《走向高考》高三数学二轮复习 第3讲空间向量与立体几何专题攻略课件 理 新人教版

2．向量法求空间角的方法 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平 面 α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α. 如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量． (1)异面直线所成角的求法： 从两异面直线上分别取与之共线的两向量 n1， |n1· n2 | n2，如图①，cosθ＝ . |n1|· |n2|
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(1)由正方体的性质，有 B1F∥ED，B1E∥FD. 设 F(0，y，a)， → → a 则FD＝(0，a－y，－a)，B1E＝0，2，－a ， a a → → 由FD∥B1E，得 a－y＝ ，∴y＝ . 2 2 ∴F 为 A1D1 的中点． a → → (2)A1C＝(a，a，－a)，DE＝a，－2，0， 1 2 2 a－ a 2 1 15 → → ∴cos〈A1C，DE〉＝ ＝ ＝ . 5 15 15 3a· a 2 15 ∴直线 A1C 与 DE 所成角的余弦值为 . 15
∴EF⊥BE，EF⊥BC， ∵BE⊂平面 BCE，BC⊂平面 BCE，BC∩BE＝B， ∴EF⊥平面 BCE. 1 1 (2)M(0,0， )，P(1， ，0)，从而 2 2 1 1 PM ＝(－1，－ ， )， 2 2 1 1 1 1 1 EF ＝(－1，－ ， )· 于是 PM · (0，－ ，－ )＝0＋ 2 2 2 2 4 1 － ＝0. 4
AB CD
②设 n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个 角 α，β 的法向量，在图②中二面角 α－l－β n1· n2 的平面角 θ 满足 cosθ＝ . |n|1· |n2| 在图③中二面角 α－l－β 的平面角 θ 满足 n1 · n2 cosθ＝ . |n1|· |n2|
热点突破探究
中，E是BC的中点，平面B1EDF交A1D1于点F.
(1)指出F在A1D1上的位置，并说明理由； (2)求直线A1C与DE所成角的余弦值； (3)求直线AD与平面B1EDF所成角的正弦值．
【解】 以点 A 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)， A1(0,0， a)， B1(a,0， a a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，Ea，2，0.
第3讲
空间向量与立体几何
要点知识整合
1．空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空 间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使 p ＝xa＋yb＋zc. 推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点， 则对空间任一点 P，都存在惟一的有序实数组 {x，y，z}，使 OP xOA yOB zOC
∴PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直线PM⊄平面BCE， 故PM∥平面BCE. 【题后拓展】 空间中线面的平行与垂直的证明有
两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去
解决；二是利用空间向量来论证．即证直线的方向 向量和平面法向量间的关系．
变式训练
1．如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝ 90° ，BC 1 AD，BE 2 1 FA，G、H 分别为 FA、 2
典例精析 题型一 利用空间向量证明空间位置关系
例1 如图，正方形ABCD所在的平面与平面四边形 ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角 形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°. (1)求证：EF⊥平面BCE； (2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面BCE.
【解】
(1)证明：设 AB＝a，BC＝b，BE＝c， 则由题设得 A(0,0,0)，B(a,0,0)， C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)． H(0，b，c)，所以， GH ＝(0，b,0)，
BC ＝(0，b,0)，于是 GH ＝ BC .又点 G 不在
直线 BC 上，所以四边形 BCHG 是平行四边形．
→ → → → 因此CH· AE＝ 0，CH· AD ＝ 0， 即 CH⊥ AE， CH⊥ AD. 又 AD∩ AE＝ A，所以 CH⊥平面 ADE. 故由 CH⊂平面 CDFE， 得平面 ADE⊥平面 CDE.
题型二
利用空间向量求空间角
例2 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1
∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，
∴AE⊥AB，∵平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，即AD、AB、 AE两两垂直，如图建立空间直角坐标系．
(1)证明：设 AB＝1，则 AE＝1，B(0,1,0)， D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)， ∵FA＝FE，∠AEF＝45° ，∴∠AFE＝90° ， 1 1 1 1 从而 F(0，－ ， )， EF ＝(0，－ ，－ )， BE ＝ 2 2 2 2 (0，－1,1)， BC ＝(1,0,0)． 1 1 BC ＝0， BE ＝0＋ － ＝0， EF · 于是 EF · 2 2
(2)线面角的求法： → 是直线 l 的方 设 n 是平面 α 的法向量，AB 向向量， 如图②，则直线 l 与平面 α 所成的角满足
AB n
sinα＝
AB n
.
(3)二面角的求法： ①如图①，AB、CD 分别是二面角 α－l－ β 的两个面内与 l 垂直的异面直线， 则二面角 α －l－β 的平面角 θ 满足 cosθ＝ AB CD .
FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ (3)设 AB＝BE，证明：平面 ADE⊥平面 CDE.
解：由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．如图，
以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD 为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立如图 所示的直角坐标系．
(2)C、 D、 F、 E 四点共面．理由如下： → 由题设知， F(0,0,2c)，所以EF＝ (－ a,0， c)， → → → CH＝ (－ a,0， c)，EF＝CH. 又 C∉ EF， H∈ FD，故 C、 D、 F、 E 四点共面． (3)证明：由 AB＝ BE，得 c＝ a， → → 所以CH＝ (－ a,0， a)，AE＝ (a,0， a)． → 又AD ＝ (0,2b,0)，