福建省福州三中高三数学第五次月考试题 理 新人教A版

第I 卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知复数i z +=1，则
2
1
z z =-（ ） A ．2- B ．2 C ．i 2 D ． i 2-
2．已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为（ ） A ．3-
B ．3±
C ．33-．33±3．由曲线12
-=x y ，直线0=x ，2=x 和x 轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（ ） A ．
⎰
-2
2)1(dx x
B ．⎰
-2
02|1|dx x
C ．|)1(|
2
2
⎰
-dx x
D ．
⎰⎰
-+-2
1
22
2
)1()1(dx x dx x
4．将函数2sin()36
x y π=+的图象按向量a =(4π
-，2)平移后所得图象
的函数为（ ）
A ．2sin()234x y π=+
- B ．2sin()234x y π
=++ C ．2sin()2312x y π=-- D ．2sin()2312
x y π
=++
5．若正四棱锥的正视图如右图所示. 则该正四梭锥体积是（ ）
A ．
324 B ．334 C ．322 D ．3
32 6．已知直线l ⊥平面α，直线m β平面⊂，给出下列命题：
①α∥.m l ⊥⇒β ②l ⇒⊥βα∥m. ③l ∥m βα⊥⇒ ④α⇒⊥m l ∥β 其中正确的命题是（ ）
A ．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③
7．已知命题p ：“已知x >0，则a ＝1是x ＋a
x
≥2的充分必要条件”，命题q ：“∃x 0∈R ，
02020>-+x x ”，则下列命题正确的是( )
A ．命题“p ∧q ”是真命题
B ．命题 “p ∧(⌝q )”是真命题
C ．命题“(⌝p )∧q ”是真命题
D ．命题“(⌝p )∧(⌝q )”是真命题
8．已知点P 是双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上的一动点，且点P 与双曲线实轴两顶
点连线的斜率之积为2，则双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ． 3
9．已知集合A ={0,1,2}，B ＝{5,6,7,8}，映射f :A →B 满足)2(1()0(f f f ≤≤），则这样的映射f 共有( )个?
A ．12
B ．20
C ．24
D ．40
10.若直角坐标平面内A 、B 两点满足条件：①点A 、B 都在f(x)的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则对称点对(A ，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A ，B)与（B ，A ）可看作
同一个“姊妹点对”). 已知函数 f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<+0
2
022x e x x
x x
，则f(x)的“姊妹点对”有
（ ）个.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第II 卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 11．n
x x )2(2
+
展开式中只有第六项的二项式系数最大，
则展开式中的常数项等于 . 12．阅读右侧程序框图，输出的结果S 的值为________. 13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首
项和公比都是3的等比数列，则{}n a 的通项公式n a =_____．
14．若变量x 、y 满足2040x y x y y a ++≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，若2x y -的最大值为1-，则a =
.
15．对于平面内的命题：“ABC ∆内接于圆O ，圆O 的半径为R ，且O 点在ABC ∆内，连
结,,AO BO CO 并延长分别交对边于111,,A B C ，则
11192
R AA BB CC ++≥
”. 证
明
如
下
：
1111111OBC OAC OAB
ABC ABC ABC
S S S OA OB OC AA BB CC S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=， 即
：
111111
1AA R BB R CC R
AA BB CC ---++=，即
1111112
AA BB CC R
++=，
由柯西不等式，得
111111
111()(
)9AA BB CC AA BB CC ++++≥.
∴11192
R AA BB CC ++≥
. 将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD 内接于半径为R 的球O 内，球心
O 在该四面体内，连结,,,AO BO CO DO 并延长分别与对面交于1111,,,A B C D ，则
___________”.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）
已知向量)1,cos sin 3(x x m -=，
)2
1
,(cos x n = ，若n m x f ⋅=)(．
(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3=a ，
2
3)122(
=+πA f （A 为锐角），2sin sin C B =，求A 、c b 、的值．
17．（本小题满分13分）
如图，在多面体111C B A ABC -中，四边形11ABB A 是正方形，AC AB =,
AB BC 2=，BC C B 2
1
//11，二面角C AB A --1是直二面角.
(Ⅰ)求证：AB 1//平面 A 1C 1C ；
(Ⅱ)求BC 与平面A 1C 1C 所成角的正弦值.
18．（本小题满分13分）
某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格. 把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图），已知第一小组为[5，6)，从左到右前5个小组的频率分别为0.06，0.10，0.14，0.28，0.30. 第 6 小组的频数是 6. （Ⅰ）求这次实心球测试成绩合格的人数； （Ⅱ）用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格的人数，求X 的分布列及数学期望； （Ⅲ） 经过多次测试后，甲成绩在8〜10米之间，乙成绩在9. 5〜10. 5米之间，现
甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率. 19．（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy 中，
1+的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y 轴上滑动，
2CP PD =．记点P 的轨迹为曲线E ．
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，OM +=，当点M 在曲线E 上时，求⋅的值． 20．（本题满分14分）
设函数2
2
()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．
(Ⅰ) 将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出
()y x ϕ=的解析式及值域；
(Ⅱ) 关于x 的不等式2
(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (Ⅲ) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得
()f x kx m ≥+和(
)g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的
“分界线”．设a =
b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分14分）
本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，每题7分，请考生任选两题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （Ⅰ）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
直线4:1-=x l 先经过矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=44n m A 作用，再经过矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1011B 作用， 变为直线42:2=-y x l ，求矩阵A.
（Ⅱ）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程：12x t y t
=⎧
⎨
=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：
)4
sin(22π
θρ+=．
判断直线l 和圆C 的位置关系． （Ⅲ）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 解不等式：4|1|2||≤-+x x ．
参考答案
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：取BC 中点D ，连结AD ，B 1D ， C 1D. 因为，11B C 1
2
BC ， 所以，DB C B 11是平行四边形， 1C D
1B B
.
又1A A
1B B ，1A A
∴1C D ，
所以，11A ADC 是平行四边形， 所以，11A C //AD ，所以AD //平面A 1C 1C ； 同理，1B D //平面A 1C 1C ；又因为，1B D
AD D =，所以，平面ADB 1//平面A 1C 1C ；
所以，AB 1//平面A 1C 1C ； …………………6分
18. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ)第六小组的频率为12.0)30.028.014.010.006.0(1=++++-， ∴此次测试总人数为
)(5012
.06
人=. ∴第4,5,6组成绩均合格，人数为（人）3550)12.030.028.0(=⨯++. (3)
分
（Ⅱ）X =0,1,2，此次测试中成绩不合格的概率为
1035015=，∴X ～)10
3
,2(B , 10049
)107()0(2=
==X P ，
5021)103)(107()1(12===C X P ,100
9)103()2(2===X P , ∴X 的分布列为:
X
0 1 2 P
10049 5021 100
9 5
3
1032=⨯
=EX . ……………………9分 （Ⅲ）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x 、y 米，则基本事件满足的区域为：
⎩⎨
⎧≤≤≤≤5
.105.910
8y x ，事件“甲投得比乙远的概率”满足的区域为y x >，如图所示，∴由几何概型得
16
121212121)(=
⨯⨯
⨯=A P . ……………………13分
20．（本题满分14分）
解：（Ⅰ）2
2
()(1)x a x ϕ=-，值域为[0,)+∞. …………2分
（Ⅱ）解法一:不等式2
(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，
等价于2
2
(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故2
10a -<，
令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2
(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数2
2
()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，
则另一个零点一定在区间[3,2)--，故(2)0,
(3)0,h h ->⎧⎨-≤⎩ 解之得
43
32
a ≤<． ………8分
下面证明()(0)2
e
g x ex x ≤-
>恒成立． 设()ln 2
e
G x e x x e =-，则()()e e e x G x e x x '==．
所以当0x e <<时，'()0G x >；当x e >'()0G x <．
因此x e =
()G x 取得最大值0，则()(0)2
e
f x ex x ≤->成立．
故所求“分界线”方程为：2
e
y ex =-． (14)
分
21.解：(Ⅰ) （本小题满分7分）
解法1：设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+==444n m n BA C ，则直线1l 上的点),(y x 经矩阵C 变换为直线2l 上。