广东省揭阳市2018届高三上学期学业水平(期末)考试数学(理)试题

否 输出lg S 是
k =k +1 开始
结束 输入k =1,S =1 S =S ×k
图2
绝密★启用前
揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试（期末）
数学(理科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知}4,3,2,1{=A ，}2|{2x
x x B ≥=，则=B A I （A ）}2{ （B ）}3,2{ （C ）}4,2{ （D ）}4,3,2{
（2）已知复数(12)()z i a i =++（a 为实数，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则||z =
（A ）5
（B ）52
（C ）32
（D ）50
（3）已知命题2
:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q 若2
2
lg lg a b <，则a b <，下列命题为假命题的是
（A ）p q ∨ （B ）p q ∨⌝ （C ） p q ⌝∨ （D ）p q ⌝∨⌝
（4）已知sin 24a π=r ，cos 24b π=r ，且a r 、b r 的夹角为12
π
，则=a b ⋅r r
（A ）
116 （B ）18 （C ）38 （D ）14
（5）设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≤-1040
x y x y x ，则y x z --=的最小值为
（A ）6- （B ）4- （C ）2-
（D ）0
（6）函数()f x 的部分图象如图1示，则()f x 的解析式可以是
（A ）222()()f x x x π=- （B ）()cos f x x x π=+
（C ）()sin f x x x = （D ）2()cos 1f x x x =+- 图1
（7）图2程序框图是为了求出10099321⨯⨯⨯⨯⨯Λ的常用对数值，那么
在空白判断框中，应该填入
（A ）99≤k （B ）100≤k （C ）99≥k （D ）100≥k （8）某几何体三视图如右图3示，则此几何体的体积为
（A ）π48640+
（B ）π176（C ）π16640+ （D ）704
（9）已知10<<<b a ，则
（A ）
1ln ln <b a （B ）b
b
a a ln ln > 121
o y
x
π
-π
正视图
3
• 侧视图
俯视图
8
8 图3 10
（C ）b b a a ln ln < （D ）b
a b a >
（10）已知抛物线x y 42
=，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点， 且|AB |=10，以线段AB 为直径的圆与y 轴相交于M 、N 两点，则|MN |= （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC
的面积为4153，2=a ，3=b ，则=A
a
sin
（A ） 36
4 （B ）151516
（C ）3154 （D ）3
64或1515
16
（12）已知函数()()f x x R ∈满足()(4)f x f x =-，若函数2
|41|y x x =-+与()y f x =图象的交点为
112233(,),(,),(,),,(,),n n x y x y x y x y L 则
1
n
i
i x
==∑
（A ）0 (B)n (C) 2n (D)4n
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）7)1(+ax 的展开式中3
x 的系数为280-，则实数a 的值为________.
（14）记函数2()2f x x x =+-的定义域为A ，在区间[-3,6]上随机取一个数x ，则x ∈A 的概率
是 .
（15）设函数()cos()3
f x x π
=-
，则以下结论:
①()f x 的一个周期为2π- ②()f x 的图象关于直线43
x π
=
对称 ③()f x π+为偶函数 ④()f x 在(
,)2
π
π单调递减
其中正确的是 .（请将你认为正确的结论的代号都填上）
（16）已知双曲线122
2
=-b
y x 的离心率为25，左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上运动、点Q
在圆1)1(2
2=-+y x 上运动时， ||||1PF PQ +的最小值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
D
C
B
A
P
E
D C B
A 已知等差数列}{n a 满足258,a a +=633a a -=. （Ⅰ）求数列}{n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若21
32n n n
b S -=+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
（18）（本小题满分12分）
如图4（1）所示，平面多边形ABCDE 中， AE=ED ，AB=BD ，且5AB =
，2AD =，
2AE =，1CD =，AD CD ⊥，现沿直线AD 4（2）
将ADE ∆折起，得到四棱锥P ABCD -，如图4（2）示． 图4（1）
（Ⅰ）求证：PB AD ⊥； （Ⅱ）图4（2）中，若5PB =
，求PD 与平面PAB 所成角的正弦值．
（19）（本小题满分12分）
从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维 长度（单位：mm ）， 得到如图5的茎叶图，整数位为茎， 图5
小数位为叶，如27.1mm 的茎为27，叶为1．
（Ⅰ）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的 大小及方差的大小；（只需写出估计的结论，不需说明理由） （Ⅱ）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标 准如下表：
等 级 七 六 五 四 三 二 一 长度(mm) 小于26.0 [26.0,27.0) [27.0,28.0) [28.0,29.0) [29.0,30.0) [30.0,31.0) 不小于
31.0
试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率；
（Ⅲ）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取4根，记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数，求ξ的分布列和数学期望.
（20）（本小题满分12分）
在圆2
2
4x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为A ，点Q 在线段AP 上，且2AP AQ =，当点P 在圆上运动时.
（Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与上述轨迹C 相交于M 、N 两点，且MN 的中点在直线1=x 上，求实数k 的取值范围． （21）（本小题满分12分）
已知函数1ln )1()(--+=ex x ax x f （a 为实数）. （Ⅰ）若1--=ex y 是曲线)(x f 的条切线，求a 的值； （Ⅱ）当e a ≤<0时，试判断函数)(x f 的零点个数．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin 2cos 2y x （α为参数，],0[πα∈）；
现以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为
2
1sin 2cos 2ρθθ
=
-+，
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设1C 和2C 的交点为M 、N ，求MON ∠的值．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数||||)(a x a x x f --+=，
（Ⅰ）设3)2(>f ，求a 的取值范围；
（Ⅱ）当1||<a 时，试比较)1(a
f 与|)(|x f 的大小．
揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学
(理科)参考答案及评分说
O
D
C
A
P 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
一、选择题
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
A C
B A
C A C B C D
C
解析（12）由()(4)f x f x =-知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且函数2
|41|y x x =-+的图象也关于直线2x =对称，则两个函数图象的交点两两关于直线2x =对称，故
1
n
i
i x
==∑2n .
二、填空题
题序 13 14 15
16 答案
2-
13
①②④
2
5 解析（16）依题意可知1=a ，2
1
=
b ，设)1,0(B ，由12||||2PF PF -=得 12||||=||||+2PQ PF PQ PF ++2||2F Q ≥+，问题转化为求点2F 到B e 上点的最小值，即
2min 231||||1122F Q F B =-=-=,故1min 15
(||||)222
PQ PF +=+=．
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）由633a a -=得数列}{n a 的公差63
13
a a d -==，---------------------------2分
由258,a a +=得1258a d +=，解得13
2
a = ------------------------------------------------4分
∴1(1)(2)
22n n n n n S na d -+=+=
；----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211(2)2
n S n n n n ==-++； -------------------------------------------------7分 ∴n n b b b b T ++++=Λ321
1111113(1)()()(122)32422n n n -=-+-++-+++++L L -------------------8分
11111111321(1)()233412221n n n n n -=++++-++++++⨯++-L L -------10分
3113(21)2122
n n n =--+⨯-++ 111
3212
n n n -=⋅--++.-----------------------------------------12分
（18）证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，---------1分
z
y
x O
D
C
B A
P
∵BA BD =，EA ED =，即PA PD =，
∴OB AD ⊥且OP AD ⊥，-----------------------------------3分 又OB OP O =I ，∴AD ⊥平面BOP ，------------------5分 而PB ⊂平面BOP ，
∴PB AD ⊥；-----------------------------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，
2
2
2
5OP OB PB +==，∴PO OB ⊥,-------------------------------------7分
∴OP 、OB 、OD 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示， 则(010),(200)A B -，，，，，(010),(001)D P ，，，，,
(0,11),(011)DP AP =-=u u u r u u u r ，，，，(2,0,1)BP =-u u u r , 设(,,)m a b c =u r 为平面PAB 的一个法向量，则
由0020
0AP m b c a c BP m ⎧⋅=+=⎧⎪
⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩u u u r u r u u u r u r
令1,a =则得2,2c b ==-，∴(1,2,2)m =-u r
，---------------------------10分 设PD 与平面PAB 所成角为θ，
则|,cos |sin ><=m DP ρθ|
|||||m DP m DP ρ
ρ⋅⋅=32
2324=⨯=，-------------------11分 故22sin 3θ=
，即PD 与平面PAB 所成角的正弦值为22
3
.--------------------12分 【解法2：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，
2
2
2
5OP OB PB +==，∴PO OB ⊥,-------------------7分
又OP ⊥OD ，OB OD O =I ,
∴OP ⊥平面ABD ，----------------------------------------------------------8分
设点D 到平面PAB 的距离为h ，由D PAB P ABD V V --=得PAB ABD S h S PO ∆∆⋅=⋅,
∵1
2,2
ABD S AD OB ∆=
⋅=1135222APB S AP ∆=⋅-=,
∴214332
h ⨯==，-----------------------------------------------------10分
设PD 与平面PAB 所成角为θ，则422
sin 3
32h PD θ===
⋅, 即PD 与平面PAB 所成角的正弦值为
22
3
.----------------------------------------------------12分】
（19）解：（Ⅰ）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大；
乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小． -----------------------------------------2分
（Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9]（即二级）比率分别为：
51255=，--------------3分； 30.1225
=，---------------------------------------------------4分 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15（或0.2）和3
25
（或0.12）.-----5
分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从甲种棉花中任取1根，其纤维长度为二级的概率为
1
5
， 不是二级的概率为14155
-
=， 依题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4. 又4
4256(0)()5
625P ξ===
（或0.4096），1
3414256(1)()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.4096）， 22241496(2)()()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.1536），3
341416(3)=
55625P C ξ==⨯⨯（）（或0.0256）， 411
(4)=
5625
P ξ==（）（或0.0016）---------------------------------------10分 故ξ的分布列为：
14
455
E ξ=⨯=（或0.8）.-------------------------------------------------12分
（20）解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)Q x y ，------------------------------------------1分
由2AP AQ =得
则00,2x x y y ==，--------------------------------------------------------------------------2分
∵点P 在圆22
4x y +=上，即22004x y +=，
∴2
2
(2)4x y +=，即12
42
2=+y x ， ∴点Q 的轨迹C 方程为12
42
2=+y x （2±≠x ）.--------------------------------------5分 （Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行，
ξ
0 1 2 3 4
()P ξ
256
625
（或0.4096）
256
625
（或0.4096）
96
625
（或0.1536）
16
625
（或0.0256）
1
625
（或0.0016）
则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分
把m kx y +=代入12
42
2=+y x ，得0424)12(222=-+++m kmx x k ，-----7分 则)42)(12(4162
2
2
2
-+-=∆m k m k )48(82
2
m k -+=，
由0>∆，得2
2
)12(4m k >+，-------------------------------------------------------8分
由
11
222221=+-=+k km
x x ，得1222+=-k km ，---------------------------------9分 所以2
2
2
2
2
2
)12(4)12(16+=>+k m k k k ，解得1142
>k ，
所以k 的取值范围是),14
14()1414,(∞+-
-∞Y ．--------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(∞+，
e x ax x a x
f -++
=1ln )('e a x
x a -++=1
ln ，----------------------------------1分 设切线与曲线)(x f 的切点为),(00y x P ，则切线的斜率为)('0x f ，
即e e a x x a -=-++0
01
ln ，化简得1)1(ln 00-=+x ax （*），-----------------2分 又1ln )1(0000--+=ex x ax y 且100--=ex y ， 得0ln )1(00=+x ax ，----------------------------------------------------------------------3分 ∴0ln 0=x 或010=+ax ，
联立（*）式，解得1-=a ；---------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）设e a x
x a x f x g -++
==1
ln )(')(， 由01)('2
>-=x
ax x g 得a x 1
>， ∴)(x g 即)('x f 在),1(∞+a 上单调递增，在)1
,0(a 上单调递减，
得e a a a a
f x f -+-==2ln )1
(')('min ，其中e a ≤<0，-------------------------6分
设e x x x x h -+-=2ln )(（e x ≤<0）， 由01ln )('>+-=x x h ，得e x <<0，
∴)(x h 在],0(e 上单调递增，得0)()(=≤e h x h ， ∴0)('min ≤x f （仅当e a =时取“=”），-------------------------------------------------7分 ①当e a =时，0)('min =x f ，得0)('≥x f ，
∴)(x f 在),0(∞+上单调递增，又011)(2
=--+=e ae e f ，
∴函数)(x f 仅有一个零点，为e ；--------------------------------------------------------8分
②当e a <<0时，0)1
(')('min <=a f x f ，
e
1 a 1 X 1 x y )('x f )(x f
又0)('>+=-
a
e a
e e a e
f ，
∴存在11
x a >
，使1'()0f x =，----------------------9分 又0)1('=-++-=e a e a e f ，而a
e 11<，
∴当)1,0(e x ∈1(,)x +∞U 时，0)('>x f ，当11
(,)x x e
∈时，0)('<x f ，
∴函数)(x f 在)1,0(e 和1(,)x +∞上单调递增，在11
(,)x e
上单调递减，-----10分
又03)1(<--=e
a e f ，01)(>-=a e e f a
e
，---------------------------------------11分
∴函数)(x f 仅有一个零点，
综上所述，函数)(x f 仅有一个零点．---------------------------------------------------12分
选做题
（22）解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O 为圆心，2为半径的圆的上半圆，----2分
其极坐标方程为[]()20,ρθπ=
∈；-----------------------------------------4分
（Ⅱ）联立方程[]()20,ρθπ=
∈，2
1sin 2cos 2ρθθ
=
-+,得sin 2cos20θθ-=，-----5分
于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分 解得24
π
θ=
或524
πθ=
，即M N θθ和的值为858ππ和------------------------8分
所以2
||π
θθ=
-=∠M N MON ．--------------------------------------------------------10分
（23）解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f --------------------------------------------------------1分
①当2-<a 时，得322>-+--a a ，无解；--------------------------------------------2分
②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23>
a ，所以22
3
<<a ；---------3分 ③当2≥a 时，得322>+-+a a ，恒成立；-----------------------------------------------4分 综上知，a 的取值范围为),2
3
(∞+．------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）|
||
1|||1|1||1|)1(22a a a a a a a a a f --+=--+=，---------------------------------------------6分
当1||<a 时，012
>-a ，||2|
|2||1||1)1(2
22a a a a a a a a f ==--+=
，-------------------7分 |2||)(||||||||)(|a a x a x a x a x x f =--+≤--+=，---------------------------------------9分
所以|)(|)1(x f a
f ．------------------------------------------------------------------------------10分。