Majorization_不等式其实是琴生

Majorization 不等式其实是琴生(Jensen)不等式的一个推广
Majorization 不等式其实是琴生(Jensen)不等式的一个推广。

正如琴生不等式对一个凸(凹)的函数给出一个极值(极大值或极小值)，而Majorization 不等式能够在某些情况下，如以下例子一样，同给出两者。

为了引述这个不等式，首先介绍对有序实数集的majorization概念。

定义：
设 (x
1, x
2
, ...., x
n
)、(y
1
, y
2
, ...., y
n
)为两个n元有序实数组，且满足以下
条件
o x1≧ x2≧....≧ x n，y1≧ y2≧....≧ y n，且
o x1≧y1，x1+ x2≧y1+y2 , x1+ x2+ x3≧y1+y2+y3 , ..... , x1+ ....+
x n-1≧y
1
+....+y
n-1
，及
o x1+ ....+ x n=y1+....+y n ；
则记(x
1, x
2
, ...., x
n
)(y
1
, y
2
, ...., y
n
)。

其实以上对于的比较方法是由Schur所定义，其用意是说明：当排列总和相同的数列由大到小，对于
已知一数列，
定理(Majorization 不等式)：
设函数 f 在闭区间 I=[a, b]为凸的，且
(x
1, x
2
, ...., x
n
)(y
1
, y
2
, ...., y
n
)其中实数x
i
, y
j
在I。

则有 f(x
1
)+
f(x
2)+ .... + f(x
n
)≧f(y
1
)+ f(y
2
)+ .... + f(y
n
)。

此外，对于严格凸的函数f，等号成立当且仅当
这两个n元组相等，即(x
1, x
2
, ...., x
n
) = (y
1
, y
2
, ...., y
n
)。

对于下凹的函数，只须要将结论中的不等式的方向换过来。

注：Majorization不等式的证明将放在最后。

以下要证明琴生不等式可由Majorization 不等式中得出。

这可由以下的观察：
(x
1, x
2
,..., x
n
)(x, x, ...., x)，其中x是x
1
, x
2
,..., x
n
的平均值。

应用Majorization 不等式而得到琴生不等式。

只须要证明：对于k=1, 2, ...., n-1，有x
1+ x
2
+ ...+x
k
≧kx。

(略去)
1.对于锐角三角形ABC，证明：1 ≦cos A+ cos B + cos C≦ 3/2。

试确定
等号成立的充要条件。

证明：不妨假设C≦B≦A，已知A+B+C=π，因而C≦π/3≦A≦π/2。

所
以有(π/2, π/2, 0)(A, B, C)(π/3, π/3, π/3)。

已知余弦函
数cos(x)在闭区间[0, π/2]上是严格凹的。

由Majorization不等式，得1=cos(π/2)+cos(π/2)+cos(0)≦ cos A+ cos B + co s
C≦cos(π/3)+cos(π/3)+cos(π/3)=3/2 。

2.证明：若a、b为非负实数，则。

(Math Horizons, 1995年十一月)
证：由于左右两式对a、b是对称的，不妨假设a≦b。

记x
1=b+3√b、x
2
=b+3√a、
x 3=a+3√b、x
4
=a+3√a。

得知x
1
、x
4
分别是四个数中最大、最小的。

又由于
x 1+x
4
=x
2
+x
3
，得(x
1
, x
4
)(x
2
, x
3
)或者(x
3
, x
2
)视乎x
2
、x
3
的大小。

由于函数f(x)=3√x在区间[0, +∞)上是严格凹的，由Majorization不等式，得。

3.试求a12+b12+c12的极大值，其中-1≦a、b、c≦1及a+b+c = -1/2。

证：分下列几步：
o已知函数f(x)=x12在区间[-1,1]上是凸。

(这可由二阶导数f''(x)≧0而得到；否则要运用f(x)=((x2)2)3，并且每个函数在适
当的定义域上用琴生不等式。

)
o如果1≧a≧b≧c≧-1，及a+b+c=-1/2，则有1/2=1 - 1/2≧-c - 1/2=a+b，所以有(1,-1/2,-1)(a,b,c)，由Majorization不等
式，有
a12+b12+c12=f(a)+f(b)+f(c)≦f(1)+f(-1/2)+f(-1)=2+2-12。

4.(1999 IMO)设n是一个固定的整数，n≧2。

a.确定最小常数C，使得不等式
Σ
1≦i<j≦n x
i
x
j
(x
i
2+x
j
2)≦C(
Σ
1≦i≦n
x
i )4
b.对所有的非负实数x
1, x
2
, ..... , x
n
都成立。

c.对于这个常数C，确定等号成立的充要条件。

证：分两步证明：
o
先用Majorization 不等式证明n=2的情况。

令m=(x 1+x 2)/2、h=(x 2-x 1)/2；x 1=m-h ，x 2=m+h ，由此可知
x 1x 2(x 12+x 22)=2(m 4-h 4)≦4m 4=(x 1+x 2)4/8。

等式成立当且当仅h=0，即x 2=x 1。

o 当n>2，令a i =x i /(x 1+...+x n )，则a 1+...+a n =1。

作为以的不等式，
原不等式等价地改写为Σ1≦i<j≦n a i a j (a i 2+a j 2
)≦C。

而左式其实为Σ1≦i≦n a i 3(a 1+..+a i-1+a i+1+...+a n )=Σ1≦i≦n
a i 3(1-a i )=Σ1≦i≦n f(a i )，其中f(x)=x 3(1-x)=x 3-x 4在区间[0,1/2]上严格凸。

现在新的不等式的下界对a 1, a 2, ...., a n 是对称的，所以可假设a 1≧a 2≧ ....≧a n 。

▪
若a 1≦1/2，则由于(1/2, 1/2, 0, 0, .., 0)(a 1, a 2, ....,
a n )，由Majorization 不等式，有Σ1≦i≦n
f(a i )≦f(1/2)+f(1/2)+f(0)+...+f(0)=1/8。

▪ 若a 1>1/2，则由于1-a 1, a 2, ...., a n 全位于闭区间[0, 1/2]。

由于(1-a 1, 0, 0, .., 0)
(a 2, a 3, ...., a n )，由
Majorization 不等式及n=2的情况，有Σ
1≦i≦n
f(a i )=f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+...+f(a n ) ≦f(a 1)+f(1-a 1)+f(0)+...+f(0) ≦1/8。

最后不等式的等号成立当且仅当以上的所有不等式成立，所以有1-a 1=a 1=1/2，及其它的(n-2)个变量全为0。

所以C=1/8。

有关Majorization 不等式的证明：
引理：设I 为实数轴上的一个区间，及f ：I→R 为一凸的函数，
即对于I 中任意的两个实数x 、y ，有f( (x+y)/2 )≦[f(x) +f(y) ]/2。

若a<c<b 为I 的三个实数，则以下不等式成立：
f(c)-f(a) c-a ≦ f(b)-f(a) b-a 及 f(b)-f(c) b-c ≧ f(b)-f(a)
b-a 。

证：由于a<c<b ，令t= (c-a)/(b-a)，则(1-t)=(b-c)/(b-a)
有c=(1-t)a+t b 且0<t<1。

由于f 在I 上凸，所以有 (*) f(c)=f[ (1-t)a+tb ]≦(1-t)f(a)+tf(b)。

从(*)的两边减去f(a)，得
f(c)-f(a) ≦(-t)f(a)+tf(b) =[f(b)-f(a)]t=(c-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)。

由于c>a ，两式除去正数(c-a)后，得到题目中左边的不等式。

从(*)的两边减去f(b)，得 -(f(b)-f(c) ) =f(c)-f(b)
≦(1-t)f(a)-(1-t)f(b) =(1-t)[ f(a)-f(b) ]
=(b-c)[ f(a)-f(b) ]/(b-a)=-(b-c)[ f(b)-f(a) ]/(b-a)。

两式除去负数-(b-c)后，得到引理中左边的不等式。

注：几何解释：
设A(a, f(a) )、B(b, f(a) )、C(c, f(c) )为xy 坐标平面上的函数f ：I→R 的图上三个点，则由以上的引理，得知割线AB 、AC 、CB 的斜率、m AB 、m AC 、m CB 满足以下的大小关系：m AC ≦m AB 、m CB ≦m AB 。

∙
若先固定点A ，则过点A 的割线的斜率会随着动点C 向右移动而增加； ∙ 若先固定点B ，则过点B 的割线的斜率会随着动点C 向左移动而减小。

现在回到Majorization 不等式的证明： 定理(Majorization 不等式)：
设函数 f 在闭区间 I=[a, b]为凸的，且 (x 1, x 2, ...., x n )
(y 1, y 2, ...., y n )其中实数x i , y j 在I 。

则有 f(x 1)+
f(x 2)+ .... + f(x n )≧f(y 1)+ f(y 2)+ .... + f(y n )。

对于严格凸的函数f ，等号成立当且仅当
这两个n 元组相等，即(x 1, x 2, ...., x n ) = (y 1, y 2, ...., y n )。

对于下凹的函数，只须要将结论中的不等式的方向换过来。

证：已知(x 1, x 2, ...., x n )
(y 1, y 2, ...., y n )，所以对所有的i=1,2,..,n ，
有x i+1≦ x i 及y i+1≦ y i 。

令m i =[f(x i )-f(y i )]/(x i -y i )，由引理，可以证明：m i ≧ m i+1如下：
∙
如果 y i+1≦y i ≦x i+1≦x i ：应用引理，可以有 m i+1=[f(x i+1)-f(y i+1)]/(x i+1-y i+1)
≦[f(x i+1)-f(y i )]/(x i+1-y i ) 第二个不等式：y i+1≦y i ≦x i+1 ≦[f(x i )-f(y i )]/(x i -y i ) 第一个不等式：y i ≦x i+1≦x i =m i 。

∙ 对于 y i+1≦y i 、x i+1≦x i 的其它可能分配，可以运月用类似的方法，略去。

记X k =x 1+x 2+ ...+x k 、Y k =y 1+y 2+ ...+y k ，此外为了以后方便，令X 0=Y 0=m n+1=0。

由已知条件得于X k ≧Y k 当k=1,2,..,n-1，及X n =Y n 。

所以有 0≦Σ1≦k≦n (X k -Y k )(m k - m k+1) =Σ1≦k≦n [(X k -X k-1)-(Y k -Y k )]m k =Σ1≦k≦n (x k -y k )m k
=Σ
1≦k≦n [ f(x
k
)-f(y
k
)]
即Σ
1≦k≦n f(x
k
)≧Σ
1≦k≦n
f(y
k
)。

注：代数解释：
(x
1, x
2
, ...., x
n
)(y
1
, y
2
, ...., y
n
)可以看成凸性的组合条件。