2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第七章数列、推理与证明第3讲含答案

基础巩固题组
（建议用时：40分钟）
一、选择题
1.已知{a n｝，｛b n}都是等比数列，那么（）
A.{a n＋b n｝，｛a n·b n｝都一定是等比数列
B.{a n＋b n｝一定是等比数列，但{a n·b n｝不一定是等比数列
C。

｛a n＋b n｝不一定是等比数列，但｛a n·b n}一定是等比数列D。

｛a n＋b n}，{a n·b n}都不一定是等比数列
解析两个等比数列的积仍是一个等比数列.
答案C
2。

在等比数列｛a n｝中,如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12,那么这个数列的公比为（）
A.2
B.错误!C。

2或错误! D.－2或错误!
解析设数列｛a n｝的公比为q，由错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!,得q＝2或q＝错误!.故选C.
答案C
3。

（必修5P67A1(2)改编）一个蜂巢里有1只蜜蜂。

第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂
都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( ）
A。

55 986 B。

46 656 C.216 D。

36
解析设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{a n｝的通项公式a n＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.
答案B
4.（2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列｛a n}满足a1＝3,a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（）
A.21 B。

42 C。

63 D。

84
解析设等比数列｛a n｝的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4）＝21，解得q2＝－3(舍去）或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5）＝2×21＝42，故选B.
答案B
5。

设各项都是正数的等比数列｛a n｝，S n为前n项和，且S10＝10,S30＝70，那么S40等于（)
A.150
B.－200
C.150或－200
D.400或－50
解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列,
因此有（S20－S10)2＝S10（S30－S20)。

即（S20－10)2＝10（70－S20），故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80.
S40＝150.故选A。

答案A
二、填空题
6.（2017·乐清市模拟)在等比数列{a n}中，S n表示前n项和,若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1,则公比q等于________.
解析两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得错误!＝3。

即q＝3。

答案3
7.（2017·宁波调研)已知数列{a n｝满足a1＝1，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*),则a3＝________；通项公式a n＝________。

解析∵a1＝1，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，∴a2＝a1＋2＝3，a3＝a2＋22＝3＋4＝7.n≥2时，a n＝（a n－a n－1)＋（a n－1－a n－2）＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝错误!＝2n－1(n＝1时也成立）,∴a n＝2n －1。

答案7 2n－1
8。

已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝3S2,a3
＝2,则a7＝________。

解析设等比数列{a n｝的首项为a1，公比为q,显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以错误!＝错误!，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8。

答案8
三、解答题
9。

在等比数列{a n｝中，a2＝3，a5＝81.
（1）求a n;
（2)设b n＝log3a n，求数列{b n｝的前n项和S n.
解(1）设{a n｝的公比为q，依题意得
错误!解得错误!
因此，a n＝3n－1.
（2）因为b n＝log3a n＝n－1,
所以数列｛b n}的前n项和S n＝错误!＝错误!。

10.（2017·宁波十校联考）设｛a n｝是公比为q的等比数列。

(1）推导｛a n}的前n项和公式；
（2)设q≠1，证明数列｛a n＋1｝不是等比数列.
解(1)设｛a n｝的前n项和为S n，
当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1,①
qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②
①－②得，(1－q）S n＝a1－a1q n，
∴S n＝错误!，∴S n＝错误!
(2)假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
（a k＋1＋1)2＝（a k＋1)（a k＋2＋1），
a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，
a错误!q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，
∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾.
故数列{a n＋1｝不是等比数列。

能力提升题组
(建议用时：25分钟）
11。

在正项等比数列｛a n}中，已知a1a2a3＝4,a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则n等于（）
A。

12 B。

13 C。

14 D.15
解析设数列{a n}的公比为q，
由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a错误!q12，
可得q9＝3,a n－1a n a n＋1＝a错误!q3n－3＝324，
因此q3n－6＝81＝34＝q36，
所以n＝14，故选C。

答案C
12。

(2016·临沂模拟)数列｛a n｝中，已知对任意n∈N＊,a1＋a2＋a3＋…＋a n＝3n－1，则a错误!＋a错误!＋a错误!＋…＋a错误!等于( )
A.(3n－1)2B。

错误!（9n－1)
C。

9n－1 D.错误!(3n－1）
解析∵a1＋a2＋…＋a n＝3n－1,n∈N*,n≥2时，a1＋a2＋…＋a n－1＝3n－1－1，
∴当n≥2时，a n＝3n－3n－1＝2·3n－1，
又n＝1时，a1＝2适合上式，∴a n＝2·3n－1，
故数列｛a2n｝是首项为4，公比为9的等比数列。

因此a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＝错误!＝错误!(9n－1).
答案B
13.(2017·沈阳模拟)在等比数列｛a n}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是________。

解析当q〉0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≥1＋2错误!＝1＋2错误!＝3，当且仅当a1＝a3＝1时等号成立.
当q〈0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≤1－2错误!＝1－2错误!＝－1，
当且仅当a1＝a3＝－1时等号成立。

所以,S3的取值范围是(－∞，－1]∪∪[3,＋∞)
14。

（2015·四川卷)设数列{a n}（n＝1，2，3，…）的前n项和S n 满足S n＝2a n－a1,且a1，a2＋1,a3成等差数列.
（1）求数列｛a n｝的通项公式;
(2）记数列错误!的前n项和为T n，求使得|T n－1｜＜错误!成立的n的最小值.
解（1）由已知S n＝2a n－a1，
有a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1（n≥2），
即a n＝2a n－1（n≥2)，所以q＝2.
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，
所以a1＋4a1＝2（2a1＋1），解得a1＝2,
所以，数列｛a n}是首项为2,公比为2的等比数列，
故a n＝2n。

(2）由(1)得错误!＝错误!,
所以T n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＝1－错误!。

由｜T n－1|＜错误!，得错误!＜错误!，
即2n＞1 000，
因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，
于是，使|T n－1｜＜错误!成立的n的最小值为10.
15。

（2017.绍兴模拟）已知正项数列｛a n}的奇数项a1，a3，a5, (2)
－1
,…构成首项a1＝1的等差数列,偶数项构成公比q＝2的等比数列，且a1，a2,a3成等比数列，a4，a5,a7成等差数列.
（1)求数列｛a n}的通项公式；
(2)设b n＝a2n＋1
a2n，T n＝b1b2…b n，求正整数k，使得对任意n∈N*，均
有T k≥T n。

解（1)由题意：错误!设a1，a3,a5，…,a2k－1,…的公差为d，则a3＝1＋d，a5＝1＋2d，a7＝1＋3d,a4＝2a2，代入错误!
又a2>0，故解得｛a2＝2，，d＝3.
故数列｛a n}的通项公式为a n＝错误!
（2)b n＝错误!，显然b n>0，
∵b n＋1
b n＝错误!＝错误!〈1，
∴{b n}单调递减，又b1＝2，b2＝错误!，b3＝错误!，b4＝错误!,∴b1>b2〉b3〉1>b4〉b5>…，
∴k＝3时，对任意n∈N＊,均有T3≥T n。