SSP09_Metal fermi surfaces共29页

cosK~( xa)
cosK~xa
(11 2
K~x2a2)
co K ~ ya s () cK o ~ ya s (1 1 2 K ~ y2 a 2 ) co K ~ za s ( ) cK o ~ za s (1 1 2 K ~ z2 a 2 )
则： (K ~ ) 6 K ~ 2 a 2
(rm)H ˆ(r)dv
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能量决定于位矢相差 m 的 波函数的积分,这个积分称之为 交叠积分,一般情况下我们认为 只有最近邻原子的波函数才交 叠,不是最近邻原子的波函数不 交叠, 不交叠时交叠积分为零。
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表示晶因体此哈在密最顿近量邻在近原似子下，波当函数m下=0的时，
平用均值代表最, 近邻原 子 之间(的r )H ˆ位(置r )d矢v量，
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画出kx方向的能带曲线是一个 余弦函数：
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(1)带宽 带宽决定于函数的极大值与极小值 之差：
mi n 6（在BZ中心） max6（在BZ顶角上）
∴△ε=12 。
能带的宽度与交叠积分的成正比， 不交叠时宽带为零。
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(2)等能面
当 k函数是常数时为等能面，由于 k函数是三角函数，等能面不再是球
(rm)Hˆ(r)dv
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于是电子在一级微扰下的能量为：
k H ˆk 1 eik (r jr m )
Njm
(r m )H ˆ (r )dv
两次求和可写成m原子的求和的N倍，N
是晶体中的原子数即：
e N e ik(r jr m)
ikm
jm
m
ˆ 1
kHkN Nm
eikm
当电子紧紧束缚在某一原子周围时，电子的 波函数相应于孤立原子的波函数，将此波函数作 为零级波函数，以原子间的互作用作为微扰来处 理单电子的Schodinger方程，这种方法称为紧束 缚近似法。
实际上紧束缚近似法与近自由电子模型是两 个极端模型，紧束缚近似法适用于过渡金属，半 导体与绝缘体的能带分析。
近自由电子模型适用于简单的金属的 价电子能带，但对一些过渡金属及半导体、 绝缘体，它们的价电子不象金属中价电子 那样自由，它们既被束缚于一个原子附近， 又有一定的几率在晶体中运动，对于这种 结构，用近自由电子模型去处理引起的误 差是很大的，必须利用另一种模型--紧束 缚近似。
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当电子紧紧束缚在某一原子周围时，由于原 子间的互作用作会使电子在原子间转移，孤立的 能级就可能劈裂为能带。
代入上式可得紧束缚近似下的电子能 谱：
k ( e ix a k e ix a k e iy a k e iy a k e iz a k e iz a k )
用三角函数化简得：
k 2 (c k x a o cs k o y a c sk o z a )s
这就是SC晶体S态电子的紧束缚能带。
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§9.2 紧束缚近似 （Tight-Binding）
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能带近似计算方法
平面波法 （近自由电子法） 紧束缚近似（原子轨道线性组合法） 正交化平面波函数 赝势法 K，P微扰法 原胞法 缀加平面波法 格林函数法
5Hale Waihona Puke 1.紧束缚近似的基本原理中心方程不仅对弱周期势场有效，对 强周期势场也适用。
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2设.晶TB体近中似第下j的个电原子子能的谱波函数为：(rrj) ，
由此线性组合对j求和得到晶体中电子的波
函数：
k (r ) ck j(r r j)
j
根 必 函 定据 定 数 理B,是 。系lBo当l数coh系c定chk数理函j 的：，数选c，周取因期必此势使1场ke中(ikkr电(r)rj必)子定满的为足波BB函lloo数cchh
1 N
eik(rj rm)
jm
ˆ mH jdv
m (rrm) ; j (rrj)
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为或求 令此r积r 分j ，r把，r 平移 m 一个r m 矢r j量代rj，表
第m个原子相对于第j个原子的位矢，
于是
(r r j)(r )
(rrm)rrmrj) (rm)
ˆ
mHjdv
(rm)Hˆ(r)dv
§9.1 费米面构图
1
费米面是T=OK时电子填充的最高等能面, 费米面附近的电子决定金属的动力学性质。
自由电子的费米面是球面, 但晶体中的电 子受周期势场的作用, 费米面就不再是球面。
费米面的形状很重要, 若知道了费米面的 形状就知道了决定金属动力学性质的电子态。 费米面是研究金属动力学性质的指南。
等能面显然是球面。
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b.当
kx
ky
kz
a
附近时
（即在区边界的顶角上）
K ~ x k x a, K ~ y k y a, K ~ z k z a
即把原点移到顶角上，代入 (k )表达式
中： k 2 (c k x a o cs k o y a c sk o z a )s
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利用：
kj
N
时，k(r) 是一个Bloch函数。
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∵
k(r
T)
1 N
j
e ikrj
(
r
T
rj )
eik T
1
N
j
e ik (
rj
T )
r
(rj
T)
eik T
1 N
k(r)
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根据微扰论计算一级近似下的能量：
ˆ
k Hk
1 N jm
eik(rj rm)
(rrm)Hˆ(rrj)dv
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(3)有效质量
k6rk2a2（带底）
(K ~ ) 6 r K ~ 2 a 2 （带顶）
表现为各向同性。
∴在各向同性条件下的有效质量为：
m
2
2
2
2a2
k2
由此看出有效质量与交叠积分成正比，
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对于bcc晶体，在最近邻近似下 计算S能级的能带。它有8个最 近邻,此时
则令： (r )H ˆ(r )d v
于是： kH ˆk
e ik m
k
m
这就是紧束缚近似下，并且只考虑最
近邻原子的电子波函数交叠时的电子
能量。 14
以简单立方晶体为例，对于SC晶体，
每个原子有6个最近邻： m ( a . 0 . 0 ).( 0 . a . 0 ).( 0 . 0 . a )
面。下面我们讨论等能面的形状。
a. ka《1 （即在区中心的情况）
ck o xas 1 1 2 k x 2 a 2 , ck o y a 1 s 1 2 k y 2 a 2
coksza112kz2a2
代入 k函数中：
ε (k ) α 6 γ γ k 2 a 2
式中
k2kx2ky2kz2