苏教版高中数学选修1-1模块综合测评2.docx

模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)
1.双曲线x 2－4y 2＝－1的渐进线方程为________.
【解析】 由x 2－4y 2＝0，可得双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程是x ±2y ＝0.
【答案】 x ±2y ＝0
2.已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为________.
【导学号：24830096】
【解析】 设点P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p ＞0)准线上的射影为M ，则M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2 ，a ， 依题意，|PM |＝|PF |＝10，即8－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2＝10，∴p ＝4.即点F 到抛物线准线的距离等于4.
【答案】 4
3.下列说法：
①命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题；
②命题“存在x ∈R ，使x 2－x ＞0”的否定是：“任意x ∈R ，使x 2－x ≤0”；
③命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
④已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
⑤命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是“如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2”.
其中正确的是________(填序号).
【解析】①命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m＝0时不成立；
②命题“存在x∈R，使x2－x＞0”的否定是：“任意x∈R，使x2－x≤0”，正确；
③“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；
④若x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确.
⑤命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2，∴逆否命题是：如果x ＜2ab，那么x＜a2＋b2，所以正确.
【答案】②⑤
4.焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是________.
【解析】焦点在直线x＝1上，则焦点坐标为(1,0)，设抛物线的方程为y2＝2px，
∵p
2＝1，∴p＝2，∴y
2＝4x.
【答案】y2＝4x
5.设函数f(x)＝a ln x＋bx2，若函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线与y轴垂直，则实数a＋b＝________.
【解析】函数f(x)＝a ln x＋bx2，若函数f(x)的图象过(1,1)，可得：b＝1，
f′(x)＝a
x＋2x，函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线与y轴垂直，
可得a＋2＝0，所以a＝－2，则实数a＋b＝－2＋1＝－1. 【答案】－1
6.若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆x2
6＋
y2
2＝1的左焦点重合，则a的值为
________.
【解析】 椭圆x 26＋y 22＝1的左焦点是F (－2,0).∵抛物线y 2＝ax 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的左焦点重合，∴抛物线y 2＝ax 的焦点是F (－2,0)，∴a ＝－8.
【答案】 －8
7.若函数f (x )在R 上是一个可导函数，则f ′(x )＞0在R 上恒成立是f (x )在区间(－∞，＋∞)内递增的________条件.
【解析】 若f ′(x )＞0在R 上恒成立，∴f (x )在区间(－∞，＋∞)内递增，反之，
f ′(x )＞0在R 上恒成立，则当f ′(x )≥0在区间(－∞，＋∞)内递增，
∴f ′(x )＞0在R 上恒成立是f (x )在区间(－∞，＋∞)内递增的充分不必要条件.
【答案】 充分不必要
8.已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图1，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.
图1
【解析】 不等式f ′(x )≤0的解集即为函数y ＝f (x )的减区间，由题图知y
＝f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，6，故f ′(x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤113，6. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤113，6 9.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________.
【解析】 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大，∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5.
∴最小值为－37.
【答案】 －37
10.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞b ，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点 (2，
1)，则该双曲线的方程为________.
【导学号：24830097】
【解析】 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，∴设双曲线的方程为(x ＋y )(x －y )＝λ(λ≠0)，
即x 2－y 2＝λ，∵双曲线过点(2，1).∴2－1＝λ，
∴λ＝1，∴x 2－y 2＝1.
【答案】 x 2－y 2＝1
11.已知a ＜0，函数f (x )＝ax 3＋12a ln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a
的值为________.
【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，所以f ′(1)＝3a ＋12a ≥－12，即a ＋4a ≥－4，
又a ＜0，有a ＋4a ≤－4，所以a ＋4a ＝－4，故a ＝－2.
【答案】 －2
12.若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ，＋∞是增函数，则a 的取值范围是________.
【解析】 f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，因为函数f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上是增函数，所以f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ，则g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞时，g ′(x )＜0，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故g (x )＜g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝4－1＝3，所以a ≥3.
【答案】 [3，＋∞)
13.过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P .设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于________.
【解析】 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x
2
＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21，而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21
，所以OP 的斜率k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22
＝－12k 1
，所以k 1k 2＝－12. 【答案】 －12
14.设双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________.
【解析】 ∵P 在双曲线的右支上，∴|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝a ≥c －a
∴e ＝c a ≤2，又∵b ＞a ，∴c 2－a 2＞a 2，∴e ＝c a ＞2，∴e ∈(2，2]
【答案】 (2，2]
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)设命题p ：∃x ∈[－1,1]，x ＋m ＞0，命题q ：方程x 2
m －4－y 2
m ＋2
＝1表示双曲线. (1)写出命题p 的否定；
(2)若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围.
【导学号：24830098】
【解】 (1)命题p 的否定：∀x ∈[－1,1]，x ＋m ≤0；
(2)由题意可知，p 为真时，m ＞－x ≥－1，得m ＞－1，
q 为真时，(m －4)(m ＋2)＞0，解得m ＞－4或m ＜－2，
因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p ，q 一真一假，
当p 为真且q 为假时，⎩⎨⎧
m ＞－1－2≤m ≤4，解得－1＜m ≤4；
当p 为假且q 为真时，⎩⎨⎧
m ≤－1m ＜－2或m ＞4
解得m ＜－2； 综上，实数m 的取值范围是m ＜－2或－1＜m ≤4.
16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－1.
(1)求函数f (x )在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－16处的切线方程； (2)若直线y ＝m 与f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的范围.
【解析】 (1)由已知得：f ′(x )＝x 2＋x ，∴f ′(1)＝2，
则切线方程为：y ＋16＝2(x －1)，即12x －6y －13＝0.
(2)令f ′(x )＝x 2＋x ＝0解得：x ＝－1，x ＝0，
当 x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，当 x ＞0时，f ′(x )＞0.
∴f (x )的极大值是f (－1)＝－56，f (x )的极小值是f (0)＝－1，
所以，要使直线y ＝m 与f (x )的图象有三个不同的交点则－1＜m ＜－56.
17.(本小题满分14分)某电视生产厂家有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动.若厂家投放A ，B 型号电视机的价值分别为p ，q 万元，农民购买电视
机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元.已知厂家把总价值为10万元的A ，B 两种
型号电视机投放市场，且A ，B 两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值.(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)
【解】 设B 型号电视机的价值为x 万元(1≤x ≤9)农民得到的补贴为y 万
元，则A 型号电视机的价值为(10－x )万元，由题意得，y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln
x －110x ＋1，y ′＝25x －110，由y ′＝0⇒x ＝4.当x ∈[1,4)时，y ′＞0；当x ∈(4,9]时，y ′＜0，
所以当x ＝4时，y 取最大值y max ＝25ln 4－0.4＋1≈1.2.
即厂家分别投放A ，B 两型号电视机6万元和4万元时，农民得到补贴最多，
最多补贴为1.2万元.
18.(本小题满分16分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，求三条曲线的标准方程.
【解】 因为双曲线的焦点在x 轴上，故其方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0).
又因为它的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以b a ＝3，所以e ＝1＋3＝2，
因为c ＝4，所以a ＝2，b ＝3a ＝23，所以双曲线方程为x 24－y 212＝1.
因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率
互为倒数，因此，椭圆的离心率为12，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2
b 21
＝1(a 1＞b 1＞0)，则c ＝4，a 1＝8，b 21＝82－42＝48.
所以椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，易知抛物线的方程为y 2＝16x .
19.(本小题满分16分)已知圆G ：x 2＋y 2
－x －3y ＝0，经过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点(m,0)(m ＞a )倾斜角为3π4的直线l 交
椭圆于C ，D 两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围.
【解】 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过点F ，B ，
∴F (1,0)，B (0，3)，∴c ＝1，b ＝3，∴a 2＝4.
故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝－(x －m )(m ＞2).
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23
＝1，y ＝－(x －m )，消去y 得7x 2－8mx ＋(4m 2－12)＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，
y 2)，则x 1＋x 2＝8m 7， x 1x 2＝4m 2－127
，∴y 1y 2＝[－(x 1－m )]·[－(x 2－m )]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2.
∵FC →＝(x 1－1，y 1)，FD →＝(x 2－1，y 2)，
∴FC →·FD →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝7m 2－8m －177
， ∵点F 在圆G 的内部，∴FC →·FD →＜0，即7m 2－8m －177＜0，解得4－3157
＜m ＜4＋3157
，由Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0，解得－7＜m ＜7. 又m ＞2，∴2＜m ＜4＋3157
.
20.(本小题满分16分)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0.
(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；
(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值.
【解】 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.
令f ′(x )＝0，得x 1＝
－1－4＋3a 3， x 2＝－1＋4＋3a 3
，且x 1＜x 2， 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2).
当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；
当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.
故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和⎝ ⎛⎭
⎪⎫ －1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减， 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增. (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值.
②当0＜a＜4时，x2＜1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，
因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a
3处取得最大值.又f(0)＝1，f(1)＝a，
所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；
当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值.。