04-05高等数学试卷A答案

04-05高等数学试卷A答案
04-05高等数学试卷A答案
高等数学试卷（A 卷）第 2 页共 13 页
广州大学2004-2005学年第二学期考试卷
答案与评分标准
课程：高等数学(90学时) 考试形式：闭卷考试
题号一二三四五六七总分分数 15 15 20 20 16 6 8 100 评分评卷人
一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设xy
e z =，则=dz )
(xdy ydx e
xy
+
2．设
)
,(y x f 连续，交换积分次序
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学院领导审批并签
名
A 卷
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=
1
10
),(x
dy y x f dx ?
10
),(y
dx
y x f dy
3．L 为连接点)0,1(A 与点)1,0(B 的线段，则
=+L
ds y x )(2
4．当10≤
=-1)1(n p n n
条件收敛 5．微分方程
54=+'-''y y y 的通解是
)
sin cos (212x c x c e y x +=
二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数x
z
及y z ??存在是),(y x f 在
该点可微分的【 B 】
（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；
高等数学试卷（A 卷）第 4 页共 13 页
（C ）充分必要条件；（D ）无关条件. 2.曲线1
2
-=t x ，
2
+=t y ，3
t z =在点)1,1,0(-处
的
切线方程为【 C 】
（A ）232=--z y x （B ）232x y z ++=-
（C ）31
12+=-=-z y x （D ）3
112+=-=z y x
3．设Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域，则Ω
=xdv 【 B 】
（A ）1110
x y dx dy x dz
--?
（B ）1110
x x y dx dy x dz ---??
（C ）1110
y x y dx dy x dz
---?
（D ）
111
dx dy x dz
4. 设L 为圆周1
22
=+y x ，取顺时针方向，平
面区域:D 1
22
≤+y x
，
高等数学试卷（A 卷）第 5 页共 13 页根据格林公式，曲线积分22L
y xdy x ydy -=
【 A 】（A ）??+-D
dxdy
y x
)(22
（B ）??+D
dxdy
y x
)(22
（C ）??--D
dxdy
x y
)(22
（D ）??-D
dxdy
x y
)(22
5．微分方程x
xe y y y 265=+'-''的特解形式是【 D 】（A ）x
axe 2 （B ）x
e ax 22
（C ）x
e b ax x 22
)(+ （D ）
x
e b ax x 2)(+
高等数学试卷（A 卷）第 6 页共 13 页
三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．),(v u f z =具有二阶连续偏导数，其中y x u -=，2
2
y x v +=，求x z ??与y
x z
2
解：x
z
x
v u f v u f v u
2),(1),(?+?=┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅ 2分
v
u
xf f 2+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 =y
x z
2
[](1)22(1)2uu uv vu vv
f f y x f f y ?-+?+?-+? ┅┅┅┅ 5分
2()4uu
uv
vv
f y x f x y f =-+-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．函数),(y x z z =是由方程z z y x 22 22=++确定，
求x
z
及2
2
x z ?? 解：令z z y x z y x F 2),,(2
2
2
-++=
x F x
2= 22-=z F z
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分
z
x F F x z z
x -=-=??1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装
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高等数学试卷（A 卷）第 7 页共 13 页2
2
2
)
1()(1z x
z x z x
z
-??---=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅ 5分
3
22
)
1()1(z x
z -+-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．求函数xy y x y x f 3),(3
3
-+=的极值
解：由??
=-==-=0330
332
2
x y f y x f y
x
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅ 2分
得驻点为)0,0(、)1,1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分x f xx
6=， 3-=xy
f ， y f yy
6= ┅┅┅┅┅┅ 4分
在点)0,0(处，092
<-=-B AC ，所以)0,0(f 不是极值┅┅ 6分在点)1,1(处，0272
>=-B AC ，又06>=A
所以在)1,1(处有极小值1)1,1(-=f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分
高等数学试卷（A 卷）第 8 页共 13 页
四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算二重积分dxdy y x D
，其中D 由2
x y =与
x
y =
围成的闭区域解：dxdy y x D
2
1
x
x dx y
dy
=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅ 3分
120
1|2x
x xy dx =? ┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ?
-=1
5
2
)(21dx x x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
1
12= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算二重积分dxdy
e
D
y x ??+2
2，其中D 由4
=+y x
围成的闭区域解：dxdy e
D
y x ??+2
2?
=20
20
2
ρ
ρθ
ρπd e d ┅┅┅┅┅┅┅
┅┅ 3分
2
|2
ρπe
= ┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
高等数学试卷（A 卷）第 9 页共 13 页)
1(4-=e π ┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
3．利用高斯公式计算曲面积分
333I x dy dz y dz dx z dx dy
∑
=
++??
，
其中∑为球面2
a z y x =++的外侧)0(>a ，解：记2
222
:a z y x
≤++Ω
由高斯公式
2223()I x y z dv
Ω
=++ ┅┅┅┅┅
┅┅┅ 3分 dr
r d d a
420
sin 3=ππ??θ ┅┅┅┅
┅┅┅ 6分
5
125
a π=
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅┅┅┅ 8分
高等数学试卷（A 卷）第 10 页共 13 页
五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题6分，第2小题10分，满分16分） 1．判别级数∑∞
=1
!3n n
n
n n 的敛散性
解：!
3)!1(3)1(lim lim 111n n n n u
u n n
n n n n
n n ++=++∞→+∞
→ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅ 2分
n
n n
+=∞
→11lim 31 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分
13<=e
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
该级数收敛┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数∑∞
=?1
2n n
n
n x 的收敛域及其和函数
解：
n
n n a a 1lim
+∞→=ρn
n n n n 212)1(1
lim 1
+=+∞→
1lim 21+=∞→n n n 2
1=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅ 2分
故21
==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
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高等数学试卷（A 卷）第 11 页共 13 页
当2-=x 时，级数
∑∞
=-1
)1(n n n 条件收敛┅┅┅┅
┅┅┅ 4分
当2=x 时，级数∑∞=1
1n n
发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
幂级数的收敛域为)2,2[- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞
=?1
2n n
n
n x 22<≤-x
=')(x S ∑
∞
=-1
12n n
n x
=1
1221-∞=∑??
n n x =
x
-21 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分
x
x dx S x S x
-=-+=?
22
ln 2)0()(0 （22<≤-x ）┅ 10分
六．（本题满分6分）求微分方程
3
2
(1)1
y y x x '-
=++的通解
解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式
+?+?=?+-+C dx e
x e y dx x dx x )
1(2
3)1(2)1(┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅3分
[]?+++=C
dx x x )1()1(2 ┅┅┅┅┅┅┅┅
高等数学试卷（A 卷）第 12 页共 13 页
┅┅┅┅┅┅ 5分
+++=C x x 22)1(21)1( ┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅┅┅ 6分
七．（本题满分8分）一个半球形状的雪堆，其体积减少的速率
与半球面
的面积成正比，比例常数0>k ，假设在融化过程中雪堆始终保持半
球形状，已知半径为1米的雪堆在开始的3小时内融化了体积的8 7，问雪堆全部融化需要多少时间？
解：设雪堆在时刻t 的体积3
32
r V π=，侧面
积2
2r S π=，依题意知
2222r k dt
dr
r dt dV ππ?-==┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅┅┅ 2分
于是得k dt
dr
-= 积分得
C
kt r +-= ┅┅┅┅┅┅┅
高等数学试卷（A 卷）第 13 页共 13 页
┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由初始条件1)0(=r ，得1=C 所以kt r -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分又由题设，可知03
|8
1|===t t V V
即ππ3281)31(323?=-k
6
1=
k 得，从而t r 6
11-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分
雪堆全部融化时0=r ，令0=r 得6=t 故雪堆全部融化需6小时
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分。