水力学第4章

n
1/6 1/6.6
1/7
1/8.8
α β
1.077 1.065 1.058 1.039 1.027 1.023 1.020 1.013
V/Vmax 0.791 0.807
0.817 0.850
>2 ╳ 106 1/10
1.031 1.011 0.866
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4.8 量纲分析和相似理论
x
x0

f (x0 ) f '(x0 )
f (x) x 2 log x 9.8021 x 0.8686 ln x 9.8021
f '(x) 1 0.8686 x
选初值x0=6。 迭代值为：6，7.961777706，7.996832646，
7.996299004，7.996299005
指数行列式不等于零。 4.用这3个基本物理量与其余的任一个物理量组成一个无
量纲数
(Q1)a (Q2 )b (Q3)c q
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例4-11 管道水流。管段的压强差Δp与管段长
度l, 平均流速V，水的密度ρ ，动力粘度μ，
管道直径D，绝对粗糙度Δ有关。试用π定理 决定本流动现象的无量纲数，并列出Δp与 其 他物理量关系的一般表达式。
第四章 流态和水头损失
4.1 水头损失的分类 流体从截面1运动到截面2,机械能减少:
z1

p1 g
1
V12 2g

z2

p2 g
2
V22 2g
z1

p1
g

1
V12 2g

z2

p2
g
2
V22 2g
hw
h w为损失水头，可分为两类:沿程水头损失h f和局 部水头损失h j
2. 紊流附加切应力
紊流的切应力，除了有粘性切应力之外，还有紊
流附加切应力。



du


_____
u' v'
dy
____
2019/10/24 u'v' 称为紊流附加切应力
3.紊流应力的半经验理论
德国学者普朗特认为，紊流附加切应力与速度 梯度有关，还与所谓混合长l有关。
4.物体的阻力
在流场中的物体受到流体的阻力可以分为两种： 粘性阻力和压差阻力。
物体所受到的阻力FD通常用实验方法确定。 为方便计算，定义物体的阻力系数：
CD

1 2
FD
u02 A
式中，FD是阻力， A是迎风面积
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水头损失产生的原因
沿程水头损失产生的原因：壁面的粘性 摩擦力。
p r2 ( p dp) r2 2 rdx 0
dp r
dx 2
2.伯努利方程:
z1
p1
g
hf
V12
2pg1
z2
p2
g
p2
g

V22 2g

hf
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3.壁面切应力与水头损失的关系：
0

dp dx
r0 2

确定π3
3 aV b Dc dim 3 (ML3 )a (LT 1)b LcML1T 1
M a L3abcT b ML1T 1
a 1 0
3a b c 1 0
b 1 0
a 1,b 1, c 1
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Re Vd Vd
雷诺数表征惯性力与粘性力之比
工程上定义 Re=2300为临界雷诺数 Re<2300为层流,Re>2300为紊流.
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4.3 紊流的基本特征
1.流动物理量的时均值、脉动值
紊流速度 u u u',
紊流压强 p p p'
时均速度u 1 T udt T0
单位：同种物理量中选取一个特定量作为参考量。称 为单位。
SI单位：质量kg（千克）、长度m（米）、时间s （秒）。
单位一贯性：如果在物理量的计算中使用SI 单位，则 所得结果也必然具有SI单位。
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2. π定理
一个物理现象与m个物理量有关q1, q2,…, qm ，即 f (q1, q2,…, qm)=0



____
u'v'

l
2
(
d
u
)2
dy
式中，l 称为混合长，它具有长度的量纲。
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4. 紊流的速度分布
实验表明，壁面附近，粘性且应力近似为常值 :


l 2 ( d u )2
dy
0
为方便，引入常数u* :
0
u*2
实验表明：l =ky
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hf
l
d
V2 2g
,
hj

V2 2g
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4.2 两种流动状态
实验证明:沿程损失hf与流态有关 雷诺实验:
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根据实验结果分析，hf与 V有如下幂次关系: hf ∝ Vm 层流：m=1 紊流：m=1.75~2
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雷诺数
雷诺数的定义:

u*
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4.4 边界层理论
1.边界层的概念
物体表面的薄层，速度梯度很大，粘性切应力对流 动影响很大，称为边界层。
边界层的外部,速度梯度很小,粘性切应力很小,可视 为无粘流动.
边界层对阻力有决定性的影响.
层流边界层的厚度
紊流边界层的厚度
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5x
1

l D
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确定π2
2 aV bDc dim 2 (ML3 )a (LT 1)b Lc L M a L3abcT b L
a0
3a b c 1 0
b0
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a 0,b 0, c 1
2

D
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试算法
x
6
7
8
7.95
F(x) -2.2458 -1.1119 0.00408 -0.05137
x 7.94
0.05137
(8 7.95) 7.9963
0.05137 0.00408
1/ x2 0.01564
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迭代法
x 1/
如果这m个物理量包含n个基本量纲，则存在m-n个 独立的无量纲数，π1，π2，…, πm-n，
并且有 F(π1，π2，…, πm-n)=0
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π定理的应用：无量纲数的确定
1.列出流动现象所涉及的m个物理量。 2.从m个物理量中找出3个基本物理量Q 1, Q 2 , Q 3 。 3.基本物理量的特点：它们包含有L,M,T，而且它们的
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紊流速度分布的指数式
工程应用中，圆管紊流的速度分布
可用幂次式近似表示：
u

(
y
)n

( r0

r
n
)
um r0
r0
平均速度
V

1
r02
0
u 2rdr
0

2 (n 1)(n 2) umax
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动能修正系数


1
r02
0 u (
0V
)3 2rdr
出现边界层分离的必要条件：逆压的存在。 边界层分离的流动特征：边界层离开物体表面，
而在物体表面附近出现大小尺度的漩涡，形成 回流，耗散了流体的机械能。
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卡门涡街
圆体表面的边界层分离时，圆柱体尾部上下两 侧，有漩涡产生并交替脱落，泻入尾流，形成 所谓的卡门涡街。
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Q
udA
A
r0 u2rdr
0
r0 0
umax
(1
r2 r02
)2rdr

umax
2
( r02 2

r04 4r02
)

1 2
umax r02
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截面平均流速：
V
Q
r02

umax 2
r2
r2
u umax (1 r02 ) 2V (1 r02 )
水力粗糙： 1 2log( g ) 1.74

2
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例4-8
管流沿程损失系数的经验公式为
1 2log(Re ) 0.8
已知：Re=2╳ 105，求：λ
解：
1 2 log(Re ) 0.8 2 log 9.8021 令：x 1/ ,则：f (x) x 2 log x 9.8021
壁面切应力
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沿程水头损失系数
0


8
V
2

8V
d
64 64 Vd Re
hf

l d
V2 2g

64 Vd
l d
V2 2g

32lV gd 2
结论：1.层流管流的速度为抛物线分布。 2.层流的沿程损失系数与雷诺数成反比。 3.层流的沿程水头损失与流速的一次方成正比。
u0 x


0.37
x

u0
x
1/
5
2.边界层分类:层流边界层、紊流边界层 实际的边界层为混合边界层，即前部为层流边
界层，后部为紊流边界层。
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3.边界层分离:
2.绕流物体迎流面压强高。背流面压强低。在 逆压作用下边界层脱离物体表面。发生边界层 分离现象。
局部水头损失产生的原因：边界形状变 化，引发边界层分离，形成大量漩涡， 耗散了流体的机械能。
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总水头线
由于有机械能损失，总水头线沿流程下 降。有沿程损失的地方，总水头线逐渐 下降，有局部损失的地方，总水头线突
然下降。
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4.5 管道均匀流的沿程水头损失
1.力平衡式:
3

VD
确定π4
3 aV b Dcp dim 3 (ML3 )a (LT 1)b LcML1T 2
dr dx 2
u 1 dp (r 2 c)
4 dx
r r0，u 0;c r0
u

1
4
dp dx
(r 2
r02 )
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速度分布的其他形式：
r

0, u

umax ;umax


1
4
dp dx
r02
u

umax
(1
r2 r02
)
管道断面的流量：
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4.7 圆管紊流
1.速度分布
u 1 ln y c, k 0.4 u* k
2.水力光滑、水力粗糙的概念
层流底层:厚度
0

32.8d
Re
水力光滑:δ0> Δ 水力粗糙:δ0<Δ
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沿程损失系数的半经验公式
水力光滑： 1 2log(Re ) 0.8
dy
u* ky u 1 ln y c u* k
紊流速度为对数分布
5.粘性底层
实验表明：尽管流态为紊流 ，但贴近壁面处有一薄层， 流态仍为层流。此薄层称为 紊流的粘性底层。粘性底层 的厚度公式为
0

32.8d
Re
粘性底层的速度呈线性分布：
0

du dy
u 0 y, 或 u u* y
p2
l
p1
d 4
hf

p1 p2
g

4l 0 gd
4.沿程水头损失系数与壁面切应力的关系：
hf

l d
V2 2g

4l 0 gd
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0


8
V
2
4.6 圆管的层流
本节推求圆管层刘的速度分布及其他物理量。
du dp r
dr dx 2 du dp r
2[(n 1)(n 2) ]3
1
2
(3n 1)(3n 2)
动量修正系数
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1 0 ( u )2rdr
r02 0 V

(n
1)( n 2

2) 2
(2n
2 1)( 2n

2)
紊流的动能修正系数和动量修正系数
Re 4╳ 103 2.3╳ 104 1.1 ╳ 105 1.1 ╳ 106
3 1 0 1 0 1 1 0 10 0
确定无量纲数π1，
1 aV bDcl dim 1 (ML3 )a (LT 1)b Lc L M a L3abcT b L
a0 3a b c 1 0 b0
a 0,b 0, c 1
本节介绍模型实验的理论问题。 1.量纲：物理量的关于性质和数量的属性。 基本量纲：长度L,时间T,质量M。 导出量纲：物理量的量纲用基本量纲的幂的乘
积表示。 例：加速度a量纲记作dima: dima=LT-2。
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无量纲数:例如雷诺数Re, dimRe=L0M0T0。
解：7个物理量，其量纲为：
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dim p L1MT 2 ,
dim L1MT 1,
dim l L, dim L
dim L3M
dim V LT 1 dim D L
选取ρ ，V，D为基本物理量，其量纲指数行 列式不为零：
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