工程流体力学泵与风机第2章流体静力学资料

结论：不可压缩均质流体要维持平衡，只有在有势的 质量力作用下才有可能。
积分
dp dU p＝U c
积分常数c由边界条件来确定。 设已知边界点上的势函数为U0和压强为p0，则c＝ p0-ρU0.得：
p p0 U U0
—— 不可压缩均质流体平衡微分方程积分后的普遍关 系式。
它表明任一点上的压强等于外压强p0与有势的质量力所 产生的压强之和。
【了解】 （1）静止流体表面力只有压应力-压强。 （2）流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：
它以压强为中心，阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律 ，进一步求解作用在平面上、曲面上和物体上静水总压力。
【掌握】 （1）静止是相对的，针对坐标没有相对运动，分为觉对静
止和相对静止。 （2）掌握流体静压强的两个基本特性。
压强分布图：用几何图形表示受压力面上 压强随液深而变化的图，称为压强分布图。
大小：静力学基本方程 方向：垂直并且指向作用面
大小：静力学基本方程 方向：垂直并且指向作用面
流体静力学基本方程
公式推导 取微元高度：dZ 向上的力：PA 向下的力：（P+dP）A 重力：mg = ρgAdZ 三力之和为零：PA - (P+dP)A - ρgAdZ=0 即 dP + ρgdZ = 0 ρgz + P = 常数 —流体静力学基本方程
——帕斯卡定律
该定律在水压机、水力起重机等水力机械中有广 泛的应用。
充满液体的连通器内，一点的压强变化可瞬间传 递到整个连通器内
当作用力很大时，液体内部可近似为等压空间。
等压面
取一微元矢量 dl dx, dy, dz
与欧拉平衡微分方程点乘
Xdx Ydy Zdz p dx p dy p dz
,
x)
1 6
Xdxdydz
0
•由于
BCD
cos(
pn,
x)
1 2
dydz
•y
px
pn
1 3
Xdx
0
•D
•令流体元缩为一点，即 dx 0
•dy
• pz • pn
px pn
• px
•A •dx •dz
•x •C
•同理： py pn, pz pn
•B
•z
px py pz pn p(x, y, z)
特性1的证明
• 流体中任意点所受的力均可分为切向应力和法向应力。
当流体处于静止， du ，0 故切应力 ，0 所以，只存在法
向应力。
dy
Ø 因为静止，故只存在压力。若流体受拉力作用，要发生 运动
Ø 若作用力不垂直，则可以分解成法向和切向应力，不能
满足平衡状态的要求。
•F
•特性2的证明
同一点上各方向的静压强均相等。
因
dU U dx U dy U dz
x
y
z
X U Y U
x
y
Z U z
说明：
X U x
Y U y
Z U z
所取的空间中的任何点上都存在着质量力，因此 这个空间可叫做质量力场或势力场。
因函数U 对各坐标的偏导数分别等于力场的力在 对应坐标轴上的分量，则这函数称U为力函数或势函数。
而力X,Y,Z称为有势力。 质量力是有势的力。如重力和惯性力。
y
Z 1 p 0
z
f 1 p 0
欧拉平衡 微分方程
流体平衡微分方程的积分
目的：在给定质量力（X,Y,Z）的作用下，得到绝对静 止或相对静止流体中压强的分布规律。
X
1
p x
dx
0
Y
1
p y
dy
0
Z
1
p z
dz
0
p dx p dy p dz
x
y
z
Xdx Ydy Zdz
01121??????????dp??流体平衡的条件由欧拉平衡微分方程对坐标交错求导可得根据场论此式表明质量力场是有势场存在势函数xyz且且zfxfyfzfxfyfxzzyyx???????????????01????ypfy?01????zpfz?01????xpfx?zfyfxfzyx???????????????由压强差公式??zfyfxfpzyxdddd??????????dddd????????????????????zzyyxx不可压缩流体平衡的条件结论
o x 2
dx
y
p p dx dydz p p dx dydz
x 2
x 2
流体平衡微分方程
1、表面力
p p dx dydz p p dx dydz
x 2
x 2
p p dx x 2
2、质量力
z
fx a
dx
设作用于六面体的单位质量力
p p dx
在x、y、z轴方向的分量分别为 o x 2
【重点】 静压强的两个基本特性。
【难点】 静压强第二个基本特性的推导。
第二章 流体静力学
第二节 欧拉平衡微分方程
流体平衡微分方程
在静止流体中取一微元六面体，各面平行于坐 标平面。
微元体边长：dx dy dz
中心点坐标：a(x, y, z)
中心点压强：p
单位质量力：X Y Z
中心点压强按泰勒级数展开
z p c
g p p0 gh
2、 p p0 gh 说明： （1）静止液体中任一点压力p等于液面压力p0 与从该点到液体自由表面液柱所产生的压强ρgh 之和。 推广：已知某点压力求任一点的压力值。
p1 p2 gh 上式中∆h为两点间深度差。 （2）在静止流体中，压力 随深度按线性规律变化。
（2）等压面垂直于质量力的合力 等压面方程
Xdx Ydy Zdz 0
推理：式中dx、dy、dz可设想为流体质点在等 压面上的任一微小位移在相应坐标轴上的投影。
因此，当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所 作的微功为零。因质量力和位移ds都不为零，所以， 必然是等压面和质量力正交。
数学证明：
流体静力学基本方程
1. 应用条件：连续、静止、均一的不可压缩性流体；
2. 若P1=P0，P2=P；则P=P0 + ρgh，当P0一定时， h增加，P增加，即：静止流体中任一点的压力与流体 密度ρ和所处高度h有关，与容器形状无关；
3. P0变化时，会以同样大小传递到液体内部——帕斯 卡原理；应用：水压机、液压传动装置
例题
在下图中，气缸内壁的直径D＝12cm、活塞的直径d＝ 11.96cm，活塞的长度L＝14cm，活塞往复运动的速度为1m/s， 润滑油液的μ＝0.1Pa.s，试问作用在活塞上的黏滞力为多少？
解：
因黏性作用，粘附在气缸内壁的润滑油层速度为零，粘附在活塞外沿的润
滑油层与活塞速度相同，即ν＝1m/s。因此，润滑油层的速度由零增至
因p px, y, z，则
dp Xdx Ydy Zdz
流体平衡微分方程的综合式
流体平衡微分方程的积分
对于不可压缩均质流体来说，其密度ρ为常数。
dp Xdx Ydy Zdz
左边是一个坐标函数p的全微分
右边也必须是某一个坐标函数U（x,y,z）的全微分,
即
Xdx Ydy Zdz dU
f
Xi
Yj
Zk
ds
dxi
dyj
dzk
f ds Xdx Ydy Zdz 0 f ds
作用：已知质量力的方向 确定等压面的形状
（3）等压面不能相交
（4）两种互不相溶的流体平衡时分界面为等压
面。
dp
dU
ddpp21
1dU1 2 dU 2
分界面上任一点处两种流体质量力及质量势力
y
x、y、z
x
六面体的质量为 dxdydz
则沿x轴方向的质量力为 Xdxdydz
流体平衡微分方程
3、导出关系：微元体在静压强和质量力的作用下平 衡。
微p元 体p上d的x 力dy在dzx方向p 的 平p衡dx方程dy：dz Xdxdydz 0
x 2
x 2
化简：
fx
1
p 0 x
同理：
fy
（不可压缩）
根据场论，此式表明质量力场是有势场，存在
势函数π(x, y, z)，且
fx
x
fy
y
由压强差公式
fz
z
dp f xdx f ydy f zdz
x
dx
y
dy
z
dz
d
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
1 p
f z z 0
流体平衡的条件
结论： 质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件； 对于不可压缩流体，等压面与等势面重合。
帕斯卡定律 p p0 U U0
式中p0是单独的一项，ρ（U-U0）是由流体的密度 和质量力的势函数所决定的，与p0无关。
因此，p0若有所增减，则平衡的流体中各点的压 强也随之有同样大小的数值变化，即在平衡的不可压 缩均质流体中，由于部分边界面上的外力作用而产生 的压强将均匀地传递到该流体的各点上。
1以m活/s塞，面油积层，间就因是相作对用运于动活产塞生切上应的力黏，滞故力用T。
dux dy
计算。该切应力乘
将间隙n放大，绘出该间隙中的速度分布图。由于活塞与气缸的间隙n很小， 速度分布图近似认为是直线分布。
流体静压强
流体平衡，则作用在流体上的应力只有法向应力，而没 有切向应力。流体作用面上负的法向应力就是静压强。
可得各面中心压强。
x
p p dx x 2
z
fx a
p p dx
o x 2
dx
y
流体平衡微分方程
1、表面力
设点a（x、y、z）压强为p，当 坐标有微小变化时，p可用泰勒 级数表示。
以x轴为例，忽略二阶以上的各
项，沿x方向六面体两边界面中
心点处的压强分别为：
x
p p dx x 2
z
fx a
p p dx
压强差公式
说明：质量力一定时，静压强的增量取决于坐标
增量。
f 1 p 0
等压面
1、等压面：流体中压强相等的点组成的面。
px, y, z const. dp 0
dp Xdx Ydy Zdz 0
Xdx Ydy Zdz 0
2、等压面特性 （1）等压面就是等势面 等压面，p＝常数 dp＝ρdU＝0.因为dU＝0 势函数U是为常数。
• py
讨论
• 只要流体内部无切应力存在，无论流体是处于静止还是 流动状态，流体内任意点的压强大小都与其作用面的方位无 关，只是空间点位置的函数。
• 该结论无论是对绝对静止、相对静止的流体，还是对于 流动的理想流体 (流体质点间可能有相对运动）都成立。
• 对于粘性流体，如果流体质点间存在相对运动，则流 体中就会产生切应力，此时流体中一点的法向应力（相应于 静止流体中的压强）在不同方向的大小可能不相同。
流体静力学基本方程
1、推导
dp Xdx Ydy Zdz
（1）坐标： 将直角坐标原点选在自由面上，z轴垂直向
上，液面上的压力为P0. （2）作用力：
作用在单位质量流体上的质量力在各坐标 轴方向的分量： X 0,Y 0, Z g
由流体平衡微分方程式
dp Xdx Ydy Zdz
可以得到：
均相等。
dp1 dp2 dp
dU1 dU2 dU
1
1
1
2
dp

0
由于ρ1≠ρ2，则dp＝0，分界面为等压面。
（5）（同一种、相互连通、绝对静止流体）水 平面为等压面。
流体平衡的条件
由欧拉平衡微分方程，对坐标交错求导，可得
f x f y y x
f y f z z y
f z f x x z
p1 p2
•A p3 p1 p2 p3 p(x, y, z)
证明：静压强大小与作用面方向无关
证明思路： （1）取研究对象（微元体） （2）受力分析 （3）导出关系式 （4）得出结论
•y
•D • pz
•dy
• pn
• px
•A
•dx
•dz
•x •C
•B
•z
• py
•受力分析
•y
•表面力
1
x y z
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
f 1 p 0
欧拉平衡 微分方程
等压面
取一微元矢量 dl dx, dy, dz dp
与欧拉平衡微分方程点乘
f xdx f ydy f zdz
p dx p dy p dz x y z
dp f xdx f ydy f zdz
作用在单位面积上的力，单位常用Pa或牛顿/米2
在静止流体中一作用面积为∆A，其上压力为∆P，则当 面积缩为一点时，平均压强∆P/∆A的极限值就是该点静 压强，用符号p小写表示。
lim p
P
A0 A
绝对静止和相对静止
流体静压强的特性
特性一 流体静压强的作用方向沿作用面的内 法线方向。
特性二 流体静压强的大小与作用面在空间的 方位无关，只是坐标的函数。
1
p 0 y
1 p
f z z 0
f 1 p 0
欧拉平衡 微分方程
x
p p dx x 2
z
fx a
p p dx
o x 2
dx
y
流体平衡微分方程
物理意义：静止流体内质量力与静压强相平衡。 适用范围：理想流体 黏性流体
可压缩流体 不可压缩流体 静止 相对静止
X 1 p 0
x
Y 1 p 0
2
pxdydz
12 pydxdz
1
2
pzdxdy
• px
pnBCD
•质量力
1
fdxdydz
6
•D • pz
•dy
• pn
•A
•dx
•dz
•B
•x •C
•z
• py
•x方向的力平衡方程
1 2
pxdydz
pnBCD
cos(
pn
,
x)
1 6
Xdxdydz
0
1 2
pxdydz
pnBCD
cos(
pn
dp gdz
dz dp 0
g 对于不可压缩流体，ρ为常数，积分上式，可得
静力学基本方程（形式之一）
z p c
g
z1
p1
z2
p2
形式之一：
z p c
g
z1
p1
g
z2
p2
g
形式之二：
自由表面上z＝0，p＝p0，一般用点在液面以下 深度h代替－z更为方便。代入上式得：
p p0 gh
静力学基本方程