宁德市2018届高三第一次质量检查数学(理)

2018届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷
理 科 数 学
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150．
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知集合{}223A x x x =-≤，{}
21x
B x =>，则A B =
A ．[0,3]
B ．(0,3]
C ．[1,)-+∞
D ．[1,1)-
2．已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足12
z z =-则2|2i |z +=
A
B ．2
C
D ．10
3．若1
tan()43
απ-=-，则cos 2α=
A ．35
B ．35-
C ．45-
D ．45
4．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的
a 的值为
A ．10
B ．lg99
C ．2
D ．lg101
5．设,x y 满足约束条件210,10,0x y x y m --≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，若目标函数2z x y =-的最小值大于5-，则m 的取值范
围为
A ．111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．113,3⎛⎫
- ⎪⎝⎭ C ．[)3,2- D ．(),2-∞
6．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将,,,,A B C D
,E F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求,A B 必须在同一组，且
每组至少2人，则不同的分配方法有 A ．15种 B ．18种 C ．20种 D ．22种
7．一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为
A ．342π
B ．542π
C ．522π
D ．312
π 8．已知20.62log 2,log 0.6,0.6a b c ===，则
正视图
侧视图
俯视图
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >> 9．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过F 点且倾斜角为
4
π
的直线l 与抛物线相交于A,B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,2)2
p
-
，则该抛物线的方程为 A ．x y 22= B ．x y 42= C ．x y 82= D ．x y 162=
10．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：―今有三女，长女五日一归，中女四日一
归，少女三日一归．问：三女何日相会？‖ 意思是：―一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？‖假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有 A ．58 B ．59 C ．60 D ．61 11．函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,,0a b ω∈>R )，满足2()()3
f x f x π
-
+=--，且对任意x ∈R ，都有()()6
f x f π
≤-，则以下结论正确的是
A ．max ()||f x a =
B ．()()f x f x -=
C ．a
D ．3ω=
12．设函数1()e 1e ln(1)x x f x a x -=--+存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是
A ．(,1eln 2)-∞+
B ．(eln 2,)-+∞
C ．(,eln 2)-∞-
D ．(1eln 2,)++∞
2018年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷
理 科 数 学
第II 卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，2=a ，2=a +b =b __________．
14．若双曲线C 的右焦点F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线C
的离心率e =________．
15．若正三棱台ABC A B C '''-，高为1，则该正三棱台的
外接球的表面积为_______．
16．设函数2()|21|f x x x =--，若1a b >≥，()()f a f b =，则对任意的实数c ，22
()()a c b c -++的最小值为______．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >
，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3n
n n
a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
如图，矩形ABCD 中，6AB =
，AD =F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--
，使得D B '=
（Ⅰ）求证：当AF =D F BC '⊥；
（Ⅱ）试求CF 的长，使得二面角A DF
B '--的大小为4
π
．
19．（本小题满分12分）
如图，岛A 、C
相距9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海
里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛
C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市． （Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得4
cos 5
BAC ∠=-
，sin ACB ∠=．已知速度为
V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为 (21
502
V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市， 则至少需要多少费用？
正北方向
A
B
C
D E
A
B
C
D
F •
⇒
A
C
D '
B
F
20．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ．过)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于点M ,N ．当0k =时，四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为
25
16
π的圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若3
7
PM PN MN ⋅=，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）
已知函数2()ln (R)f x ax x a =+∈有最大值1
2
-，2()2()g x x x f x =-+，且()g x '是()g x 的导数．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明：当12x x <，12()()30g x g x ++=时，121()2
g x x '+>．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线1
C 的极坐标方程为4sin ρθ=，M 为曲线1C 上异于极点的动点，点P 在射线OM 上，且
,OP OM 成等比数列．
（Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知(0,3)A ,B 是曲线2C 上的一点且横坐标为2，直线AB 与1C 交于,D E 两点，试
求AD AE -的值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知2()()f x x a a =+∈R ，()12g x x x =++-
（Ⅰ）若4a =- ，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（Ⅱ）若[0,3]x ∈时，()()f x g x >的解集为空集，求a 的取值范围．
2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13．2 14．2 15．20π 16．8 附部分试题解答：
10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．
11．2()()3
f x f x π
-
+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6
f x f π
≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0．
12． 令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11
ln(1)x x ae e
-++=，
设1
()ln(1)x h x x e =++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点，
111
()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++ ，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，
1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.
16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，
1a b >≥ ，∴方程表示如图一段弧AB ，
22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平
方，
22()()a c b c ∴-++的最小值是8．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．
解法一：（Ⅰ）
1n a = ， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，
22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分 2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分
∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n
b n =-⋅
， 231111
135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分
23111111
13(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得231211111
2()(21)333333
n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分
21111
11
332(21)13313
n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分
化简得1
13n n
n T +=-
．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1
(21)3n n
b n =-⋅， 设11111
(21)()[(1)](232)3333
n n n n n
b n An B A n B An A B -=-⋅
=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,
1.A B =-⎧⎨=-⎩
1111111
(21)(1)()(1)33333n n n n n n
b n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅
，………………………………9分
12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+
01121111111(12)(23)[(1)]333333
n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 1
13n
n +=-
.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．
解:（Ⅰ）连结DF ，BF ．
在矩形ABCD
中，6AD CD ==
,
030AC CAB ∴=∠=, 060DAC ∠=．………………………………1分
在ADF ∆
中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分
∵22293DF AF DA +=+=，
DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．………………………………3分 又在ABF ∆中，
2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，
………………………………4分 ∴在DFB
'∆中，222223D F FB D B ''+=+=, BF DF '∴⊥,………………………………5分 又AC FB F = ,
∴DF
'⊥平面ABC ． ∴D F BC '⊥．………………………………6分 （Ⅱ）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E . 沿着对角线AC 翻折后，
由（Ⅰ）可知，,,OE OC OD '两两垂直，
以O 为原点，OE
的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则
(0,0,0),(1,0,0),O E (0,0,3),D B ',………………………………7分 EO ⊥ 平面AD F ',
(1,0,0)OE ∴=
为平面AD F '的一个法向量． ………………………………8分 设平面BD F '的法向量为(,,),x y z =n
(0,,0)F t ， (3,(3,BD BF t '∴=--=--
,
由0,0,BD BF ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得3303(0x z x t y ⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，
取3,y =则x t z t =-= , ()t t ∴=-n ．………………………………10分
A C
O
E D '
F A
C
D
F
||cos ,4||||OE OE π
⋅∴= n n =
t ∴=
．
∴当CF =
A DF
B '--的大小是4π
． …………………12分 19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（Ⅰ）如图，根据题意得：
10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=．
在CDE ∆中，由余弦定理得，
DE =
=10=, ………………………………2分
所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分
因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， 所以00018030150AEC ∠=-=．
在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，
解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101
202
t ==小时，
小张到岛A 所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116
t t >+，
所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分
（Ⅱ）在ABC ∆中，4
cos 5
BAC ∠=-，sin ACB ∠=,
所以ACB ∠为锐角，3
sin 5
BAC ∠=，cos ACB ∠=．………………………………7分
所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠
sin()BAC ACB =∠+∠
sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠
3455=
=
．………………………………8分 由正弦定理得，
sin sin BC AC
BAC B
=
∠,
所以3
BC =
=,………………………………9分
所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为
21150
()(50)1)22f V V V V V
=
++=++≥
((0,30]V ∈),………………………………10分 当且仅当150
2V V
=，即10V =
时，min ()f V =（元）………………………………11分
所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少
需元． ………………………………12分
…
20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推
理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）当0k =时，直线//l x 轴， 又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为25
16
π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且15
2
MF =
．………………………………………………………1分 ∴点M 的坐标为2
(,)b c a
．………………………………………………………2分
又2b a =
，
∴
b a =．………………………………………………………3分
设2,a k b ==，则c k =．
在12Rt MF F ∆中，23
2MF k =，122F F k =，
∴155
22
MF k ==，
∴1k =．
∴2,a b ==………………………………………………………5分
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=．………………………………………………………6分
（Ⅱ）将3
:2
l y kx =+
与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx ++-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，12
2
3
34x x k =-+．
故1200PM PN x x ⋅--
2
2
122
3+3(1)=
34k k x x k =++．………………………………9分 又
12MN x =-==，……………………
… 10分
∴223+33347k k =+，
即 解得k = ∴直线l 的方程为3
2
y =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能
力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()2f x ax x
'=+
．………………………………1分 当0a ≥时，()0f x '>，
()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；………………………………2分
当0a <时，令()0f x '=，得x = 当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分 max 1()2f x f ∴==-+
1122
∴-+-,………………………………4分 12
a ∴=-．………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()2ln 2g x x x x =
-+, 1()2g x x x '∴=+
-． 12x x
+≥ ，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分
又12x x < ，12()()3g x g x +=-且3(1)2
g =-, 1201x x ∴<<<．………………………………7分
22211()1x g x x x
-''=-= , ∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增, 要证121()2
g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分
11x < ，121x ∴->,
所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分
设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）,
11()222G x x x x '∴=-+
-- 12(1)[1](2)
x x x =--- 3
2(1)0(2)
x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分
()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2
g x x '+>．………………………………………12分
22．选修44-；坐标系与参数方程
本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，
则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分 即1=20ρρ⋅，120
=ρρ．………………………………2分
又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即
204sin θρ
=，………………………………3分 ∴sin 5ρθ=，………………………………4分
化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分 （Ⅱ）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为
4
π，………………………………6分 ∴直线AB
的参数方程为,3,x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分 代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，
得230t +-=，………………………………8分
故12t t +=1230t t =-<，………………………………9分
∴12AD AE t t -=+=．………………………………10分
23．选修45-：不等式选讲
本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．
解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++-
，
…………1分
当
1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-
1x ≥
-
故1x ≤-…………2分
当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥，
故x ∈∅； …………3分
当2x
≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥
故3x ≥； …………4分
所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分
(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分
当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min 31a x ≤-=-；…………8分
当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min +214a x x ≤--=-， 综上，4a ≤-．…………10分。