十年高考理科数学真题 专题九 解析几何 二十五 直线与圆及答案(优质)

专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆
2019年
1.（2019北京理3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4t
ìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是
（A ）15 （B ）25 （C ）45 （D ）65
2.（2019江苏10）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+
>上的一个动点， 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .
3（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．
4．（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆
C 相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.
2010-2018年
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是
A ．[2,6]
B ．[4,8] C
． D
．
2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C
，直线1,232
⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
x y t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ． 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，
当θ，m 变化时，d 的最大值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A
．3 B
．3 C
．3 D ．13
5．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD
相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为
A ．3 B
． C
D ．2
6．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为
A ．5
3-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34
-
7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆22
5x y +=相切的直线的方程是
A ．250x y ++=或250x y +-=
B ．20x y +=或20x y +=
C ．250x y -+=或250x y --=
D ．20x y -+=或20x y -=
8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =
A ．26
B ．8
C ．46
D ．10
9．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：22
4210x y x y +--+=的对
称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝
A ．2
B ．
C ．6
D ．
10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是
A ．[]1,1-
B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
C ．⎡⎣
D ．22⎡-⎢⎣
⎦， 11．（2014福建）已知直线l 过圆()2
234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是
A ．20x y +-=
B ．20x y -+=
C ．30x y +-=
D ．30x y -+=
12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，
若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o
，则m 的最大值为
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
13．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A ．21 B ．19 C ．9 D ．11-
14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的
取值范围是
A ．]60π，（
B ．]30π，（
C ．]60[π，
D ．]3
0[π
， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则
实数a 的值是
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
16．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径
的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为
A ．45π
B ．34π
C ．(6π-
D ．54π
18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线
AB 的方程为
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()22
2:349C x y -+-=，,M N
分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为
A ．4
B 1
C ．6- D
20．（2013安徽）直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．
21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，
直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是
A ．(0,1)
B ．1122⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．1123⎛⎤-
⎥ ⎦⎝ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关
系是
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10
ax y -+=垂直， 则a =
A ．12-
B ．1
C ．2
D ．12
24．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆22
1x y +=相切于第一象限的直线方程是
A ．0x y +-=
B ．10x y ++=
C ．10x y +-=
D ．0x y +=
25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两
点．若||3||AF BF =，则l 的方程为
A ．1y x =-或1y x =-+
B ．1)y x =-或1)y x =-
C ．1)y x =-或1)y x =-
D ．(1)2y x =
-或(1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：
(1)40x a y +++=平行”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相
切，则+m n 的取值范围是
A ．[1
B ．(,1)-∞-∞U
C ．[2-
D ．(,2)-∞-∞U
28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}
22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得
这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
A ．20x y +-=
B ．10y -=
C ．0x y -=
D ．340x y +-=
29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于
A ．
B ．
C
D ．1
30．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面
积为2的点C 的个数为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 31．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同
的交点，则实数m 的取值范围是
A ．(3-，3)
B ．(3-，0)U (0，3
)
C ．[
D ．(-∞，-U ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为
A ．22++2=0x y x
B ．22++=0x y x
C ．22
+y =0x x - D ．22+2=0x y x -
33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=
相切，则圆O 的方程是
A ．22(5x y +=
B ．22(5x y +=
C ．22(5)5x y -+=
D ．22
(5)5x y ++= 二、填空题
34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，
(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐
标为 ．
35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：22
50x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．
36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A
的上方），且2AB =．
（Ⅰ）圆C 的标准．．
方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：
①NA
MA
NB MB =； ②2NB
MA
NA MB -=； ③22NB
MA
NA MB +=．
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截
得的弦长为 ．
38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()412
2=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．
39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等
的四段弧，则22
a b +=________．
40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦
的长为3C 的标准方程为 ．
41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准
方程为____．
42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．
43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：
对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则
（Ⅰ）b = ；
（Ⅱ）λ= .
44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.
45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<
)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .
46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .
47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__．
48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__．
49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ．
50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程
为 ．
三、解答题
51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重
合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线
与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．
52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保
护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，3
4tan =∠BCO ． （I ）求新桥BC 的长；
（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C
的半径为1，圆心在l 上. y
l
O A
（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22在y 轴上截得线段长为23
（I ）求圆心P 的轨迹方程；
（II ）若P 点到直线y x =2，求圆P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆
C 上．
（I ）求圆C 的方程；
（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．
56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)6
直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；
（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．
专题九 解析几何
第二十五讲 直线与圆
答案部分
2019年
1.解析 由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为4320x y -+=． 则点（1，0）到直线l 的距离是
d ==2. 解析 解法一：由4(0)y x x x =+>，得241y x
'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+
>切于0004(,)x x x +， 由20
411x
-=-，解得000)x x =>． 所以曲线4(0)y x x x
=+>
上，点P 到直线0x y +
=的距离最小，
4=． 解法二：由题意可设点P 的坐标为4,x x x ⎛
⎫+
⎪⎝⎭()0x >，则点P 到直线0x y +=的距离
222242x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯
=…，当且仅当x = 所以点P 到直线0x y +=的距离的最小值为4.
3.解析 解法一：
（1）过A
作AE BD ⊥，垂足为E .
由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，
所以84cos sin 105
PBD ABE ∠=∠==. 所以12
154
cos 5
BD PB PBD =
==∠.
因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知2210AD AE ED =
+=，
从而2227
cos 0225
AD AB BD BAD AD AB +-∠=
=>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1
PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113
sin cos 1595
PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯
=； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.
再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，
2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆
O 的半径.
综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.
因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34
. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43
-， 直线PB 的方程为425
33
y x =-
-
. 所以P （−13，9），2
2
(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.
（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.
②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：3
6(44)4
y x x =-
+-剟.
在线段AD 上取点M （3，154），因为2
222
1533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭
，
所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.
当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.
设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1
PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.
综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
4321(13)17321PQ =+--=+.
因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）. 4.解析：解法一：如图，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得
11
22
m +=-，解得2m =-． 所以圆心为（0，-2
），则半径r ==． 解法二：
由r =
=，得2m =-
，所以r =
=
2010-2018年
1．A 【解析】圆心(2,0)
到直线的距离d =
= 所以点P
到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -
，所以||AB = 所以ABP ∆
的面积111
||2
S AB d =
=．
因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．
12
【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22
(1)1x y -+=， 圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=
的距离2d =
=
以||AB ==
1122ABC S ∆==． 3．C
【解析】由题意可得d ==
=
=
（其中cos ϕ=
，sin ϕ=
，∵1sin()1θϕ--≤≤,
d ≤
1=+
∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．
4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是2
2
2
x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，
所以圆心到直线的距离d a =
=，整理为223a b =，
即()2
2
2
2
2
323a a c a c =-⇒=，即2223
c a =
，3c e a ==，故选A ．
5．A 【解析】如图建立直角坐标系，
x
则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)
P x y 所以圆的方程为22
4
(2)5
x y -+=
， 所以(,1)AP x y =-u u u r ，(0,1)AB =-u u u r ，(2,0)AD =u u u r
，
由AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，得21x y μλ
=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12x y -+，
设12x z y =-+，即102
x
y z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102
x
y z -+-=的距离小于半径，
≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．
6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为
3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=
，则1d ==，
|55|k +=43
k =-或3
4-．
7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c
，则
=
，所以
c =250x y ++=或250x y +-=．
8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=，
则3100
422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪
+++=⎨⎪-++=⎩
，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2
2
24200x y x y +-+-=，令0x =，得2
4200y y +-=， 设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，
所以12||||MN y y =-==
9．C 【解析】圆C 标准方程为2
2
(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，
因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，
6AB =
==．选C ．
10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=o
，所以01
x =符合题意，排除B 、D ；当点M
的坐标为
时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中
，sin 2
OMN '∠=
<，则45OMN '∠<o ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=
，即0x =合题意，排除C ，故选A ．
11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m
为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．
13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121
,r r ==
1212||15C C r r =+==，所以9m =．
14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,26
3
π
π
θθ==⨯
=
．
15．B 【解析】圆的标准方程为2
2
(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足
22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离
d =
= 所以2
422r a =+=-，故4a =-
16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，
且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，
故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4
PAB π
=∠+
∈．故选B ．
17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只
需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2
r =
，得r =，圆C 的面积的最小值为2
4
5
S r ππ==
． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连
线的斜率为
1
2
，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，
∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，
所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=， 故选A ．
20．C 【解析】圆心(1,2)
，圆心到直线的距离=1d =
，半径r =，所以最
后弦长为4=.
21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此1
3
b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-
⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫
⎪++⎝⎭
， 令11
12A BD S ∆=得212b a b =
-,∵0a >,∴12
b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫
⎪--⎝⎭
,21,11b a b D a a -+⎛⎫
⎪++⎝⎭， 令2212A CD S ∆=
,即()1111
12112
b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，
化简得2
2
241a b b -=-+,∵0a >, ∴2
2410b b -+<
，解得1122
b -
<<+
综上：1
12
b -
<<，选B 22．B 【解析】点M(a
, b )在圆2
2
1x y +=外，∴22
1a b +>．圆(0,0)O 到直线1
ax by +=距离1d =
<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．
23．C
【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(
2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，
圆心(1,0)
==1
2k =-．因为直
线与直线10ax y -+=垂直，所以11
2
k a =-
=-， 即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选
A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于
1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线2
4y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，
22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，
因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =
13
，当1x =3时，2
112y =，
所以此时1y ==±1y =1(3,(,3
A B ,
此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

若1y =-
则1(3,(3A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-．
所以l 的方程是1)y x =-或1)y x =-，选C.
26．A 【解析】“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件
是(1)2a a +=，解得，1a =或2a =-，所以是充分不必要条件。

27．D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆2
2
(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到
直线的距离为
d ，所以2
1(
)2
m n mn m n +=++≤，
设=t m n +，则
2
1+14
t t ≥，解得(,2)t ∈-∞-∞U . 28．A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长
达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为
()11y x -=--，即20+-=x y ．故选A ．
29．B 【解析】圆2
2
4x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515
d -==
弦AB 的长AB ==
30．A 【解析】设点2
(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y +-=，||AB =ABC
∆
的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程
1
22
⨯=，即h =
2
=2
|2|2t t +-=，解得有4个实根，
故这样的点C 有4个．
31．B 【解析】22
1:(1)1C x y -+=，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x =+，
显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l 的距离
1d r =
<=，解得(33
m ∈-
，又当0m =时， 直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．
32．D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以
圆的半径为1r =，故所求圆的方程为2
2
(1)1x y -+=，即2
2
20x x y -+=，选D ．
33．D 【解析】设圆心(,0)(0)O a a <
=
，即||5a =，解得5a =-，所以
圆O 的方程为22
(5)5x y ++=．
34．3【解析】因为0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，所以AB CD ⊥，又点C 为AB 的中点，所以45BAD ∠=o
，
设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan 2θ=，tan()34
k π
θ=+
=-．又
(5,0)B ，所以直线AB 的方程为3(5)y x =--，又A 为直线l ：2y x =上在第一象限
内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得3(5)2y x y x =--⎧⎨=⎩，解得3
6
x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的
横坐标为3．
35．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r
≤，得250x y -+≤，
x
如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN
上， 由22
250
50
x y x y -+=⎧⎨
+=⎩，解得(1,7)
M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[-．
36．（Ⅰ）22
(1)(2x
y -+=
；（Ⅱ）①②③
【解析】（Ⅰ）由题意，设(1,)C r （r 为圆C 的半径），因为
||2AB =，
所以r ==
C ，
故圆C 的标准方程为22
(1)(2x y -+=．
（Ⅱ）由22
0(1)(2x x y =⎧⎪
⎨-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎪⎨=
⎪⎩或0
1
x
y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因为B 在A 的上方，所以1)A
，1)B ．
不妨令直线MN 的方程为0x =，(0,1)M -(0,1)N
， 所以||MA
||2MB =+
，
||2NA =
||NB =，
所以
||1||NA NB ==，||1||
MA MB ==
， 所以
||||||||NA MA NB MB =，所以|
|||
1)2||||
NB MA
NA MB -==． ||||
1)||||NB MA NA MB +=+=．
正确结论的序号①②③．
37
．
5【解析】圆心(2,1)-到直线032=-+y x 的距离d ==
直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x
截得的弦长为
=5
． 38
．4±(1,)C a 到直线02=-+y ax
，
=
4a =±．
39．2【解析】由题意得，直线1l 截圆所得的劣弧长为
2
π
，则圆心到直线1l
的距离为2，
2=，得21a =，同理可得21b =，则22
2a b +=． 40．2
2
(2)(1)4x y -+-=【解析】设圆心为(2,)b b ，则圆的半径为2b ，圆心到x 轴的距
离为b
，所以0b =>，解得1b =，所以圆C 的标准方程为
22(2)(1)4x y -+-=．
41．2
2
(1)1x y +-=【解析】因为点)0,1(关于直线x y =对称的点的坐标为(0,1)，所以所
求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为2
2
(1)1x y +-=．
42．0或6【解析】圆:C 的标准方程为2
2
(1)(2)9x y ++-=，所以圆心为(1,2)C -，半径
为3．因为AC BC ⊥，所以圆心C 到曲线0=+-a y x
的距离为
2
，
2=，所以0a =或6． 43．11,
22
-【解析】设(),M x y ，则2222
1,1x y y x +==-， 22
2
2
2
2
2
2
22222251
||()21122||(2)44154254b b MB x b y x bx b x b bx b MA x y x x x x x
λ++-+-++-+-=====-++++++-++， ∵λ为常数，∴2
5102b b ++=，解得12b =-或2b =-（舍去）
，∴2
124
b λ=-=． 解得12λ=
或1
2
λ=-（舍去）． 44
．【解析】已知圆心为()3,4，半径为5，圆心到直线23y x =+的距离为
d =
=
l ==．
45．4【解析】由题意圆心到该直线的距离为1
2，故圆上有4个点到该
直线的距离为1.
46
．(0，2)到直线y x =的距离为d
=2，所以
所求弦长为
=
47．1【解析】当0m =时，两直线不垂直，故0m ≠．因为直线250x y -+=与直线
260x my +-=的斜率分别为12和2m -，由12
()12m
⨯-=-，故1m =．
48．2
2
(2)10x y -+=【解析】以题意设圆C 的方程为2
2
2
()x a y r -+=，把所给的两点
坐标代入方程得2222
(5)1(1)9a r a r
⎧-+=⎨-+=⎩，解得2210a r =⎧⎨=⎩，所以圆C ：22
(2)10x y -+=． 49．2
2
2x y +=【解析】由题意可知原点到直线20x y +-=的距离为圆的半径，
即r =
=,所求圆的方程为222x y +=． 50．2
2
(3)2x y -+=【解析】设圆C 的方程为2
2
2
()()x a y b r -+-=，由题意得
222
(4)(1)112a b r b a r ⎧
⎪-+-=⎪
-⎪=-⎨
-⎪=
，解得30a b r ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩，所以圆C 的方程为22
(3)2x y -+=． 51．【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，
所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.
又圆A 的标准方程为16)1(2
2
=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：
13
422=+y x （0≠y ）．
（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，
),(11y x M ，),(22y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)
1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .
则3482221+=+k k x x ，3412
42
221+-=k k x x . 所以3
4)
1(12||1||22212
++=-+=k k x x k MN .
过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1
--
=x k y ，A 到m 的距离为1
22
+k ，所以 13
44)1
2
(42||222
22
++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3
41
112||||212++==
k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.
当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12.
综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.
52．【解析】（I ）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．
由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－4
3
. 又因为AB ⊥BC ， 所以直线AB 的斜率k AB =34
. 设点B 的坐标为(a ,b )，
则k BC =
04
,1703b a -=--
k AB =
603
,04
b a -=- 解得a =80，b=120.
所以BC =22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.
（II ）设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM =d m ，(0≤d ≤60).
由条件知，直线BC 的方程为4
(170)3
y x =-
-，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355
d d
r --=
=
. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即6803805
6803(60)80
5d
d d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩
≥≥解得1035d ≤≤
故当d =10时,68035
d
r -=
最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二: （I ）如图，延长OA , CB 交于点F .
因为tan ∠BCO =
43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35
． 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =680
3
.
CF =850cos 3OC FCO =
∠,从而500
3
AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==4
5，
又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==400
3
，从而BC =CF －BF =150.
因此新桥BC 的长是150 m.
（II ）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半
径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60). 因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =
3
,68053
MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=
. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即6803805
6803(60)80
5d
d d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩
≥≥解得1035d ≤≤
故当d =10时,68035
d
r -=
最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.
53．【解析】（I ）由题设点(,24)C a a -，又C 也在直线1-=x y 上，241,3a a a ∴-=-∴=
22:(3)(2)1C x y ∴-+-=e ，由题，过A 点切线方程可设为3y kx =+，
即30kx y -+=
1=，解得：3
0,4k =-，
∴所求切线为3y =或3
34
y x =-
+ （II ）设点(,24)C a a -，00(,)M x y ，2MA MO =Q ，)3,0(A ，(0,0)O ，
22220000(3)4()x y x y ∴+-=+，即2200032x y y +=-，又点M 在圆C 上， 2200()(24)1x a y a ∴-+-+=，两式相减得
2
005(23)(89)02
a ax a y a +---+=，由题以上两式有公共点，
2
1≤
整理得：2
5|63|2
a a -+≤，即222(5126)4(5129)a a a a -+≤-+，
令25126t a a =-+，则
24(3)t t ≤+，解得：26t -≤≤，2251266a a ∴-≤-+≤，解得：12
05
a ≤≤
． 54．【解析】（I ）设(),P x y ，圆P 的半径为r ．
由题设2
2
2
3
2,3y r x r +=+=，从而2
2
23y x +=+ 故P 点的轨迹方程为2
2
1y x -=．
（II ）设()00,P x y
=
． 又P 点在双曲线22
1y x -=上，从而得00220
11
x y y x ⎧-=⎨
-=⎩
由0022
0011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001
x y =⎧⎨=-⎩此时，圆P
的半径r = 故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2
213x y ++=
55．【解析】（I ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为
（).0,223(),0,223-+
故可设C 的圆心为(3,)t ，则有,)22()1(32
222t t +=-+解得1t =．
则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(2
2
=-+-y x
（II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.
9)1()3(,
02
2y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(22
2
=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式.0416562
>--=∆a a
因此，,4
41656)28(2
2,1a a a x --±-=
从而
2
1
20,422121+-=
-=+a a x x a x x
①
由于OA OB ⊥，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以
.0)(222121=+++a x x a x x
②
由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a
56．【解析】（I
）因为
c a =
，且c =
1a b ===
所以椭圆C 的方程为2
213
x y += （II ）由题意知(0,)(11)p t t -<<
由22
13
y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
得x =所以圆P
解得2t =±
，所以点P 的坐标是（0
，2
± （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程2
2
2
()3(1)x y t t +-=-。

因为点(,)Q x y 在圆P 上．
所以y t t =≤设cos ,(0,)t θθπ=∈
，则cos 2sin()6
t π
θθθ+=+=+
当3
πθ=
，即1
2
t =
，且0x =，y 取最大值2．。