拟牛顿法算法步骤

拟牛顿法算法步骤
拟牛顿法（Quasi-Newton method）是一种求解无约束优化问题的数
值优化算法。

与牛顿法类似，拟牛顿法在每一步都尝试找到目标函数的一
阶或二阶导数的最小值。

然而，与牛顿法需要计算目标函数的二阶导数不同，拟牛顿法通过估计目标函数的Hessian矩阵来近似二阶导数。

以下是拟牛顿法算法的步骤：
1. 初始化：选择初始点x_0和近似的Hessian矩阵H_0（通常选择
单位矩阵I）。

设定迭代终止条件，包括最大迭代次数和目标函数值收敛
阈值。

2.迭代计算：对于每一次迭代k，计算当前点的梯度g_k=∇f(x_k)。

3.判断终止条件：检查终止条件，包括梯度范数的大小和目标函数值
的收敛性。

如果满足终止条件，则算法结束，返回当前点x_k作为近似的
最优解。

否则，继续下一步。

4. 方向计算：计算当前点的方向d_k。

拟牛顿法的一个核心思想是
通过近似Hessian矩阵来更新方向。

常用的方向选择是d_k = -H_k*g_k。

5.步长计算：选择合适的步长α_k。

步长的选择可以使用线或精确
线来求解，确定使得目标函数值减小的最佳步长。

6.更新：对于下一次迭代k+1，更新当前点x_k+1=x_k+α_k*d_k。

7. 修正：根据拟牛顿法的思想，通过计算当前点和上一次迭代点的
参数更新量来修正近似的Hessian矩阵H_k。

常用的修正方法是BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）或DFP（Davidon-Fletcher-Powell）。

8.返回第2步：回到第2步继续迭代计算，直到满足终止条件。

拟牛顿法的优点是避免了计算目标函数的二阶导数，节省了计算量，并且避免了计算不可行或无效的Hessian矩阵的情况。

另外，拟牛顿法还能够处理非线性和非凸优化问题。

需要注意的是，拟牛顿法也有一些局限性。

首先，由于需要存储和更新近似的Hessian矩阵，算法的内存消耗较大。

其次，近似Hessian矩阵的计算可能受到噪声或不可靠的梯度信息的影响，导致方向的不准确性。

因此，在实际应用中，选择合适的初始点和修正方法非常重要，以保证算法的收敛性和精度。