高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量的

4．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉 义 叫做a，b的数量积，记作a·b.
数乘向量与向量
运 数量积的结合律
算
交换律
律
分配律
(λa)·b＝_λ_(_a_·_b_) _
a·b＝_b_·_a_ a·(b＋c)＝_a_·_b_＋__a_·_c_
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b
§2 空间向量的运算
学课前预习学案
在如图所示的三棱柱中， (1)直线 AC 与直线 C1B1 是共面直线 吗？ (2)向量A→C与C→1B1是共面向量吗？ (3)你能用三棱柱的顶点为起点和 终点的向量表示出A→C＋C→1B1吗？
[提示] (1)直线 AC 与 C1B1 是异面直线，不能共 面．
1．化简P→M－P→N＋M→N所得的结果是( )
A.P→M
B.N→P
C．0
→ D.MN
解析： 因为P→M－P→N＋M→N＝N→M＋M→N＝0.
答案： C
2．若向量 a、b 满足|a|＝|b|＝1，a 与 b 的夹角为
60°，则 a·a＋a·b 等于( )
1
3
A.2
B.2
C．1＋
3 2
D．2
解析： a·a＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|·cos 60°＝1＋12＝32.
[强化拓展] (1)因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向 量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实数 λ 不一定存在，且不一 定唯一．如：a≠0，b＝0，则 λ 不存在；a＝b＝0， 则 λ 不唯一． (2)在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表 示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
讲课堂互动讲义
空间向量的线性运算 已知空间四边形 OABC， M，N 分别是对边 OA、BC 的中点， 点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如 图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 试用 a，b，c 表示向量O→G.
[思路导引] 寻找O→G所在的封闭图形 ⇒ 把O→G利用加法法则分解 ⇒ 用a，b，c把各向量表示出来 ⇒ 运算化简 ⇒ 结果
向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余 弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． (3)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量 ，这是因为任一个与a垂直的非零向量b，都有 a·b＝0. (4)数量积的运算不满足消去律，即a·b＝b·c推 不出a＝c. (5)数量积的运算不满足结合律，即(a·b)c不一 定等于a(b·c)．
(2)向量a与λa的关系.
λ的范围
方向关系
模的关系
λ>0
方向_相__同___
λa的模是a的
λ＝0 λa＝_0_，其方向是任意的 模的_|_λ_|倍___
λ<0
方向__相__反__
(3)空间向量的数乘运算律 设λ、μ是实数，则有 ①分配律：λ(a＋b)＝___λ_a_＋__λ_b__. ②结合律： _λ_(_μ_a_)_＝__(λ_μ_)_a_. 3．空间向量共线定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是 __存__在__实__数__λ___，使得___a_＝__λb___.
(2)空间
任意两个向
量都是共面
向量，从而
→ AC
与
C→1B1也是共面向量． (3)A→C＋C→1B1＝A→C＋C→B＝A→B.
1．空间向量的加减运算 (1)加法法则 设 a 和 b 是空间两个向量，过一点 O 作 a 和 b 的
__相__等__向__量____O→A和O→B，根据平面向量加法的 __平__行__四__边__形__法__则____，平行四边形 OACB 的对角线 __O__C__对应的向量O→C就是 a 与 b 的和，记作 a＋b，
如图．
(2)减法法则 与平面向量类似，a与b的差定义为_a_与__－__b_的___ __和__向__量___，记作a－b，其中－b是b的相反向 量．
(3)运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a_b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c)__．
[强化拓展]
(1)空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相
[边听边记] O→G＝O→M＋M→G
＝12O→A＋23M→N ＝12O→A＋23(O→N－O→M) ＝12O→A＋2312O→C＋12O→B－12O→A ＝12O→A＋13(O→C＋O→B－O→A) ＝16O→A＋13O→B＋13O→C ＝16a＋13b＋13c.
两个 ＝0. 向量 (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 数量 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 积的 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 性质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
[强化拓展] (1)书写向量的数量积时，只能用符号a·b，而 不能用符号a×b，也不能用ab. (2)两向量的数量积，其结果是个实数，而不是
＝1×1×cos 60°＝12.
(2)(O→A ＋O→B )·(C→A ＋C→B ) ＝(O→A ＋O→B )·(O→A －O→C ＋O→B －O→C ) ＝(O→A ＋O→B )·(O→A ＋O→B －2O→C )
＝ 12 ＋ 1×1×cos 60°－ 2×1×1×cos 60°＋ 1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1.
同．在化简向量表达式时，要结合空间图形，分析
各个向量在图形中的表示，把空间向量转化为平面
向量，并化到最简为止．
(2)
封
口
Байду номын сангаас多边
形
法
则
：
→ A1A2
＋
→ A2A3
＋
→ A3A4
＋
…
＋
An－
1An＝A→1An.因此，在解决空间向量加、减运算问题时，
可以通过平移将它们转化为首尾相接的向量的和来
解决．
2．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积_λ_a__仍然是 一个__向__量____ ，称为向量的数乘运算．
答案： B
3．已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j ＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________． 解析： a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－
3k2＝－2. 答案： －2
4．已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求：
(1)O→A ·O→B ； (2)(O→A ＋O→B )·(C→A ＋C→B )． 解析： (1)O→A ·O→B ＝|O→A |·|O→B |·cos∠AOB