初中数学《利用旋转添加辅助线》讲义及练习

板块 考试要求
A 级要求
B 级要求
C 级要求
全等三角形的性质及判
定
会识别全等三角形
掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题
会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题
基本知识
把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．
很明显，旋转变换具有以下基本性质：
①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．
旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．
重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后
证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点
难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。

为了能熟练的应用性
质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化
重、难点
知识点睛
中考要求
第十二讲
利用旋转添加辅助线
【例1】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．
D
E
C
B
A
【解析】 ∵ABC ∆是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =．
∴60BCD DCA ∠+∠=︒，同理60ACE DCA ∠+∠=︒，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ∆与ACE ∆ 中， BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴BCD ACE ∆∆≌，∴BD AE =．
【巩固】(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)如图，ABD ∆和CED ∆均为等边三角形，
AC BC =，AC BC ⊥．若2BE =，则CD = ．
图6
D
E
C
B
A
【解析】 31-．
易知CDB ∆≌CDA ∆≌EDB ∆，从而2BC AC BE ===，2AB =， 由CDA CDB ∠=∠知CD 是ABD ∆一条高的一部分，
不难算出答案为31-．
【例2】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，
记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．随x 、m 、n 的变化而变化
M
N
C
B
A
M
D
N
C
B
A
【解析】 如图，将CBN ∆绕点C 顺时针旋转90︒，得CAD ∆，连结MD ，
则AD BN n ==，CD CN =，ACD BCN =∠∠，
∴MCD ACM ACD =+∠∠∠ACM BCN =∠+∠904545MCN =-==∠． ∴MDC MNC ∆∆≌，∴MD MN x ==
又易得454590DAM ∠=+︒=，∴在Rt AMD ∆中，有222m n x +=，故应选(B )
例题精讲
【例3】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：
已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
图1
A
B
C
D
E
图2
A
B C
D
E
【解析】 ⑴ 2
2
2
DE BD EC =+
证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆ ∴AEC ABE '∆∆≌
∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ∆中 ∵AB AC =
∴45ABC ACB ∠=∠=︒ ∴90ABC ABE '∠+∠=︒ 即90E BD '∠=︒
∴222E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=︒
∴45BAD EAC ∠+∠=︒ ∴45E AB BAD '∠+∠=︒ 即45E AD '∠=︒
∴AED AED '∆∆≌ ∴DE DE '=
∴222DE BD EC =+
E'
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B A
⑵ 关系式2
2
2
DE BD EC =+仍然成立
证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌
∴AF AB =，FD DB =
FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =
∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒
()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=︒-∠-∠=︒+∠ ∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ∆∆≌
∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=︒ 180135AFD ABD ABC ∠=∠=︒-∠=︒
∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴在Rt DFE ∆中
222DF FE DE +=即222DE BD EC =+
【例4】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求
证：AH AB =．
C
H
F E
D B
A
C
H F
E
G
D B
A
【解析】 延长CB 至G ，使BG DF =，连结AG ，易证ABG ADF △≌△，BAG DAF =∠∠，AG AF =．
再证AEG AEF △≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AH AB =．
【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．
⑴求证：AF DF BE =+．
⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．
F
E
D
C B
A
G
A
B
C D
E
F
【解析】 ⑴ 证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG DF =，连结AG ．
因为ABCD 是正方形，所以在Rt ADF ∆和Rt ABG ∆中，AD AB =， 90ADF ABG ∠=∠=°，DF BG =． ∴Rt Rt (SAS)ADF ABG ∆∆≌， ∴AF AG =，DAF BAG ∠=∠． 又 ∵ AE 是BAF ∠的平分线． ∴EAF BAE ∠=∠，
∴DAF EAF BAG BAE ∠+∠=∠+∠． 即EAD GAE ∠=∠．
∵AD BC ∥，∴GEA EAD ∠=∠， ∴GEA GAE ∠=∠，∴AG GE =． 即AG BG BE =+．
∴AF BG BE =+，得证．
⑵ ADF ABE S S S ∆∆=+11
22
DF AD BE AB =⋅+⋅．
∵1AD AB ==，
∴()1
2
S DF BE =+
由⑴知，AF DF BE =+，
所以1
2
S AF =．
在Rt ADF ∆中，1AD =，DF x =，
∴AF =
∴S 由上式可知，当2x 达到最大值时，S 最大．而01x ≤≤， 所以，当1x =时，
S
．
【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C =90°，∠B =135°，K 、N 分别是AB 、BC 上的
点，若△BKN 的周长为AB 的2倍，求∠KDN 的度数．
N K D
C
B A
F
N
K
E
D
C
B A
【解析】 延长BC 至F ，使得CF =AB ，在CF 上取点E ，使得CE =AK ，连接BD 、DE 、DF ．
∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB =BC ∴Rt △ADB ≌Rt △CDB ∴AD =CD
∵AD =CD ，AK =CE ，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ∴△ADK ≌△CDE ∴DK =DE
∵BK +BN +KN =2AB ，BF =BN +EF +EN =2AB ，EF =CF -CE =AB -AK =BK ∴KN =EN
∴△NDK ≌△NDE
∴∠KDN =∠EDN =∠CDE +∠NDC =∠CDE +∠ADK
∵∠ABC =135° ∴∠KDN =
1
2
(180°-135°)=22．5° 点评：本题的辅助线可以看作是将△ADB 割下来，放到△CDF 处，从而将不规则的图形转化为规则的图形，进而利用线段之间的等量关系求解．
【例5】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，
120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M ，N 分别在直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长与等边ABC ∆的周长L 的关系．
图③图②
图①
A
B
C
D M
N
A
B
C
D M
N
N M D C
B
A
⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM =DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时
L
Q
=__________
⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN =x ，则Q =_________(用x ，L 表示)
【解析】 B M +NC =MN ;32=L
Q E
A
B
C D
M N
(2)猜想：仍然成立
证明：如图，延长AC 至E ，使CE =BM ，连接DE ,120BD CD BDC =∠=︒且， 30DBC DCB ∴∠=∠=︒
由ABC ∆是等边三角形，90MBD NCD ∴∠=∠=︒，()MBD ECD SAS ∴∆∆≌ ,DM DE BDM CDE ∴=∠=∠，60EDN BDC MDN ∴∠=∠-∠=︒ 在MDN ∆与EDN ∆中 DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪
∠=⎨⎪=⎩
()MDN EDN SAS ∴∆∆≌ MN NE NC BM ∴==+
AMN ∆的周长Q AM AN MN =++=()()AM BM AN NC +++=2AB AC AB += 而等边ABC ∆的周长3L AB = 23
Q L ∴= (3)2
23
x L +
【巩固】(1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，
且∠EAF =1
2∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋FD ;
F
E
D C
B
A
(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，
且∠EAF =
1
2
∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． F
E
D C
B
A
F E
D
C
B
A
(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线
上的点，且∠EAF =1
2
∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出
它们之间的数量关系，并证明．
G
F
E
D C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
【解析】 证明：延长EB 到G ，使BG =DF ，联结AG ．
∵∠ABG ＝∠ABC =∠D ＝90°， AB =AD ， ∴△ABG ≌△ADF ．
∴AG ＝AF ， ∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF =1
2
∠BAD ．
∴∠GAE =∠EAF ． 又AE =AE ，
∴△AEG ≌△AEF ． ∴EG =EF ． ∵EG =BE +BG ． ∴EF = BE ＋FD
(2) (1)中的结论EF = BE ＋FD 仍然成立．
(3)结论EF =BE ＋FD 不成立，应当是EF =BE －FD 证明：在BE 上截取BG ， 使BG =DF ，连接AG ． ∵∠B +∠ADC ＝180°， ∠ADF +∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，
∴△ABG ≌△ADF ．
∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．
∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD =∠EAF =1
2
∠BAD ．
∴∠GAE =∠EAF ． ∵AE =AE ，
∴△AEG ≌△AEF ． ∴EG =EF ∵EG =BE -BG
【例6】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，
EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．
O
B
E
C F A 4
3
2
1O
B E
C
F A
【解析】 连结OB 由上可知，1290+∠=︒∠，2390∠+=∠，13∠=∠，而445C =∠=︒∠，OB OC =．
∴OBE OCF ∆∆≌，∴BE FC =，∴BE BF CF BF BC a +=+==．
【巩固】等腰直角三角形ABC ，90ABC =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，45EOF =︒∠，试猜想，BE 、BF 、
EF 三者的关系．
O
B
E C F
A O
B E
G C F A
【解析】 如图，过点O 作OG OE ⊥，交BC 于G ，连结OB ，易知OGC OBE ∆∆≌，
∵BE CG =，又∵EO OG =，45EOF FOG =∠=∠，OF OF =， ∴OEF OGF ∆∆≌，∴EF FG =
∴BE BF EF CG BF FG AB a ++=++==
又∵90B =︒∠，∴BE 、BF 、EF 又存在另一关系式222BF BE EF +=
【例7】 如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP ⊥AQ ，交AQ 于R ，
交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP ⊥OQ ．
Q
R
P
O
D C
B
A
【解析】 欲证OP ⊥OQ ，即证明∠COP +∠COQ =90°．然而，∠COQ +∠QOD =90°，因此只需证明
∠COP =∠DOQ 即可．这归结为证明△COP ≌△DOQ ，又归结为证明CP =DQ ，最后，再归结为证明△ADQ ≌△DCP 的问题．
证 在正方形ABCD 中，因为AQ ⊥DP ，所以，在Rt △ADQ 与Rt △RDQ 中有∠RDQ =∠QAD ．所以，在Rt △ADQ 与Rt △DCP 中有AD =DC ，∠ADQ =∠DCP =90°，∠QAD =∠PDC ， 所以△ADQ ≌△DCP (ASA )，DQ =CP ．
又在△DOQ 与△COP 中，DO =CO ，∠ODQ =∠OCP =45°， 所以△DOQ ≌△COP (SAS )，∠DOQ =∠COP ．
从而∠POQ =∠COP +∠COQ =∠DOQ +∠COQ =∠COD =90°， 即OP ⊥OQ ．
说明 (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边成45°角，及OA =OB =OC =OD 等均在推证全等三角形中被用到．
(2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技巧．
【巩固】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．
5
432
1
O
H
B
E D
K G C
F
A
【解析】 正方形ABCD 中，1245∠==︒∠，OA OB =
而3490∠+=︒∠，4590∠+=︒∠ ∴35=∠∠，∴AOE BOF ∆∆≌
∴AE BF =，∴AE FC BF FC BC AB +=+==
【例8】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且
EA AF ⊥． 求证：DE BF =．
D C
B
E
F
A
【解析】 证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AB AD =，
90BAD ADE ABF ︒∠=∠=∠=．因为EA AF ⊥，
所以90BAF BAE BAE DAE ︒
∠+∠=∠+∠=，所以
BAF DAE ∠=∠，故Rt ABF ∆≌Rt ADE ∆，故DE BF =．
【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD
的面积是16，求DP 的长．
P
D
C B
A
A
B
C
D
E
P
【解析】 如图，过点D 作DE DP ⊥，延长BC 交DE 于点E ，容易证得ADP CDE ∆∆≌(实际上就是把ADP
∆
逆时针旋转90︒，得到正方形DPBE )
∵正方形DPBE 的面积等于四边形ABCD 面积为16，∴4DP =．
【例9】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．
M D N
E
C B
F
A
【解析】 ∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，
∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =
【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．
【巩固】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC
于M ，N 点．求证：CM CN =．
N
M
E
D
C
B
A
【解析】 ∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形
∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒ ∵B ，C ，E 三点共线
∴180BCD DCE ∠+∠=︒，180BCA ACE ∠+∠=︒ ∴120BCD ACE ∠=∠=︒ 在BCD ∆与ACE ∆中 BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴BCD ACE ∆∆≌， ∴CAN CBM ∠=∠
∵120BCD ACE ∠=∠=︒，60BCM NCE ∠=∠=︒ ∴60ACD ∠=︒
在BCM ∆与ACN ∆中 60BC AC BCM ACN CBM CAN =⎧⎪
∠==︒⎨⎪∠=∠⎩
∴BCM ACN ∆∆≌，∴CM CN =．
【巩固】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．
M D N
E
C B
F
A
G
M H D N
E
C B
F A
【解析】 过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，
利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =，故CF 平分AFB ∠．
【巩固】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．
请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；
⑶CF 平分AFB ∠．
M D N
E
C B
F
A
【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．
60MCN ∠=与三角形各内角相等，
及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：AFC BFC ∠=∠；
AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥
ACN MCB ∆∆≌，ADC MCE ∆∆≌，NDC BEC ∆∆≌； DEC ∆为等边三角形．
⑴∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，
∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =
⑵由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=， 进而可得DEC ∆为等边三角形．易得DE AB ∥．
⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，
利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．
【例10】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，
求证：CDE ∆是等边三角形．
M D
N
E
C
B
A
【解析】 ∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠ 又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，
∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠
∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ∆是等边三角形
【巩固】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和
CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )
P
M
B
C D
E
A
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．非等腰三角形
【解析】 易得ACD BCE ∆∆≌．所以BCE ∆可以看成是ACD ∆绕着点C 顺时针旋转60︒而得到的．又M 为
线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得．所以CP CM =且，60PCM ∠=°，故CPM ∆是等边三角形，选C ．
【例11】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD 互相平分．
F
E
D
B
C
A
【解析】 连接DE 与DF
∵DBA EBC ∠=∠，BAD CAF ∠=∠ ∴DBE ABC ∠=∠，BAC DAF ∠=∠ ∴在DBE ∆与ABC ∆中 DB AB DBE ABC BE BC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴(SAS)DBE ABC ∆∆≌ ∴DE CA FC == 在D FA ∆与BCA ∆中 DA BA DAF BAC AF AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴(SAS)DFA BCA ∆∆≌ ∴DF BC EC ==
∴DECF 为平行四边形， ∴EF ，CD 互相平分．
【例12】 已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：
HBD ∆也是等边三角形．
E
K
H
C
D
B
A
M
A
B D
C
H K
E
【解析】 连结EB ，∵CE CD =，CE EA =，BE AD =，
所以BE AD =，并且BE 与AD 的夹角为60︒， 延长EB 交AK 于M ，
则360300EBH BHD HDE BED HDM MDE MED ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠-∠ ()180********HDM MDE MED HDM HDK =︒-∠+︒-︒-∠-∠=︒-∠=．
又因为HK AD BE ==，BH HD =． 所以BEH DKH ∆∆≌． 所以HK HE =，
EHD EHD DHK BHE ∠=∠+∠=∠．
【例13】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，
其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =
M E
F
H
G
D C
B
A
【解析】 证明△ABH ≌△AFC ;(2)作P MD FP 于⊥，Q MD HQ 于⊥，先证△AFP ≌△BAD ，△
ACD ≌△HAQ ，再证△FPM ≌△HQM
【巩固】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求
证：AE CG =．
G F
E D
C
B
A
【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠
∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ∆和ADE ∆中 CD AD CDG ADE DG DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴CDG ADE ∆∆≌ ∴AE CG =
【巩固】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE =BG ，且CE ⊥BG ．
O
G
F
E
D
C
B
A 【解析】 易证△AEC ≌△ABG ，故∠ACE =∠AG
B ，又A
C ⊥AG ，∠AOG =∠BOC ，故CE ⊥BG ．
【例14】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，
AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．
E
D
C
B
A
F E
D
C
B
A
【解析】 我们马上就会想到连接AC 、AD ，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面
积并不容易，至此思路中断． 我们回到已知条件中去，注意到1BC DE +=，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把BC 拼接到DE 的一端且使EF BC =呢(如图所示)？据此，连接AF ，则发现ABC ∆≌AEF ∆，且1FD =，AF AC =，AE AB =，ADF ∆是底、高各为1的
三角形，其面积为1
2
，而ACD ∆与AFD ∆全等，从而可知此五边形的面积为1．
【巩固】(江苏省数学竞赛试题)如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，
AB =CD =AE =BC +DE =2．求该五边形的面积．
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【解析】 延长CB 至F ，使得BF =DE ，连接AF 、AC 、AD ．
∵∠ABC =∠AED =90°，AB =AE ，BF =DE ∴△ABF ≌△AED ∴AF =AD
∵CD = BC +DE =BC +BF =CF ，AC =AC ∴△ACF ≌△ACD ∵AB =CD =CF =2
∴该五边形的面积为16．
点评：本题可看作将五边形ABCDE 分割成三块，通过割补重新组合成一个规则的图形．
【巩固】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，
180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【解析】 连接AC ．由于AB AE =，180ABC AED ∠+∠=．
我们以A 为中心，将ABC ∆逆时针旋转到AEF ∆的位置．因AB AE =，所以B 点与E 点重合，而180AEF AED ABC AED ∠+∠=∠+∠=，
所以D 、E 、F 在一条直线上，C 点旋转后落在点F 的位置，且AF AC =，EF BC =． 所以DF DE EF DE BC CD =+=+=． 在ACD ∆与AFD ∆中，
因为AC AF =，CD FD =，AD AD =， 故ACD ∆≌AFD ∆，
因此ADC ADF ∠=∠，即AD 平分CDE ∠．
【例15】 (2008山东)在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，
试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．
A
B
C
D
E F
E D
C
B
A
【解析】 延长BE 交CD 延长线于点F ．
E ∵是AD 中点，DE AE =∴，
AB CD ∵∥，90A ∠=︒，90EDF EAB ∠=∠=︒∴，ABE DFE ∠=∠ 在AEB ∆和FED ∆中， ABE DFE EAB EDF AE DE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∵ AEB FED ∆∆∴≌，FE BE =∴
又2,3,1AB BC CD ===∵，CF BC =∴ 在FCE ∆和BCE ∆中， FC BC CE CE FE BE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∵ FCE BCE ∆∆∴≌，CE EB ⊥∴
【习题1】如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD
+相等的理由．
E
D
C
B
A
【解析】 ∵AC AB =，CAE BAD ∠=∠，AE AD =
∴AEC ADB ∆∆≌ ∴CE BD =
又∵BD BC CD AC CD =+=+ ∴CE AC CD =+
【习题2】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意
一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．
F
E
D
C
B
A
【解析】 ∵ADC EDF ∠=∠
∴ADE CDF ∠=∠ 在ADE ∆和CDF ∆中 DAE DCF AD CD
ADE CDF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴ADE CDF ∆∆≌ ∴DE DF =
【习题3】如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数．
Q P D
C
B
A
Q
P F
D
C
B
A
【解析】 把△CDQ 绕点C 旋转90°到△CBF 的位置，CQ =CF ．
∵AQ +AP +QP =2，
家庭作业
又AQ +QD +AP +PB =2，∴QD +BP =QP ．
又DQ =BF ，∴PQ =PF ．∴QCP FCP ∆∆≌．∴∠QCP =∠FCP ． 又∵∠QCF =90°，∴∠PCQ =45°．
【习题4】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、
MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．
H
G N
M C B
A
【解析】 由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =．
【备选1】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC
∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
N
M D
C
B
A N
M E
D C B
A
【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =．
在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =．
因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=． 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=．
在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，D M D E =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2．
【备选2】在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，
MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．
月测备选
A
P
M
C
Q B
A
P M
C Q
B
【解析】 连接CM ．因为AC BC =且90ACB ∠=，所以45B ∠=．
因为M 是AB 的中点，所以90AMC BMC ∠=∠=，45ACM ∠=且CM BM =，则ACM B ∠=∠． 因为MQ MP ⊥，所以90QMC CMP PMB ∠=-∠=∠，所以QCM PBM ∆∆≌， 所以QM PM =．因此MPQ ∆是等腰直角三角形，在P 的运动过程中形状不变． MPQ ∆的面积与边MP 的大小有关．当点P 从B 出发到BC 中点时，面积由大变小； 当P 是BC 中点时，三角形的面积最小；P 继续向点C 运动时，面积又由小变大．
【备选3】如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．
F
E
D C
B
A F
E
D
M
C
B
A
【解析】 延长CB 至M ，使得BM D F =，连接AM ．
易证得：ABM ADF ∆∆≌，从而可得：AFD BAF EAF BAE BAM BAE EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， AM B EAM ∠=∠，故AE EM BE BM BE DF ==+=+．
【备选4】等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一
点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．
D
F
E C
B
A
【解析】 由条件1AE CF +=，且1DF CF +=，得AE DF =．
因为AB DB =，60A BDF ∠=∠=，所以ABE DBF ∆∆≌， 因此BE BF =，ABE DBF ∠=∠．
因为60EBF EBD DBF EBD ABE ABD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=， 所以BEF ∆为等边三角形．。