高中数学第二章统计222用样本的数字特征估计总体的数字特征3
高中数学人教新课标B版必修3--《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》课件3
x 4.91
问题3： 如何从频率散布直方图中估
计平均数，为什么？
21:32
答案：91.5,91.5
计中位数，为什么？
21:32
2 中位数：左边和右边的直方图面积相等
前三个矩形的面积和=0.41
后四个小矩形的面积和=0.48
0.25
0.15
0.13 0.10
0.06 0.22
0.09 0.11
4.91
分总析结：：在在样本频数率据散中布，直有5方0%图的中个体，小把于频或率等散于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
0.25
0.15
0.13 0.10
0.06 0.22
0.09 0.11
21:32
18
从锻炼时间样本数据可知，该样本的众数是3.5， 中位数是4.75，平均数是4.825。这与我们从样本频率 散布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
因频率散布直方图本身得不出原始的数据内容, 所以由频率散布直方图得到的众数、中位数平 均值的估计往往与样本的实际中位数值不一致.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反应该工厂的 工资水平。
二、归纳提升： 众数、中位数、平均数的特点
特征数 众数 中位数 平均数
作用
局限性
众数体现了样本数据 的最大集中点
高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总
高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征预习导航 新人教B 版必修31．通过随机抽样，会用样本平均数估计总体平均数，会用样本标准差估计总体标准差．2．掌握几个数据的标准差及方差的计算方法，理解数据标准差的意义和作用．1．众数、中位数、平均数(1)在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．(2)将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)如果有n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n ，那么x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )，叫做这n 个数的平均数． 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数． 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．【做一做1】10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12．设平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a <b <cB ．a >b >cC ．a <c <bD ．c >a >b解析：众数c ＝17，中位数b ＝15，平均数a ＝110×(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14．7，所以a <b <c ．答案：A2．样本方差、样本标准差 数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．我们知道，样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，定义s 2＝1－x 2＋2－x 2＋…＋n －x 2n ， s ＝1－x 2＋2－x2＋…＋n －x 2n ． 其中s 2表示样本方差，s 表示样本标准差．归纳总结 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．【做一做2－1】 样本101,98,102,100,99的标准差为( )A ． 2B ．0C ．1D ．2解析：样本平均数x ＝15×(101＋98＋102＋100＋99)＝100，方差s 2＝15×[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(100－100)2＋(99－100)2]＝2， ∴s＝2．答案：A【做一做2－2】 若k 1，k 2，…，k 6的方差为3，则2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的方差为__________．解析：设k 1，k 2，…，k 6的平均数为k ，则16[(k 1－k )2＋(k 2－k )2＋…＋(k 6－k )2]＝3， 而2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的平均数为2(k －3)，则所求方差为16[4(k 1－k )2＋4(k 2－k )2＋…＋4(k 6－k )2]＝4×3＝12．答案：12。
高中数学第二章统计2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征教案新人教B版必修3
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案教学目标1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数．3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 教学重难点教学重点：用样本众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数.. 教学难点：用样本的数字特征估计总体的数字特征,统计思维的建立. 教学过程情境导学美国NBA 在2011——2012年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49；乙运动员得分：8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就应有相应的数据作为比较依据，即通过样本数字特征对总体的数字特征进行研究．所以今天我们开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征． 探究点一 众数、中位数和平均数问题 在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，它们都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，你还能回忆起众数、中位数和平均数的定义及特点吗？思考1 众数是如何定义的？有什么特点？举例加以说明．答 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．特点：(1)众数是这组数据中出现次数最多的数；(2)众数可以有一个或多个； 如：一组数据为2,2,3,4,4,5,5,6,7,8；众数为2,4,5. 思考2 中位数是如何定义的？有什么特点？举例加以说明．答 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．特点：(1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组数据中的数． 如：一组数据为2,2,3,4,4,5,5,6,7,8；中位数为12(4＋5)＝4.5.思考3 平均数是如何定义的？答 平均数：一组数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )探究点二 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系思考1 如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出众数的值？举例加以说明．答 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标．例如，在2.2.1(一)节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数估计是2.25 t ．如图所示：思考2 如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出中位数的值？举例加以说明．答 在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数使得在它左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值，下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.02 t.思考3 如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值？答 平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数．思考4 从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？答 因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明分布的形状，从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关，所以估计的值有一定的偏差．思考5 根据众数、中位数、平均数各自的特点，你能分析它们对反映总体存在的不足之处吗？答 (1)众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；(2)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点；(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低．例1 样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定答案 A解析 利用两个样本平均数表示总体平均数，从而确定系数α.x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm ，z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y mm ＋n ，则z ＝n x ＋m ym ＋n ＝n m ＋nx ＋m m ＋ny .由题意知0<nm ＋n <12，∴n <m . 反思与感悟 根据样本频率分布直方图，可以分别估计总体的众数、中位数和平均数． (1)众数：最高矩形下端中点的横坐标；(2)中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标．(3)平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和．跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 探究点三 众数、中位数、平均数的简单应用例2 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？ (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？ 解 (1)公司职工月工资的平均数为x ＝5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝69 00033≈2 091(元)． 若把所有数据从大到小排序，则得到：中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为x ＝30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝108 50033≈3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．反思与感悟 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息．平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．跟踪训练2 某班甲、乙两名学生的高考备考成绩如下： 甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两名学生的成绩； (2)分别求两名学生成绩的中位数和平均分． 解 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示.(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为536＋5382＝537.乙学生成绩的中位数为532＋5362＝534.甲学生成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537，乙学生成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.例3 某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位：G/M3) (1)求出这组数据的众数和中位数？(2)若国际(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025G/M3；问这一天城市空气是否符合标准？解 (1)由题意知众数是0.03，中位数为0.03. (2)这一天数据平均数是0.03，∵0.03＞0.025， ∴这一天该城市空气不符合国际标准．反思与感悟 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策． 跟踪训练3 某工厂人员及工资构成如下：(1)(2)这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？ 解 (1)x ＝123(2 200＋6×250＋5×220＋10×200＋100)＝300. (2)因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．作业: 练习1,2,3。
2019年高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教案 新人教A版必修3
2019年高中数学第二章统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教案新人教A版必修3一、教学目标重点: 对样本数据提取的基本数字特征(如平均数等)做出合理解释;用样本估计总体的思想,用样本的基本数字特征估计总体的数字特征;样本数字特征的随机性体验.难点：统计思想的建立;体会统计思维与确定性思维的差异.知识点：利用样本的数字特征估计总体的数字特征.能力点：通过对几种数字特征优缺点的比较,有利于学生在解决实际问题时选择适当的方法对总体数字特征进行估计.自主探究点：理论联系实际,注重所选数字特征的实要性.考试点：会从频率分布直方图中找出样本的平均数、中位数和众数.易错易混点：对数字特征的特点理解有偏差,导致结论下错.拓展点：会用随机抽样的基本思想和样本估计整体的思想,解决一些简单的实际问题.二、引入新课在上一节我们学习了用图、表来组织样本数据,并学习了如何通过图、表所提供的信息,用样本的频率分布估计总体的分布.为了从整体上更好的把握总体的规律,我们还需要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究.思考:(1)怎样将样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”?(2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?【设计意图】带着探究去思考问题使本节课的目标更明确.初中我们曾经学过一些特殊的数：众数:一组数据中出现次数最多的那个数,一组数据中可以有多个众数.中位数:一组数据有奇数个数时,中位数就是中间的那个数,有偶数个数时,中位数是中间两个数的平均数.平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数即算术平均数.我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.那么我们如何从频率分布直方图中得到样本的众数、中位数、平均数呢?【设计意图】针对前面的“点题”,教师再通过设疑，激发学生的求知欲望和学习兴趣,顺势引出样本众数、中位数、平均数,进一步明确本节课的教学重点.三、探究新知：看图2.2-5,大家回顾一下在上一节调查100位居民的月均用水量的问题:探究1:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形内?由此估计总体的众数是什么?通过众数的定义，在样本数据中出现次数最多的数，因此众数应在频率分布直方图中的面积最大的小直方图中（如图 2.2-5）,由此可得月均用水量的众数的估计值是2.25t （最高的矩形的中点）它告诉我们,该市的月均用水量为2.25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少. 【设计意图】教给学生如何从样本数据和频率分布直方图中获取众数,以便处理一些简单的实际问题. 思考1:请大家翻回到课本第66页看看原来抽样的数据,有没有2.25这个数值呢?根据众数的定义, 2.25怎么会是众数呢?因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的,所以存在一些偏差.【设计意图】设计此思考的目的是让学生知道数字特征可以通过样本数据和频率分布直方图两种方式来估计,而且两种途径估计的数字特征可能不同.探究2:那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢?中位数：在样本数据中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中,从左至右各个小矩形的面积分别是0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.由0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01,设小矩形的宽为x ,则0.5x ＝0.01,得x ＝0.02,所以中位数是2+0.02＝2.02. 由此可以估计出中位数的值为2.02.（如图2.2-5）思考2:2.02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗? 样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了.探究3：平均数是频率分布直方图的“重心”,在下面的频率分布直方图中,各个小矩形的重心在哪里?从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少?分析:根据在频率分布直方图中获取众数与中位数的方法类比寻求解题思路.平均数：样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此估计总体的平均数就是:0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02=2.02（t ）.0 月均用水量/t 0.5 11.5 22.5 33.5 44.50.5 0.4 0.3 0.2 0.1 图2.2-5图2.2-5显示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右）,但是也有少数居民的月均用水量特别高,显然,对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考4:2.02这个平均数的估计值,与样本的平均数值1.973不一样,你能解释其中的原因吗?原因同上,样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了.探究4：样本中位数不受少数几个极端值的影响,它一定是个优点吗?一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响,在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.我们一起看一下下面这个例子:一个企业中,绝大多数是一线工人,他们的年收入可能是一万元左右,另有一些经理层次的人,年收入可以达到几十万.这时,年收入的平均数会比中位数大的多.尽管这时中位数比平均数更合理些,但是这个企业的老板到人才市场去招聘工人时,也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎样理解?分析:“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话显然说的是单位人员的平均工资,由于经理层次的人对平均数影响较大,所以单位人员工资的平均数远远要比中位数要大.所以在招聘会上如果打着平均工资的旗号去招聘工人显然是对工人的一种“欺骗”.【设计意图】设计此探究目的是通过此实际问题进一步加深学生对平均数与中位数的理解.谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导、蒙骗,使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性,培养学生拿起数学武器去思考问题的能力.四、理解新知：平均数、众数、中位数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”,但对于同一组考察对象来说,平均数、众数、中位数一般不一样.他们各自的特点如下:1.众数是一组数据中出现次数最多的那个数,（一组数据中可以有多个众数）频率分布直方图中最高的矩形的中点,它体现了样本数据的“最大集中点”,因此用众数作为一组数据的代表,可靠性就差了,但众数有一个好处,就是不受极端数据的影响,并且求法简便.所以,当一组数据中个别数据变动较大时,适宜选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”.2．中位数作为一组数据的代表,可靠性也比较差,但中位数也不受少数几个极端数据（即排序靠前或排序靠后的数据）的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.3．由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数都不具有的性质.与众数、中位数比较起,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计时可靠性降低.特殊说明:如果样本平均数大于样本中位数,说明样本中存在许多较大的极端值;反之,说明样本中存在许多较小的极端值.在实际问题中,如果同时知道样本平均数和样本中位数,可以使我们了解样本数据中的极端信息,帮助我们作出决策.【设计意图】通过此设计可以进一步加深学生对样本数字特征的理解,根据实际情况来选择恰当的数来表示样本的特征.五、运用新知例1: 某公司人员及工资构成如下:(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数.(2)在这个问题中,平均数能客观的反应该公司的平均水平吗?为什么?分析:由平均数的定义可计算出平均数;通过各段的人数可得出众数;把已知数据按由小到大排列后可得中位数:(1)由表格知:众数为200元;因为23个数据从小到大排列,排在中间的应是第12个数,其值为220.所以中位数是220;又由平均数的计算公式(2200+1500+1100+2000+100)÷23=6900÷23=300(元), 所以员工工资的平均数为300元.(2)虽然平均数为300元/周,但由表格中所列的数据可见,只有经理在平均数以上,其余人在平均数以下,故用平均数不能客观的反应该该公司员工的工资水平.【设计意图】通过此例题可以进一步深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据的特点,并结合实际情况,灵活选择.变式训练1:高一(1) 班有男生27名,女生21名,在一次语文测验中,男同学的平均分是82分,中位数是75分,女同学的平均分是80分,中位数是80分. (1) 求这次测试全班平均分(精确到0.01);(2) 估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人? (3) 分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因. 解:(1)利用平均数计算公式可得:1(82278021)81.1348x =⨯+⨯≈(分). (2)因为男同学的中位数是75,所以男同学至少由14人得分不超过75分; 又由女同学的中位数是80,所以女同学至少有11人得分不超过80分. 因而,全班至少有25人得分低于80分(含80分).(3)男同学的平均分与中位数的差别较大,说明男同学中两极分化严重,得分高的和得分低的相差较大. 【设计意图】通过此变式训练进一步明确平均数、中位数、众数在实际生活中的含义.例2:某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05. ．0 50 60 70 80 90 100 0.040 0.030 0.015 0.010 0.005 分数（分）求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平均成绩.分析:根据数字特征在直方图中的求法求解. 教师板书求解过程: (1)由图可知众数为65,又∵第一个小矩形的面积为0.3,∴设中位数为60＋x ,则0.3＋x ×0.04＝0.5,得x ＝5, ∴中位数为60＋5＝65. (2)依题意,平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67, ∴平均成绩约为67.【设计意图】通过此例题进一步理解在频率分布直方图怎样求解平均数、中位数、众数;并把方法进一步明确.方法小结:利用频率分布直方图估计数字特征: (1)众数是最高矩形的底边的中点; (2)中位数左右两侧直方图的面积相等;(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标.变式训练2:从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这50名学生成绩的众数与中位数; (2)这50名学生的平均成绩.解：(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为75.将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求. ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3, ∴前三个小矩形面积的和为0.3,而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5, ∴中位数应位于第四个小矩形内.设其底边为x ,高为0.03,∴令0.03x ＝0.2得x ≈6.7,故中位数应为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74,综上,(1)众数是75,中位数约为76.7;(2)平均成绩均为74. 【设计意图】通过变式训练2可以让学生进一步熟练在频率分布直方图求解平均数、中位数、众数的方法. 六、课堂小结成绩(分) 0 40 50 60 70 80 90 1000.03 0.021 0.02 0.016 0.006 0.0041．知识：如何借助于频率分布直方图来求解样本的平均数、中位数、众数,并且明确这三者在实际问题中的含义及三者的区别与联系,进一步体会通过频率分布直方图来求解的平均数、中位数、众数与实际有偏差的原因.2．思想：本节课始终注重理论知识与实际生活的联系,从而充分体现实际生活中所蕴含的一些数学知识,及统计知识在实际生活中的应用,有利于学生学以致用.【师生活动】在总结中引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师最后总结、板书.【设计意图】让学生自己小结，不仅能总结知识更重要地是总结数学思想方法.这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程,这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯. 七、布置作业必做题：1.某学校高一(1)班有49名学生,在一次数学测验中成绩统计如下:该班级的李畅同学回家对妈妈说:“昨天的数学测试,我们班的平均分是79分,得70分的人最多,我得了85分,在全班算是上游了!” 请你结合本节课所学知识对上面一段话给予简要的分析.2.在生产过程中,测得纤维产品的纤维(表示纤维粗细的一种量)共有100组数据,将数据分组如下表:(1)补全频率分布直方表,并画出频率分布直方图;(2)估计纤度落在[1.46,1.50)中的频率计纤度小于1.40的频率是多少? (3)从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数. 选做题：1. 根据条件求值:(1)已知某班4个小组的人数分别为10,10,x ,8,这组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数. (2)在一次测验中某题的得分如下:求这一题得分的众数.2.在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年,在50名员工中,最高收入达到100万,他们的平均收入是3.5万”.如果你希望获得年薪2.5万元. (1)你能否判断自己可以成为公司的一名高收入者?(2)如果招聘员继续告诉你,“员工的收入变化范围是从0.5万到100万元”,这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定?为什么?(3)如果招聘员继续给你提供如下信息,员工收入的50%(即去掉最少的25%和最多的25%后剩下的)的变化范围是1万到3万,你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定?(4)你能估计出收入的中位数是多少吗?为什么平均工资比估计出的中位数高很多呢?【设计意图】设置必做题的目的是引导学生先复习，再作业，巩固学习效果,同时进一步培养学生良好的学习习惯；设置选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解．八、教后反思1.本节课的亮点是用心设置思考和探究,在学生已有的知识基础上逐步得到要学习的知识,达到水到渠成效果.通过自主探究讲练结合,让学生在独立或小组讨论中解决所遇到的问题,很好的调动学生的积极性与主动性,提高了学生借助数学知识解决实际问题的能力.教师在使用本教案时灵活掌握,但必须以学生为主体,加强互动探究.2. 不足之处：本节课的弱项是如果课堂驾驭不好的化,有些实际问题可能在课上很难给有些同学解释明白,因此在课前老师不但要备好教材更要备好学生.九、板书设计。
高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件新人教A版必修307182164
(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩． 【解】 (1)由题图可知众数为 65， 又∵第一个小矩形的面积为 0.3， ∴设中位数为 60＋x，则 0.3＋x×0.04＝0.5，得 x＝5， ∴中位数为 60＋5＝65. (2)依题意，平均成绩为： 55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67， ∴平均成绩约为 67.
第二十一页，共47页。
频率分布直方图与数字特征 的综合应用
已知一组数据：
125 121 123 125 127 129 125 128 130
129 126 124 125 127 126 122 124
(1)填写下面的频率分布表： 分组
频数累计
[120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5]
第十七页，共47页。
s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋ (100－100)2]＝1.
(2)由(1)知 x 甲＝ x 乙，比较它们的方差，∵s2甲＞s2乙，故乙机床加工零件的质量 更稳定．
第十八页，共47页。
1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究 其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散 性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．
第十六页，共47页。
【精彩点拨】
【尝试解答】 (1) x 甲＝16[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100， x 乙＝16[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100， s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋ (103－100)2]＝73，
人教B版高中数学必修三《第二章 统计 2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》_13
《用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案教学目标：1、能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
2、会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
3、形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
4、在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
教学重难点：1.用由频率分布直方图估计总体的平均数、众数、中位数。
2.用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教具：多媒体 相关的教学资料教学过程：一、 导入在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板书课题）。
二、 新授课（一）、众数、中位数、平均数探究：P 62（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.平均数:一组数据的算术平均数,即 应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。
例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t （最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的
【探究总结】 知识归纳:
注意事项:方差与标准差的关注点 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大 小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、 方差越小,数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围是:[0,+∞). (3)因为方差与原始数据的单位相同,且平方后可能夸
100)2+(100-100)2+(99-100)2]=2,所以标准差为s=
2.
3.下列判断正确的是
(
)
A.样本平均数一定小于总体平均数
B.样本平均数一定大于总体平均数
C.样本平均数一定等于总体平解析】选D.因为样本平均数只是估计总体的平均数, 它与总体平均数的关系不确定,因此只有选项D正确.
则:(1)平均命中环数为________. (2)命中环数的标准差为________.
【解析】(1) x 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7. (2)因为s2= 1 [(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(510
10
7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,所以
距离.
3.一般意义下的平均距离是什么? 提示:S= x1 x x 2 x …… x n x .
n
通过以上探究,试着写出方差与标准差公式: 假设样本数据是x1,x2,x3,…,xn, x 是平均数,则
2 2 2 1 ［ x1 x x 2 x x n x ］ 方差:s2=__________________________________. n
高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件新人教B版必修307182108
甲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
乙
981 1 7 9 32 1 002 1 2 44
5 113 0 0 2 图 2-2-20
【精彩点拨】 由茎叶图分别提取出甲、乙 10 天中每天加工零件的个数， 然后求平均数.
第十一页，共57页。
【 尝 试 解 答 】 甲 每 天 加 工 零 件 的 个 数 分 别 为 ： 18,19,20,20,21,22, 23,31,31,35，所求平均数为 x 甲＝110×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋ 35)＝24.
乙每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均数 为：
x 乙＝110×(11＋17＋19＋21＋22＋24＋24＋30＋30＋32)＝23. 【答案】 24 23
第十二页，共57页。
茎叶图与平均数相结合的问题，关键是识别茎叶图的意义.在一般情况下， 要计算一组数据的平均数可使用平均数计算公式；当数据较大，且大部分数据 在某一常数 a 左右波动时，可建立一组新的数据各个数据减去 a，再利用平均 数简化公式计算，应用此法可减少运算量.
第二十二页，共57页。
频率分布直方图与数字特征(tèzhēng)的综合应用
已知一组数据： 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128
第二十三页，共57页。
(1)填写下面的频率分布表： 分组 频数累计 频数 频率
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息．（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．。
高中数学第2章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征同步课件新人教B必修3.ppt
解：x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)] ＝90＋18×0＝90. 计算 xi－ x (i＝1,2，…，8)得各数据为－1,3，－2,1,4,0， －2，－3. 计算(xi－ x )2(i＝1,2，…，8)得各数据为 1,9,4,1,16,0,4,9. 计算方差 s2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝484＝5.5. 计算标准差 s＝ 5.5 ≈2.3. 所以这组数据的方差为 5.5，标准差约为 2.3.
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①已知所有球员的具体身高； ②求球员的平均身高． 解答本题可利用平均数的公式计算；也可建立 新数据，再利用平均数简化公式计算．
【解】 法一：利用平均数的公式计算． x ＝114×(178＋179＋181＋…＋180＋184) ＝114×2523≈180. 法二：建立新数据，再利用平均数简化公式计算． 取 a＝180，将上面各数据同时减去 180，得到一组新数据： －2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4. x ′＝114×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4) ＝114×3＝134≈0.2.
用．
②在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡
点． (3)通常我们用样本平均数估计总体平均数，一 般说来，样本容量越大，这种估计就越精确．
2．用样本标准差估计总体标准差 (1)标准差 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的 统计量是标准差．标准差是样本数据到平均 数的一种平均距离，一般用s表示．
2019版高中高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件新人教A版必修3
解析:(1)由题设中的茎叶图可以看出甲的平均数为 29,乙的平均数为 30,甲的中位 数为 26,乙的中位数为 28; 甲的方差为
S12
=
302
162
32
92
(5)2(源自3)2 9(18)2
(17)2
(15)2
≈253,
乙的方差为
S
2 2
=
212
132
02
42
(10)2
平均数
一组数据的和与这组数据的个数的
商称为这组数据的平均数.数据x1,
x2,…,xn的平均数为
x x1 x2 …+xn n
平均数的估计值等于频率分布直方图中每 个小矩形的面积乘以小矩形 底边中点的 .
横坐标 之和
2.标准差与方差的概念
(1)标准差
①定义:标准差是样本数据到平均数的一种
②计算公式:
数为22,则x等于(
)A
(A)21 (B)15
(C)22 (D)35
4.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人,乙班有50人.现分析
两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,
则该校数学建模兴趣班的平均成绩是
分.
答案:85
5.样本数据3,5,7,4,6的方差为
自我检测
1.下列说法正确的个数是( C ) ①中位数一定是样本数据中的某个数;②在一组样本数据中,众数一定是唯一的; ③标准差越大,数据的稳定性越强;④如果一组数中每个数减去同一个非零常数, 则这组数的平均数改变,方差不变;⑤一组数据的方差可以为0. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3