高三一轮复习正弦定理和余弦定理 (1)

第二十三课时 正弦定理和余弦定理
考纲要求：正弦定理、余弦定理及其应用(B)
知识梳理：
2.三角形中常用的面积公式
(1)S ＝1
2ah (h 表示边a 上的高)．
(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2ab sin C .
(3)S ＝1
2
r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆的半径)．
基础训练：
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )
(2)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (3)在△ABC 中，有sin A ＝sin(B ＋C )．( )
(4)在△ABC 中，a
sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C
.( )
(5)在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为钝角三角形．( )
(6)公式S ＝1
2
ab sin C 适合求任意三角形的面积．( )
(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ (7)√
2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，c ＝20，则a ＝________. 答案：10(32－6)
3．在△ABC 中，若a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.
答案：6
3
4．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，cos C ＝3
5
，则此三角形的面积S 的值为________．
答案：125
[典题1]
(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π
3
，则∠B ＝________.
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4
，3sin A ＝2sin
B ，则c ＝________.
(3)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．
①求sin B sin C
；
②若AD ＝1，DC ＝2
2
，求BD 和AC 的长．
解析：
(1)在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b
sin B
，
有3sin 2π3
＝6sin B ，可得sin B ＝22.
因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π
4
.
(2)∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.
由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭
⎫－1
4＝16，∴c ＝4. (3)①S △ABD ＝1
2AB ·AD sin ∠BAD ，
S △ADC ＝1
2
AC ·AD sin ∠CAD .
因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .
由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝1
2
.
②因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由①，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.
答案：(1)π
4
(2)4
小结：
(1)解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是惟一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不惟一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
练习：
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋
sin B sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若cos B ＝1
3
，a ＝3，求c 的值．
解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，
因为A ∈(0，π)，
所以A ＝π
3
.
(2)由(1)可知sin A ＝3
2
，
因为cos B ＝1
3，B 为△ABC 的内角，
所以sin B ＝22
3
，
故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B
＝32×13＋12×22
3＝3＋226
. 由正弦定理a sin A ＝c
sin C
得
c ＝a sin A sin C ＝33
2
×3＋226＝1＋26
3.
[典题2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，试判断△ABC 的形状．
解析： 依据题设条件的特点，由正弦定理，
得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，
∴A ＝π
2
，△ABC 是直角三角形．
[探究1] 若将本例条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．
解：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．
法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac
＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，
故△ABC 为等腰三角形．
[探究2] 若将本例条件改为“(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状．
解：∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，
∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .
法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，
又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .
在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，
∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π
2
.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac
，
∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[探究3] 若将本例条件改为：“2a sin A ＝(2b ＋c )·sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状．
解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，
即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，cos A ＝－12，sin A ＝3
2
，
则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2
C ＋sin B sin C .
又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝1
4
，
解得sin B ＝sin C ＝1
2
.
因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π
6
，
所以△ABC 是等腰钝角三角形． 小结：
(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
(2)判断三角形形状主要有以下两种途径： ①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；
②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
[典题3] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；
(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解析：
(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .
由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1
4
.
(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，
故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.
所以△ABC 的面积为1
2
×2×2＝1.
小结：
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2
bc ·sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个
公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
练习：
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝4，sin C ＝
2sin A ，sin B ＝15
4
，则S △ABC ＝________.
解析：∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理可得c ＝2a ，
∵c ＝4，∴a ＝2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×15
4
＝15.
答案：15
2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝1
2
c 2.
(1)求tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．
解：(1)由b 2－a 2＝1
2
c 2及正弦定理得
sin 2B －12＝1
2
sin 2C ，
所以－cos 2B ＝sin 2C .①
又A ＝π4，故B ＋C ＝3π
4
，可得
－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.
(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得
sin C ＝255，cos C ＝5
5
.
因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭
⎫π
4＋C ， 所以sin B ＝310
10
.
由正弦定理得c ＝22b
3
，
又因为A ＝π4，1
2
bc sin A ＝3，
所以bc ＝62，故b ＝3. 总结：
1．在利用正、余弦定理解决三角形问题时，应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π
2
中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
2．在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 注意：
1．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．
2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．
课后作业：
1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝________. 解析：因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝1
2
，又0<A <90°，所以A ＝30°.
答案：30°
2．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝3，∠B ＝2∠A ，则边AC 的长为________．
解析：在△ABC 中，AB ＝c ＝5，BC ＝a ＝3，AC ＝b ，∠B ＝2∠A ，由正弦定理b sin B ＝a
sin A
，
得b sin 2A ＝3sin A ，即b 2sin A cos A ＝3sin A ，整理得，b ＝6cos A ，故cos A ＝b 6
，再由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即9＝b 2＋25－10b ·b
6
，解得b ＝26(负值舍去)，故AC ＝b ＝2 6.
答案：26
3．钝角三角形ABC 的面积是1
2
，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.
解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝2
2
，所以B ＝45°
或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.
答案：5
4．在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin (A ＋B )
sin B
＝23，则A ＝________.
解析：因为sin (A ＋B )sin B ＝23，故sin C
sin B ＝23，即c ＝23b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝
12b 2－3bc 43b 2
＝6b 243b 2＝32
，所以A ＝π6.
答案：π6
5.如图，在△ABC 中，已知B ＝π
4
，D 是BC 边上一点，AD ＝10，AC ＝14，CD ＝6，则
AB ＝________.
解析：∵AD ＝10，AC ＝14，CD ＝6，∴由余弦定理得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 2
2AC ·CD
＝
142＋62－1022×14×6
＝11
14， ∴sin C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫11142＝53
14，
由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即AB ＝AC ·sin C
sin B
＝5 6.
答案：56
6．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．
解析：由面积公式，得S ＝1
2
bc sin A ，代入得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A
＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a ＝23，由正弦定理，得2R ＝a sin A ＝23
3
2
，解得R ＝
2.
答案：2
7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π
6
，则b
＝________.
解析：在△ABC 中，∵sin B ＝1
2
，0<B <π，
∴B ＝π6或B ＝5π6
.
又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π
6
，
∴A ＝π－π6－π6＝2π
3.
∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1. 答案：1
8．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.
解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝AB sin B AD ＝2×
323
＝2
2.由题意
知0°<∠ADB <60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝180°－∠B －∠ADB ＝15°，所以∠BAC ＝ 2∠BAD ＝30°，所以∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝30°，所以BC ＝AB ＝2，于是由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°
＝(2)2＋(2)2－22×2×⎝⎛⎭
⎫－1
2＝ 6.
答案：6
9．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．
解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝
bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π
3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即
bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×3
2
＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面
积的最大值为 3.
答案：3
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________.
解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1
＝4，解得tan C ＝－4
3或tan C ＝0(舍去)．
答案：－4
3
11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin
B ＝sin 2
C ，则a ＋b
c
的取值范围为________．
解析：由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，
∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1
2
，
∴C ＝2π3.由正弦定理得a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝233·(sin A ＋sin B )，又A ＋B ＝π3，∴B ＝π
3
－
A ，∴sin A ＋sin
B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3.又0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π
3
，∴sin A ＋sin B ∈⎝⎛⎦⎤3
2，1，∴a ＋b c ∈⎝⎛⎦⎤1，233.
答案：⎝
⎛⎦⎤
1，233
12.在△ABC 中，∠A ＝3π
4
，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的
长．
解：设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC
＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π
4
＝18＋36－(－36)＝90， 所以a ＝310.
又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝10
10
，
由题设知0＜B ＜π
4
，
所以cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－110＝310
10
.
在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ， 所以∠ADB ＝π－2B ， 故由正弦定理得
AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B
＝10.
13.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π
3
.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．
解：(1)∵c ＝2，C ＝π
3
，
∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π
3＝a 2＋b 2－ab .
∵△ABC 的面积等于3，∴1
2
ab sin C ＝3，∴ab ＝4，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.
(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，
∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，
①当cos A ＝0时，A ＝π
2
；
②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，
∴b 2＝a 2＋c 2.∵C ＝π3，∴A ＝π
6.
综上所述，A ＝π2或A ＝π
6
.
14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且a ＋b ＝3c sin A ＋c cos A . (1)求角C ；
(2)如图，设D 为BC 的中点，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得
sin A ＋sin B ＝3sin C sin A ＋sin C cos A ， 又A ＋B ＋C ＝π，
∴sin A ＋sin(A ＋C )＝3sin C sin A ＋sin C cos A ， 整理可得1＋cos C ＝3sin C ，
即3sin C －cos C ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝12. 又C ∈(0，π)，∴C －π
6∈⎝⎛⎭
⎫－π6，5π6， ∴C －π6＝π6，∴C ＝π3.
(2)由余弦定理可得
AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos C
＝CA 2＋CD 2－CA ·CD ＝b 2＋a 24－ab 2
≥ab －ab 2＝ab 2当且仅当b ＝a
2时取等号．
∴ab 2≤4，故S △ABC ＝1
2
ab ·sin C ≤23， ∴△ABC 面积的最大值为2 3.
15.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝10，cos B ＝25
5
，D 为AC 的中点，求BD 的长．
解：(1)因为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 由正弦定理得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 整理得2a 2＝2b 2＋2c 2－2bc ，
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝2
2，
因为A ∈(0，π)，所以A ＝π
4
.
(2)由cos B ＝255，得sin B ＝1－cos 2B ＝1－45＝5
5
，
所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－⎝⎛⎭⎫
22
×255－22×55＝－1010. 由正弦定理得b ＝a sin B
sin A ＝10×
552
2
＝2，
所以CD ＝1
2
AC ＝1，
在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝(10)2＋12－2×1×10×⎝
⎛⎭
⎫
－
1010＝13，所以BD ＝13.。