浙江省杭州市萧山区城区片六校2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

浙江省杭州市萧山区城区片六校2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.抛物线的对称轴是（）
A. 直线x=-2
B. 直线x=2
C. 直线x=-3
D. 直线x=3
2.不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）．
A. 3个都是黑球
B. 2个黑球1个白球
C. 2个白球1个黑球
D. 至少有1个黑球
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）
A. 8cm
B. 5cm
C. 3cm
D. 2cm
4.关于二次函数，下列说法正确的是（）
A. 图像与轴的交点坐标为
B. 图像的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小
D. 的最小值为-3
5.平移抛物线，下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）
A. 向左平移2个单位
B. 向右平移5个单位
C. 向上平移10个单位
D. 向下平移20个单位
6.已知一个正多边形的内角为a度，则下列不可能是a的值的是（）
A. 90
B. 100
C. 120
D. 176.4
7.已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）
A. B. C. D.
8.如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，点D是半圆AB上一动点（不与A、B重合）,连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°，则∠AED的范围为（）
A. 0°< ∠AED <180°
B. 30°< ∠AED <120°
C. 60°< ∠AED <120°
D. 60°< ∠AED <150°
9.如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接A C、CE、E B、B D、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：① AO⊥BE，② ∠CGD=∠COD+∠CAD，③ BM=MN=NE．其中正确的结论是（）
A. ① ②
B. ① ③
C. ② ③
D. ① ② ③
10.设函数，，若当时，，则（）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
二、填空题（共6题；共6分）
11.抛物线与轴有________个交点．
12.正方形ABCD是半径为10的圆内接正方形，则正方形的周长为________．
13.同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰子的点数是这个随机事件的概率为________．
14.已知二次函数（）图象的顶点在第二象限，且过点（1,0），则________0（用“<、>、、、=”填写）．
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝________．
16.已知，AB、BC是半径为的⊙O内的两条弦，且AB=6，BC=8．（1）若∠ABC=90°，则=________；（2）若∠ABC=120°，则=________.
三、解答题（共7题；共68分）
17.如图所示，△ABC的各顶点都在8×8的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上．
（1）将线段BC绕图中F、G、H、M、N五个格点中的其中一个点可旋转到线段B2C2（点B的对应点为B2）．则旋转中心是点________．
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得后到的△AB1C1．在图中画出△AB1C1．
18.在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n.
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
19.如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证PA＝PC.
20.某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙(墙长为40m)，饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x(m)，总占地面积为y(m2)．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？
21.已知：如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交⊙O于点E，连结AE．
（1）求证：AD=DB．
（2）若AO=10，DE=4，求AE的长．
22.已知抛物线与轴的两个交点间的距离为2．
（1）若此抛物线的对称轴为直线，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？
（2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明；
（3）当时，求的取值范围
23.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G,连接BE．
（1）求证：点B在⊙M上．
（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．
（3）当点D到移动到使时，求证：AE²+CF²=EF²．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解析】【解答】∵抛物线的解析式为：y=（x-2）2+3，
∴抛物线的对称轴方程为：x=2．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数顶点式的性质，可知题中抛物线的对称轴为x=2。

即答案为B。

2.【答案】D
【解析】【解答】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据必然事件的概率为1，分别判断四个选项发生的可能性大小。

3.【答案】A
【解析】【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE= CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE= =3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得出CE=4，在Rt△OCE中，利用勾股定理算出OE的长，再根据AE=AO+OE即可算出答案。

4.【答案】D
【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=-1，图像与轴的交点坐标为（0，-1），因此A不符合题意；
B、对称轴为直线x=-1，对称轴在y轴的左侧，因此B不符合题意；
C、当x＜-1时y的值随值的增大而减小，当-1＜x＜0时，y随x的增大而增大，因此C不符合题意；
D、a=2＞0，当x=-1时,y的最小值=2-4-1=-3，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】求出抛物线与y轴的交点坐标，可对A作出判断；求出抛物线的对称轴，可对B作出判断；根据二次函数的增减性，可对C作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对D作出判断；即可得出答案。

5.【答案】C
【解析】【解答】解：由得到：．
A、向左平移2个单位后的解析式为：，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．
B、向右平移5个单位后的解析式为：，当x=0时，y=8，即该抛物线不经过原点，故本选项不符合题意．
C、向上平移10个单位后的解析式为：，当x=0时，y=30，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意．
D、向下平移20个单位后的解析式为，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】把已知抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律得到答案．
6.【答案】B
【解析】【解答】解：A、根据正多边形外角和为360°，当正多边形的内角为90°，即外角为90°，360°÷90°=4，故可以是正多边形；
B、当正多边形的内角为100°，即外角为80°，
360°÷80°=4.5，故不是正多边形；
C、当正多边形的内角为120°，即外角为60°，
360°÷60°=6，故可以是正多边形6；
D、当正多边形的内角为176.4°，即外角为3.6°，
360°÷3.6°=100，故可以是正多边形．
故选：B．
【分析】根据正多边形外角和为360°，且各内角相等，再利用内外角互补，只要360°不能被内角整除，即不是正多边形．
7.【答案】D
【解析】【解答】
点与点关于轴对称；
由于的图象关于原点对称，因此选项错误；
由可知，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
对于二次函数只有时，在对称轴的右侧，随的增大而减小，
选项正确
故选．
【分析】由点的坐标特点，可知函数图象关于轴对称，于是排除选项；再根据的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即，故选项正确．
8.【答案】D
【解析】【解答】如图，连接BD，
由∵∠AOC=60°,
∴∠ADC=30°,
∴∠DEB>30°
∴∠AED<150°,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠EDB=90°-30°=60°,
∴∠AED>60°
∴60°<∠AED<150°,
故选：D
【分析】连接BD，根据圆周角定理得出∠ADC=30°, ∠ADB=90°，再根据三角形的外角性质可得到结论. 9.【答案】A
【解析】【解答】A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
由垂径定理易得AO⊥BE，即①正确；
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°
∴∠CAD=∠ACE =36°,
易证CH=CG，
∴∠CGH=∠CHG =72°,
∴∠CGD=108°
∴∠CGD=∠COD+∠CAD，即②正确；
易知BM=AM=AN=NE,但三角形AMN不是等边三角形，故AM≠MN，
∴BM=MN=NE错误，即③错误；
故选：A
【分析】根据垂径定理判断①正确；根据圆周角定理和等腰三角形性质可判断②正确；根据三角形AMN 不是等边三角形可得③错误.
10.【答案】D
【解析】【解答】解：把x=1代入得=3，由得：
=3，解得m=4，
∴.对称轴是直线x=3.
两个函数图象如下图：
先取x=5,则,有，
由图可知，抛物线与双曲线有三个交点，当时，随着x的增大而增大，而在第一象限，随着x的增大而减小，
∴时，，故A错误，D正确.
取x=0.3，则，得，故B错误；
再取x=-1，则，得，故C错误；
综上，只有D选项正确.
故选：D
【分析】先把x=1代入，得到m=4，得出.然后根据函数的图象和性质依次取值进行比较可得出正确选项.
二、填空题
11.【答案】2
【解析】【解答】解：令y=0，得，
则
方程有两个不相等的实数根，
所以抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2
【分析】令y=0，得到一元二次方程，求其判别式，根据一元二次方程与二次函数的关系可得解.
12.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OD
由题意可得三角形DOC是等腰直角三角形，且∠DOC=90°,
∴
∴正方形ABCD的周长=
【分析】连接OD，由题意可得三角形DOC是等腰直角三角形，利用勾股定理可得正方形的边长CD，进一步求出周长即可.
13.【答案】
【解析】【解答】
画树状图如图所示：
共有种等可能的结果数，其中至少有一枚骰子的点数是的结果数为，
所以至少有一枚骰子的点数是的概率．
故答案为：．
【分析】简单事件概率问题。

先将概率公式列出来，再求解即可。

14.【答案】<
【解析】【解答】解：∵抛物线（）顶点在第二象限，且过点（1,0）
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-b，且与x轴交于负半轴，抛物线与y轴交于正半轴，故a＜0，b>0, c>0,
∴b+c>0,
∴< 0
故答案为：<
【分析】首先根据题意得出抛物线开口向下，对称轴为直线x=-b，与x轴交于负半轴，抛物线与y轴交于正半轴，确定a、b，c的符号，从而确定答案．
15.【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠ABD，
∵∠ABE=∠CDA，∠ABD=∠ACD，
∴∠ACD=∠CDA，
∴AC=AD=5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC=90°，
故答案为：2 .
【分析】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠BAE=∠CDA，∠ABD=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CDA，得出AC=AD=5，然后利用勾股定理计算AE的长．
16.【答案】5；
【解析】【解答】解：（1）若∠ABC=90°，则AC是直径，
在中，
∴; （2）若∠ABC=120°，如图，连接OA,OC，过O作OE⊥AC于点E, 过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.
则有∠DBC=60°，∠D=90°，∠AOC=120°,OE平分∠AOC，AE=CE，
∴∠BCD=30°，∠AOE=60°
∴,
∴AD=AB+BD=10
∴
∴
∴
【分析】当∠ABC=90°时，则AC是直径，直接由勾股定理易求半径；当∠ABC=120°时，连接OA,OC，过O 作OE⊥AC于点E, 过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.利用解直角三角形的方法先求出BD,CD,再求出AC，最后求出OA.
三、解答题
17.【答案】（1）G
（2）解：如图所示.
【解析】【解答】解：（1）如图，B B2和C C2的垂直平分线交于点G，故旋转中心是点G；
【分析】（1）分别作出B B2和C C2的垂直平分线，它们的交点G就是旋转中心；（2）根据题意分别得到各对应点，然后连接成△AB1C1．
18.【答案】（1）解：树状图如图所示：
（2）解：∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，
∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为，小利获胜的概率为，
∴小明、小利获胜的概率一样大.
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由图即可得出所有等可能的结果；
（2）利用因式分解法求出方程x2﹣5x+6＝0的解，得出m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，由树状图得：共有12个等可
能的结果，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，根据概率公式即可算出各自获胜的概率，再比大小即可得出结论.
19.【答案】解：如图，连接.
∵，
∴.
∴，即.
∴.
∴.
【解析】【分析】如图，连接，根据同圆中相等的弦所对的弧相等得出，进而根据等式的性质得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等角对等边得出结论。

20.【答案】（1）解：由题可知，饲养室的宽为m，
则
自变量的取值范围为
（2）解：
当时，三间饲养室占地面积最大，最大为225m2 .
【解析】【分析】（1）设饲养室长为x（m），则宽为m，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长≤40m可得x的范围；（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
21.【答案】（1）证明：∵OA是⊙C的直径
∴∠ADO=90°
∵O是⊙O的圆心∠ADO=90°
∴AD=DB
（2）解：∵∠ADO=90°
∴OD²+AD²=AO²
∵OE=AO=10，DE=4，
∴OD=OE-DE=6
∴AD=8
∵在Rt△ADE中DE²+AD²=AE²
∴AE=
【解析】【分析】（1）由OA是⊙C的直径知OD⊥AB，在⊙O中依据垂径定理可得；（2）在Rt△ADO中求得AD=8，再在Rt△ADE中利用勾股定理可得答案．
22.【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，可得抛物线与轴的两个交点为（0，0）和（2，0），
所以抛物线的解析式为与
当时，
所以点（3,3）在此抛物线上.
（2）解：抛物线的顶点为，则对称轴为直线，且抛物线与轴的两个交点间的距离为2，
可得抛物线与轴的两个交点为（，，0）和（，0）
所以抛物线的解析式为与
由得
所以；
（3）解：由（2）知即整理得
由对称轴为直线，且二次项系数
可知当时，b的随a的增大而增大
当a=10时，得
当a=20时，得
所以当时，
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后验证点（3,3）是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线，再得出与x轴的两交点坐标为（，0）和（，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式，根据函数的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.
23.【答案】（1）证明：∵CD为⊙M的直径
∴CM=DM= CD
∵∠ABC=90°
∴BM=CM=DM= CD
∴点B在⊙M上
（2）解：如图，连接DE，
∵CD为⊙M的直径，CD⊥BE
∴∠DEC=90°, ,
∴∠DEA=90°, BD=DE ，
∵AB=BC，∠ABC=90°,
∴∠A=∠ACB=45° ,
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=45°,
∴∠ADE=∠A=45°,
∴AE=DE ,
∴AE=DE=DB,
∴AD= ,
∴AB=AD+BD= ，
∴BC=AB=
∴BC：BD=
（3）证明：如图，连接EM,
∵∠EMB=2∠ECB，由（2）知∠ECB=45°，∴∠EMB=90°，
∴∠EMF=90°，
∴ EM²+MF²=EF²，
∵，
∴∠CMG=30°，
∴∠DME=60°，
∵DM=EM，
∴△DME是等边三角形.
∴DE=EM，∠CDE=60°，
由（2）知AE=DE，
∴AE=ME ，
∵∠AEC=90°，∠CDE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴∠DCE=∠CMG=30°
∴CF=MF，
∵ EM²+MF²=EF²
∴ AE²+CF²=EF².
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出BM=DM=CM，即可得证；（2）连接DE，先证得BD=DE ，再证明AE=DE=DB，由勾股定理得到AD= ，进一步得出BC=AB= ，从而得解；（3）连接EM,先证出△DME是等边三角形，得到AE=DE=EM，再证
∠EMF=90°,再证出CF=MF，然后由勾股定理可得到EM²+MF²=EF²，即AE²+CF²=EF².。