD＝4OC＝OA＝AC＝3再利用勾股定理计算出BC然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长【详解】∵四边形ABCD为菱形AC＝6BD＝8∴
解析：5
【分析】
先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝1
2
BD＝4，OC＝OA＝
1
2
AC＝3，再利用勾股定
理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．【详解】
∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝1
2BD＝4，OC＝OA＝
1
2
AC＝3，
在Rt△BOC中，BC5，
∵H为BC中点，
∴OH＝1
2
BC＝2.5．
故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查菱形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，菱形的对角线互相垂直且平分；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键．18．20°【分析】根据菱形的性质得出OB=OD根据直角三角形斜边的一半等于斜边的一半得出OH=OD即可得出∠HDB=∠DHO=20°【详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD∵DH⊥AB于点H∴OH
解析：20°
【分析】
根据菱形的性质得出OB=OD，根据直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，得出OH=OD，即可得出∠HDB=∠DHO=20°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵ DH⊥AB于点H，
∴OH=1
2
BD=OD，
∴∠HDB=∠DHO=20°．
故答案为：20°．
【分析】
此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得
△OBH 是等腰三角形是关键．
19．【分析】根据菱形对角线互相垂直且平分的性质得到点B 的对称点为点D 再由两点之间线段最短解得的最小值再根据题意判定是等边三角形结合三线合一及勾股定理解题【详解】如图连接BD 交AC 于点O 连接DM 交点AC 于 解析：3 【分析】
根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到点B 的对称点为点D ，再由两点之间线段最短解得MP PB +的最小值，再根据题意判定ADM △是等边三角形，结合三线合一及勾股定理解题．
【详解】
如图，连接BD 交AC 于点O ，连接DM 交点AC 于点P ，连接BP ，
在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且OB=OD 即点B 关于AC 的对称点是点D ，
PD PB ∴=
MP PB MP DP DM ∴+=+=
此时MP PB +值的最小,
AB=AD ，60BAD ∠=︒，
ADB ∴是等边三角形，
点M 是AB 边的中点，
AB DM ∴⊥，
1AM ∴=
22213DM ∴=-=
．
【点睛】
本题考查菱形的性质、两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°再根据折叠的性质可得答案【详解】∵四边形ABCD 是矩形
∴AD ∥BC ∴∠B′FC =∠2=70°∴∠1+∠B′FE=180°-∠B
解析：55°
【分析】
先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B′FC=∠2=70°，
∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°，
由折叠知∠1=∠B′FE ，
∴∠1=∠B′FE=55°，
故答案为：55°．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等性质．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由见解析．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC ，∠A=∠C ，由旋转的性质得到A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF ≌△BA 1D ； （2）由旋转的性质得到∠A 1=∠A ，根据平角的定义得到∠DEC=180°-50=130º，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50=130º，证得四边形A 1BCE 是平行四边形，由于A 1B=BC ，即可得到四边形A 1BCE 是菱形．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，
∴AB=BC ，∠A=∠C ，
∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，
∴A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，
在△BCF 与△BA 1D 中，
111
A C A
B BC
A BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BCF ≌△BA 1D （ASA ）；
（2）四边形A 1BCE 是菱形，
理由：∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，
∴∠A 1=∠A ，
∵∠ADE=∠A 1DB ，
∴∠AED=∠A 1BD=50º，
∴∠DEC=180°-50º=130º，
∵∠C=50º，
∴∠A 1=50º，
∴∠A 1BC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50º=130º，
∴∠A 1=∠C ，∠A 1BC=∠A 1EC ，
∴四边形A 1BCE 是平行四边形，
∴四边形A1BCE是菱形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
22．（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）45°．
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FAO=∠ECO，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE；
（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（3）根据（1）的结论可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF平行四边形，再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形；根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．
【详解】
解：（1）如图一
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=EC，
∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
（2）如备用图一：
证明：∵AB ⊥AC ，
∴∠BAC =90°．
∵∠AOF =90°，
∴∠BAC =∠AOF ，
∴AB ∥EF ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴四边形ABEF 是平行四边形．
（3）如备用图二：
在Rt △ABC 中，
AC 22BC AB -．
∵AO =OC ，
∴AO =1=AB ．
∵∠BAO =90°，
∴∠AOB =45°
∵EF ⊥BD ，
∴∠BOF =90°，
∴∠AOF =45°，
即AC 绕点O 顺时针旋转45°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.
23．（1）见解析；（2）
307
【分析】
（1）延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，根据题意易证△ADF ≌△ABG （SAS ），即可得到AG =AF ，∠GAB =∠FAD ．即可证明△GAE ≌△FAE （SAS ），即得到EF =BE +DF ．
（2）作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，易证四边形AMCD 是正方形，即可得到AD =CD =MC =10，MB =4．再由（1）的结论得BE =MB +DE ，设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，结合勾股定理即可列出关于x 的方程，求出x 即可．
【详解】
（1）如图，延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ．
在△ADF 和△ABG 中，90AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ADF ≌△ABG （SAS ）．
∴AG =AF ，∠GAB =∠FAD ，
∵45EAF ∠=︒，
∴45FAD BAE ∠+∠=︒,
∴45GAB BAE ∠+∠=︒，即45GAE EAF ∠=∠=︒．
在△GAE 和△FAE 中，45AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△GAE ≌△FAE （SAS ），
∴EG=EF ，即EF=BE+BG=BE+DF ．
（2）如图，作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，
由题意可知四边形AMCD 是正方形，
∴AD =CD =MC =10，MB =4．
由（1）知BE =MB +DE ．
设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．
在Rt △BCE 中，222BC EC BE +=，即()222610=(4)x x +-+， 解得：30
7x =，即DE = 307
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）30A ∠=︒，证明见解析
【分析】
（1）先根据垂直平分线和直角证得DF//BC ，再结合BF//CE ，根据两组对边分别平行的四
边形是平行四边形即可证明；
（2）根据有一组临边相等的平行四边形是菱形，所以需添加的条件能证明有一组临边相等据此作答．
【详解】
解：（1）证明：∵DF 垂直平分AC ，90ACB ∠=︒，
∴DF//BC ，
又∵BF//CE ，
∴四边形BCEF 是平行四边形；
（2）当30A ∠=︒时，四边形BCEF 是菱形，理由是：
∵DF 垂直平分AC ，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，
∴EA=EC ，1903060∠=︒-︒=︒，
∴230A ∠=∠=︒，即3903060∠=︒-︒=︒，
∴∆BCE 是等边三角形，
∴BC=EC ，
由（1）得四边形BCEF 是平行四边形，
∴四边形BCEF 是菱形．
【点睛】
本题考查菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握判定定理，并能结合题意选择合适的定理证明是解题关键．
25．8s 或
283
s 【分析】
设运动时间为t 秒，则有AP ＝t ，CQ ＝2t ，分PQ//CD 和PQ 与CD 不平行两种情况进行讨论，再根据平行四边形或梯形的性质建立方程即可求解．
【详解】
解：（1）当PQ//CD 时，
∵AD//BC ，
∴四边形PDCQ 是平行四边形，
∴PD ＝CQ ，
而AP ＝t ，CQ ＝2t ，PD ＝AD －AP ＝24－t ，
即：2t ＝24－t
解得： t ＝8．
（2）当PQ 与CD 不平行时，而AD//BC ，PQ ＝CD ，
∴四边形PDCQ 是等腰梯形，
作PM ⊥BC 于M ，DN ⊥BC 于N ，则四边形ABND 、PMND 均是矩形，
∴AD ＝BN ＝24，CN ＝BC －BN ＝2，QM ＝CN ＝2，PD ＝MN ，
而CQ ＝QM ＋MN ＋NC ，
∴ 2t ＝24－t ＋2＋2，
解得： t ＝283
．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质及等腰梯形的判定与性质，属于动点型问题，关键是分类讨论点P 及点Q 位置，然后利用方程思想求解t 的值．
26．（12；（2）OM ON =，证明详见解析；（3）详见解析
【分析】
（1）由题意可得OC=OB ，OC ⊥OB ，再根据勾股定理即可得到答案；
（2）连接OB ，OC ，证明BOM CON ∆∆≌，即可得出答案；
（3）根据题意可推出OBF ∆为等边三角形，可得60OBF F ∠=∠=︒，
2BF OF ==45OBC ∠=︒，可得45OBM ∠=︒，从而可推出，
EBM EMB ∠=∠，即可得证．
【详解】
解：（1）∵点O 是正方形ABCD 的两条对角线的交点，以点O 为直角顶点的直角三角形OEF 的两边OE ，OF 分别过点B ，C ，
∴OC=OB ，OC ⊥OB ，
∵BC=2，
∴OC 2=BC 2-OB 2，
2OC 2=BC 2，
2OC 2=4，
即2；
（2）OM ON =；
证明：如图，连接OB ，OC ，。