九年级数学下册 第二十七章 相似本章总结提升 新人教版 (2)

90°.∵∠DEF＝∠CAD，∴∠AEF＝∠C.∵∠EAF＝∠CAB，∴△AFE∽△ABC，
AE AF ∴AC＝AB，即
AE·AB＝AF·AC.
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例 3 如图 27－T－9，△ABC 是⊙O 的内接三角形，D 是A︵C 的中点，BD 交 AC 于点 E，若 DE·DB＝16，求 DC 的长．
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图27－T－4
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证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°， 即 AD 是△ABC 的底边 BC 上的高． 又∵AB＝AC，∴△ABC 是等腰三角形，∴D 是 BC 边的中点． (2)∵∠CBE 与∠CAD 都是D︵E所对的圆周角，∴∠CBE＝∠CAD. 又∵∠BCE＝∠ACD，∴△BEC∽△ADC. (3)由△ADC∽△BEC，知CCDE＝ABCC，即 CD·BC＝AC·CE. ∵D 是 BC 边的中点，∴CD＝12BC. 又∵AB＝AC，∴12BC·BC＝精A选Bp·pCt E，即 BC2＝2AB·CE.
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问题4 圆中的相似
在几何图形的计算与证明的问题中，相似三角形有哪些应用？如
何在圆中寻找相似三角形？
例4 如图27－T－4所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直 径的⊙O交AC于点E，交BC于点D.
求证：(1)D是BC边的中点；
(2)△BEC∽△ADC；
(3)BC2＝2AB·CE.
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图27－T－3
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解：(1)证明：∵四边形 EFGH 是正方形，∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC. (2)设 AD 与 EH 交于点 M.∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°， ∴四边形 EFDM 是矩形，∴EF＝DM. 设正方形 EFGH 的边长为 x cm，∵△AEH∽△ABC，∴EBHC＝AAMD ， 即4x0＝303－0 x，∴x＝1270，即正方形 EFGH 的边长为1270 cm， ∴正方形 EFGH 的面积为(1270)2＝1444900(cm2)．
得CE＝2 m，EC1＝6 m，C1E1＝3 m. (1)△FDM∽________，△F1D1N∽________； (2)求电线杆AB的高度．
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图27－T－5
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[解析] 第(1)题根据图中平行线条件易得，第(2)题根据第(1)题的相似
三角形列出比例式，从而可列方程组求解．
解：(1)△FBG △F1BG
图 27－T－9
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[解析] 本题是已知某些数据求一条线段的长，解题时需用到相似三角 形的模型．
解：∵D 是A︵C的中点， ∴∠ACD＝∠DBC. ∵∠CDE＝∠BDC， ∴△CDE∽△BDC， ∴DDCE＝DDCB，即 DC2＝DE·DB. ∵DE·DB＝16， ∴DC2＝16，故 DC＝4.
【归纳总结】把平行线分线段成比例这个基本事实应用到三角 形中，构成的基本图形有两种：“A”字型和“X”字型，这是两 个应用极其广泛的基本图形．通过作平行线，构造这两个基本 图形是求线段比值的常用方法．
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问题2 相似三角形的判定
三角形的相似与三角形的全等有什么关系？如何判断两个 三角形相似？ 例2 如图27－T－2，在△ABC中，CE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，求证：△AEF∽△ACB.
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问题3 相似三角形的性质
相似三角形有哪些性质？位似图形呢？ 例3 如图27－T－3，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的 高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB， AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm. (1)求证：△AEH∽△ABC； (2)求正方形EFGH的边长与面积．
第二十七章 相似
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第二十七章 相似
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知识框架
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问题1 平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例的基本事实应用于三角形有哪些结论与基 本图形？
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例1 如图27－T－1所示，直线DE分别交AC，AB于点D，F，交 CB的延长线于点E，且BE∶BC＝2∶3，AD＝CD，求AF∶BF 的值．
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【归纳总结】(1)证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式， 要证明比例式，就要证明三角形相似．(2)证明圆中的相似要充分 运用圆的切线性质、圆周角定理及推论、垂径定理等知识．
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问题5 相似三角形的应用
在生活生产中，相似三角形有哪些实际应用？举例说明相似三 角形的一些应用．
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例 4 如图 27－T－10，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的 切线，切点为 B，D 是⊙O 上一点，且 AD∥OC.求证：AD·BC ＝OB·BD.
图 27－T－10
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[专家预测] 证明线段的乘积式(或比例式)是本章的一种基本题型，也 是中考的常见试题，解题的基本策略是将其转化为证明三角形相 似．因为圆中各角之间的关系密切，相似三角形容易构造，所以线段 乘积式的问题往往在圆中命题．因此，同学们在平时的学习中，既要 积累线段乘积式问题的解题策略、方法，又要注意知识之间的联系和 综合运用，以提高解题速度，培养思维能力．
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证明：因为 BC 是⊙O 的切线，切点为 B， 所以∠OBC＝90°. 因为 AB 是⊙O 的直径， 所以∠ADB＝90°. 因为 AD∥OC， 所以∠DAB＝∠BOC， 所以△ADB∽△OBC， 所以AODB＝BCDB，即 AD·BC＝OB·BD.
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图27－T－1
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解：如图，过点 D 作 DG∥AB 交 BC 于点 G.
∵AD＝CD，
∴DG＝12AB，BG＝GC.
∵BE∶BC＝2∶3，
∴BE∶BG＝2∶32＝4∶3，
∴EB∶EG＝BF∶DG＝4∶7，
∴BF∶AB＝4∶14＝2∶7，
∴AF∶BF＝5∶2.
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型 (2)计算从底部能直接测量的物体的高度；
(3)计算从底部不能直接测量的物体的高度；
(4)计算不能直接测量的河的宽度
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问题6 位似图形的画法与性质
如何利用位似变换将一个图形放大或缩小？你能说出平移、 轴对称、旋转和位似之间的异同，并且举出一些它们的实际 应用的例子吗？
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写出点M的对应点M′的坐标．
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图27－T－6
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[解析] (1)延长BO，CO分别到点B′，C′，使OB′，OC′的长度分别是OB， OC的2倍，顺次连接三点即可；从直角坐标系中，读出点B′，C′的坐标； (2)观察坐标之间的关系可得点M′的坐标为(－2x，－2y)．
解：(1)如图所示，△OB′C′即为所求． B′(－6，2)，C′(－4，－2)． (2)点M的对应点M′的坐标为(－2x，－2y)．
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专题阅读
引申课本 链接中考 ——相似三角形的判定
山东 郝 平
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例1 如图27－T－7，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂 足为P.求证：PC2＝PA·PB.
图27－T－7
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[命题意图] 本题依托圆的有关性质，考查相似三角形的判定定理，体现 了知识之间的整体性，考查同学们对所学知识的重组与整合能力． [解题关键] 乘积式可以变形为比例式，比例式需要转化到相似三角形
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图27－T－2
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证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴∠AEC＝∠AFB＝90°. 又∵∠A＝∠A，∴△ABF∽△ACE， ∴AAEF＝AACB，∴AACE＝AABF. 又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB.
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【归纳总结】
相似三角形的基本图形 (1) 平行线型
图27－T－8
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[考题评价] 本题主要考查圆的相关知识、相似三角形的性质与判定等．
[思路点拨] 连接 EF，DE.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEF＋
∠DEF ＝ 90°.∵BC 是 ⊙O 的 切 线 ， ∴∠ADC ＝ 90° ， ∴∠CAD ＋ ∠C ＝
中加以证明，所以解决本题的关键是构造以PA，PC，PB为边的一组相
似三角形．
[解答过程] 具体证明过程略，提示：连接AC，BC，通过圆的知识可 得△APC∽△CPB，进而根据相似三角形的性质可使问题得以解决．
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例2 如图27－T－8，AD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点D， AB，AC分别与⊙O相交于点E，F.求证：AE·AB＝AF·AC.
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例5 如图27－T－5(示意图)，为测量学校围墙外直立的电线杆AB
的高度，小亮在操场上的点C处直立一根高3 m的竹竿CD，然后
退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小
亮又在点C1处直立一根高3 m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，恰 好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合． 小亮的眼睛离地面的高度EF＝1.5 m，量
∴电线杆 AB 的高度为 15 m.
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本பைடு நூலகம்总结提升
【归纳总结】
几何图形 常见 证明线段的数量关系，
的证明与 问题 求线段的长度，图形的面积
计算
等
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建模思 想 建立相似三角形模型
相似三角 形在实际 生活中的
应用
常见 (1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求 题目类 解；
DE∥BC，则 △ADE∽△ABC (2) 相交线型 ∠1＝∠2，则 △ADE∽△ABC
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相似三角形的基本图形 (1) 旋转型
∠1＝∠2，∠B＝∠D，则 △ADE∽△ABC (4)一线三等角型 ∠ABC＝∠ACE＝∠CDE， 则△ABC∽△CDE，称为“一线 三等角型”的相似三角形
(2)设电线杆 AB 的高度为 x m，AC＝y m.
∵DM∥BG，∴△FDM∽△FBG，∴FFMG＝DBMG ，即y＋2 2＝3x－－11..55.①
同理FF11GN＝DB1GN，即y＋2＋3 6＋3＝3x－－11..55.②
由①②解得xy＝＝1156，. 经检验，xy＝＝1156，是上述方程的解，
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例6 如图27－T－6所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标
分别为(3，－1)，(2，1)．
(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即
新图形与原图形的相似比为2)，画出该图形，并分别写出B，C
两点的对应点B′，C′的坐标；
(2)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，