2021年高考数学尖子生培优 专题01 集合与逻辑、复数

2021年高考数学尖子生培优 专题01 集合与逻辑、复数
一、单选题（共8题；共16分）
1.设集合A={x|x 2-3x-4<0}；B={x||x-1|<3，x ∈N}，则A∩B ( )
A. {1，2，3}
B. {0，1，2，3}
C. {x|x-1<x<4}
D. {x|-2<x<4}
【答案】 B
【考点】交集及其运算
2.已知集合 A ， B 是实数集 R 的子集，定义 A −B ={x|x ∈A,x ∉B} ，若集合 A =
{y|y =1x ，13≤x ≤1} ， B ={y|y =x 2−1,−1≤x ≤2} ，则 B −A = （ ）
A. [−1,1]
B. [−1,1)
C. [0,1]
D. [0,1)
【答案】 B
【考点】集合的含义，元素与集合关系的判断
3.若复数 z 满足 z(i −1)=2i ，则下列说法正确的是（ ）
A. z 的虚部为 −i
B. z 为实数
C. |z|=√2
D. z +z̅=2i 【答案】 C
【考点】虚数单位i 及其性质，复数代数形式的乘除运算，复数求模
4.对于全集 U 的子集 A 定义函数 f A (x)={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)
为 A 的特征函数,设 A,B 为全集 U 的子集,下列结论中错误的是( )
A. 若 A ⊆B, 则 f A (x)≤f B (x)
B. f ∁R
A (x)=1−f A (x) C. f A∩
B (x)=f A (x)⋅f B (x) D. f A∪B (x)=f A (x)+f B (x)
【答案】 D
【考点】元素与集合关系的判断，子集与真子集
5.给出下列四个结论：
①对于命题 p:∀x ∈R ， x 2+x +1>0 ，则 ¬p:∃x 0∈R ， x 02+x 0+1≤0 ②“ x =1 ”是“ x 2−3x +2=0 ”的充分不必要条件；③命题“若 x 2−3x +2=0 ，则 x =1 ”的逆否命题为：“若 x ≠1 ，则 x 2−3x +2≠0 ”；④若命题 p ∧q 为假命题，则 p ， q 都是假命题；其中正确结论的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】 C
【考点】复合命题的真假，命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断
6.已知命题 p ：“若 ΔABC 为锐角三角形，则 sinA <cosB ”；命题 q ：“ ∃x 0∈R ，使得 asinx 0+cosx 0⩾3 成立”若命题 p 与命题 q 的真假相同，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)
B. (−∞,−√3)∪(√3,+∞)
C. (−2√2,2√2)
D. (−√3,√3)
【答案】 C
【考点】命题的真假判断与应用
7.欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(e iπ−z̅)⋅i=1+i2021，则|z|=（）
A. √2
B. √5
C. 2√2
D. 3
【答案】B
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
8.记不等式组{x+y⩾6,
2x−y≥0表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y⩾9；命题q:∀(x,y)∈D,2x+y⩽12.下面给出了四个命题（）
① p∨q② ¬p∨q③ p∧¬q④ ¬p∧¬q
这四个命题中，所有真命题的编号是（）
A. ①③
B. ①②
C. ②③
D. ③④
【答案】A
【考点】命题的真假判断与应用
二、多选题（共4题；共12分）
9.已知复数z=a+√3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2则下列结论正确的是（）．
A. z3=8
B. z的虚部为√3
C. z的共轭复数为1+√3i
D. z2=4
【答案】A,B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模
10.给出下列四个命题，其中正确的是（）
A. ∀x∈(−∞,0),2x>3x
B. ∀x∈Q,1
3x2+1
2
x+1∈Q
C. ∃α,β∈R,使得sin(α+β)=sinα+sinβ
D. ∃x,y∈Z，使得x−2y=10
【答案】A,B,C,D
【考点】全称量词命题，存在量词命题
11.已知集合M={m|m=i n,n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）
A. (1−i)(1+i)
B. 1−i
1+i C. 1+i
1−i
D. (1−i)2
【答案】B,C
【考点】复数代数形式的混合运算
12.已知下列命题：
p1:∃x>0，使lg(x2+1
4
)≤lgx；
p2:若sinx≠0，则sinx+1
sinx
≥2恒成立；
p3:x+y=0的充要条件是x
y
=−1.
下列命题中为假命题的是（）
A. p1∧p2
B. (¬p1)∧p2
C. p1∨(¬p2)
D. p2∨p3【答案】A,B,D
【考点】复合命题的真假，命题的真假判断与应用
三、填空题（共4题；共4分）
13.在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为________．【答案】18+π
【考点】集合的含义，元素与集合关系的判断
14.命题p:∃x0∈[−1,1]，x02+m−1≤0为真命题，则实数m的取值范围是________.
【答案】(-∞,1]
【考点】存在量词命题，命题的真假判断与应用
15.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=________.
【答案】2√3
【考点】复数相等的充要条件，复数求模
16.下列命题（i为虚数单位）中：①已知a,b∈R且a=b，则(a−b)+(a+b)i为纯虚数；②当z是非零实数时，|z+1
z
|≥2恒成立；③复数z=(1−i)3的实部和虚部都是－2；④如果|a+
2i|<|−2+i|，则实数a的取值范围是−1<a<1；⑤复数z=1−i，则1
z +z=3
2
+1
2
i；其中
正确的命题的序号是________.
【答案】②③④
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，复数求模
四、解答题（共6题；共55分）
17.已知集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}．
（1）求∁R(A∩B)，(∁R B)∪A；
（2）已知C={x∣a<x<a+1}，若C⊆B，求实数a的取值集合．
【答案】（1）解：∵A∩B={x|3≤x<6},∴C R(A∩B)={x|x<3，或x≥6}∵C R B={x≤2或x≥9}，∴(C R B)∪A={x∣x≤2或3≤x<6或x≥9}
（2）解：∵C⊆B如图示，∴{a≥2
a+1≤9，解之得2≤a≤8,∴a∈[2,8]，
【考点】集合关系中的参数取值问题，交、并、补集的混合运算
18.已知集合A={x|y=
√x−1
}，B={y|y=3x−1}.
（1）求A∩B；
（2）若M={x|mx+4<0}且(A∩B)⊆M，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，A={x|y=
√x−1
={x|x>1}，B={y|y=3x−1}={y|y>0}，
∴A ∩B ={x|x >1}=(1,+∞)
（2）解： ∵A ∩B ⊆M ，即 (1,+∞)⊆M ， M ={x|mx +4<0} ， ∴m <0 ， M ={x|mx +4<0}={x|x >−4m } ，
所以 {−4m ≤1m <0
，解得 m ≤−4 【考点】集合关系中的参数取值问题，交集及其运算
19.设命题p ：实数x 满足 x 2−(2a +1)x +2a ≤0 ，其中 a >0 ，命题q ：实数x 满足 |x −3|<2 . （1）若 a =1 ，且 p ∧q 为真，求实数x 的取值范围.
（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
【答案】 （1）解： a =1 时， (A 1,A 5) 为真，
p 为真： x 2−3x +2≤0⇒1≤x ≤2 ，
q 为真： |x −3|<2⇒1<x <5 ，
所以 (A 1,A 5) 为真： 1<x ≤2 .
（2）解： p:(x −2a)(x −1)≤0 ，
q:1<x <5 ，
因为q 是p 的充分不必要条件，
所以 2a ≥5 ，即 a ≥52 .
【考点】复合命题的真假，必要条件、充分条件与充要条件的判断
20.已知集合 A ={x|(x −2)(x −3)≤0} ， B ={x|a <x <3a ，且 a >0} ． （1）若 x ∈A 是 x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“ A ∩B ≠∅ ”为假命题，求实数a 的取值范围
【答案】 （1）解：因为集合 A ={x|(x −2)(x −3)≤0} ， ∴A ={x|2≤x ≤3} ， 因为 x ∈A 是 x ∈B 的充分不必要条件，
所以 A ⊊B ，又因为 a >0 ，所以 3a >a ，所以 B ≠∅ ，
所以 {a <23a >3
，解得 1<a <2 ， ∴ 实数a 的取值范围为 (1，2) ；
（2）解：命题“ A ∩B ≠∅ ”为假命题，即满足“ A ∩B =∅ ”为真，
∴a ≥3 或 3a ≤2 ，又 ∵a >0 ，得 0<a ≤23 或 a ≥3 ，
∴ 实数a 的取值范围为 (0,23]∪[3,+∞) .
【考点】命题的真假判断与应用，必要条件、充分条件与充要条件的判断 21.已知复数 z =(m 2−3m +2)+(m −1)i (i 为虚数单位).
（1）若z 是纯虚数，求实数 m 的值；
（2）在复平面内，若z 所对应的点在直线 y =2x +1 的上方，求实数m 的取值范围.
【答案】 （1）解： ∵z 是纯虚数， ∴{m 2−3m +2=0m −1≠0
， 解得 {m =1或m =2m ≠1
， ∴ m =2
（2）解：z 所对应的点是 (m 2−3m +2,m −1) ，
∵ z 所对应的点在直线 y =2x +1 的上方，即 m −1>2(m 2−3m +2)+1 ， 化简得 2m 2−7m +6<0 ，即 (m −2)(2m −3)<0 ，
∴ 32<m <2 .
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义
22.已知i 是虚数单位，复数 z =
(1−i)3(1+2i)23−4i 满足方程 |z|2+z̅−z =a +bi ( a,b ∈R )，求实数a ､b 的值.
【答案】 解： z =(1−i)3(1+2i)23−4i =−2i(1−i)(−3+4i)3−4i =2i(1−i)(3−4i)3−4i
=2i(1−i)=2+2i ，
所以 |z|2+z̅−z =(√22+22)2+2−2i −(2+2i)=8−4i ，
由 |z|2+z̅−z =a +bi ，所以 a =8 ， b =−4 .
【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算，复数求模。