定积分计算法则

定积分计算法则
一、定积分的基本概念
1. 定积分的定义
- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有界。

- 在[a,b]中任意插入n - 1个分点a=x_0< x_1< x_2<·s< x_{n - 1}< x_n = b，把区间[a,b]分成n个小区间[x_{i - 1},x_i]，i = 1,2,·s,n。

- 记Δ x_i=x_i - x_{i - 1}，λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}。

- 在每个小区间[x_{i - 1},x_i]上任取一点ξ_i∈[x_{i - 1},x_i]，作和式∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。

- 如果当λ→0时，上述和式的极限存在（这个极限值与[a,b]的分法及ξ_i的取法均无关），则称函数y = f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_{a}^bf(x)dx，即∫_{a}^bf(x)dx=limlimits_{λ→0}∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。

其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。

2. 定积分的几何意义
- 当f(x)≥slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

- 当f(x)≤slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。

- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积。

二、定积分的基本性质（假设以下性质中的函数在相应区间上可积）
1. 线性性质
- ∫_{a}^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_{a}^bf(x)dx + k_2∫_{a}^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。

2. 区间可加性
- 设a< c< b，则∫_{a}^bf(x)dx=∫_{a}^cf(x)dx+∫_{c}^bf(x)dx。

- 当c不在[a,b]内时（例如c< a< b），∫_{a}^bf(x)dx=∫_{c}^bf(x)dx-∫
_{c}^af(x)dx。

3. 比较性质
- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_{a}^bf(x)dx≥slant∫
_{a}^bg(x)dx。

- 特别地，<=ft∫_{a}^bf(x)dxright≤slant∫_{a}^b<=ftf(x)rightdx。

4. 积分中值定理
- 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得∫
_{a}^bf(x)dx = f(ξ)(b - a)。

三、牛顿 - 莱布尼茨公式（微积分基本定理）
1. 原函数的概念
- 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即F^′(x)=f(x)，x∈ I，那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数。

2. 牛顿 - 莱布尼茨公式
- 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则∫
_{a}^bf(x)dx=F(b)-F(a)，通常记为F(x)<=ft.rightrvert_{a}^b。

四、定积分的计算方法
1. 直接利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算
- 例：计算∫_{1}^2x^2dx。

- 首先求x^2的一个原函数，因为((1)/(3)x^3)^′=x^2，所以(1)/(3)x^3是
x^2的一个原函数。

- 根据牛顿 - 莱布尼茨公式∫
_{1}^2x^2dx=(1)/(3)x^3<=ft.rightrvert_{1}^2=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×
1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。

2. 换元积分法
- 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x = φ(t)满足条件：
- φ(α)=a，φ(β)=b；
- φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R_{φ}⊂eq[a,b]。

- 则∫_{a}^bf(x)dx=∫_{α}^βf[φ(t)]φ^′(t)dt。

- 例：计算∫_{0}^4(1)/(1 + √(x))dx。

- 令t=√(x)，则x = t^2，dx = 2tdt。

- 当x = 0时，t = 0；当x = 4时，t = 2。

- 所以∫_{0}^4(1)/(1+√(x))dx=∫_{0}^2(2t)/(1 + t)dt=2∫_{0}^2(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫_{0}^2(1-(1)/(1 + t))dt
- =2<=ft[t-ln(1 + t)]<=ft.rightrvert_{0}^2=2<=ft(2-ln3)。

3. 分部积分法
- 设函数u = u(x)，v = v(x)在区间[a,b]上具有连续导数，则∫_{a}^bu(x)v^′(x)dx=u(x)v(x)<=ft.rightrvert_{a}^b-∫_{a}^bv(x)u^′(x)dx，简记为∫_{a}^budv = uv<=ft.rightrvert_{a}^b-∫_{a}^bvdu。

- 例：计算∫_{0}^1x e^x dx。

- 令u = x，dv=e^x dx，则du = dx，v = e^x。

- 根据分部积分公式∫_{0}^1x e^x dx=x e^x<=ft.rightrvert_{0}^1-∫_{0}^1e^x dx=(e - 0)-(e^x<=ft.rightrvert_{0}^1)=e-(e - 1)=1。