近年高考数学一轮复习第九章平面解析几何第七节抛物线作业本理(2021年整理)

（北京专用）2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第七节抛物线作业本理
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第七节抛物线
A组基础题组
1.抛物线y=4ax2(a≠0）的焦点坐标是( )
A.(0,a)
B.（a,0)
C.D。

2。

设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ）
A。

B.1 C。

D.2
3。

（2017北京朝阳一模,5）设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足。

若直线AF的斜率为-,则|PF｜=（）
A。

4 B.6 C.8 D.16
4。

已知抛物线y2=2px(p>0）,过其焦点且斜率为—1的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB
的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( ）
A。

x=1 B.x=2 C。

x=-1 D.x=—2
5.在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线y2=4x上,且满足·=-4,点F是抛物线的焦点，设△OFA，△OFB的面积分别为S1,S2，则S1·S2等于( )
A.2 B。

C.3 D.4
6.如图所示,已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点。

(1）若线段AB的中点在直线y=2上，求直线l的方程；
(2）若线段｜AB|=20,求直线l的方程.
7.(2017北京西城二模，18）在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点，对称轴为x 轴,且经过点P（1，2).
（1）求抛物线C的方程;
（2)设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，｜PM|=|PN|，求直线AB 的斜率.
B组提升题组
8。

已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点。

若=4，则|QF|=（）
A。

B。

3 C。

D。

2
9.过抛物线y2=2px(p〉0）的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点,如果|BF|=3，｜BF|>｜AF｜,∠BFO=，那么｜AF｜的值为（)
A.1 B。

C。

3 D。

6
10.过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且AB⊥CD,则
·+·的最大值等于( )
A.-4 B。

-16 C.4 D。

-8
11。

若双曲线-=1(a>0,b>0）截抛物线y2=4x的准线所得线段的长为b,则a= . 12.(2017北京东城二模，13）在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，其中点A在x轴上方。

若直线l的倾斜角为60°，则｜OA|= 。

13。

(2017北京顺义二模,13）已知抛物线y2=2px(p〉0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且｜AB｜=2，则p的值为。

14。

已知抛物线C：y2=2px(p>0),其焦点为F，O为坐标原点,直线AB（不垂直于x轴）过点F，且与抛物线C交于A，B两点,直线OA与OB的斜率之积为—p。

(1）求抛物线C的方程;
(2)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证：〉2。

答案精解精析
A组基础题组
1。

C 将y=4ax2（a≠0）化为标准方程是x2=y(a≠0）,所以焦点坐标为，所以选C。

2。

D 由题意得点P的坐标为(1，2).把点P的坐标代入y=(k>0)得k=1×2=2，故选D.
3。

C 因为抛物线y2=8x,所以p=4，故F（2，0），准线l:x=-2，
设P（x0，y0),则A（-2，y0),k AF=—，因为直线AF的斜率为—，所以-=—，故y0=4，则x0==6,
故P（6,4），所以|PF｜==8。

4.C 由题可知焦点为，∴直线AB的方程为y=—，与抛物线方程联立得
消去y，得4x2—12px+p2=0,设A(x1,y1)，B（x2，y2)，则x1+x2=3p.∵线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.
5。

A 由题意得抛物线的焦点坐标为(1,0），设A（x1，y1）,B（x2,y2）,则S1·S2=|y1y2|，由·=—4得x1x2+y1y2=-4。

又因为点A(x1,y1）,B（x2,y2)在抛物线y2=4x上,所以
(y1y2)2+y1y2=—4，解得y1y2=-8，所以S1·S2=|y1y2｜=2,故选A。

6.解析（1)由已知得抛物线的焦点为F（1,0）.
因为线段AB的中点在直线y=2上，所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k，A(x1，y1）,B （x2,y2)，AB的中点为M(x0，y0）,则
由得(y1+y2)（y1-y2）=4(x1—x2）,所以2y0k=4.
又y0=2，所以k=1，
故直线l的方程是y=x—1。

（2）设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消去x,整理得y2—4my-4=0，所以y1+y2=4m,y1y2=—4,Δ=16(m2+1)>0.
｜AB|=|y1-y2｜
=·
=·
=4(m2+1)。

所以4（m2+1)=20,解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1，即x±2y-1=0.
7。

解析(1）依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a≠0）。

由抛物线C经过点P(1,2），得a=4,
所以抛物线C的方程为y2=4x。

（2）因为｜PM｜=｜PN｜，所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,
所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0.
易知直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y—2=k(x-1)（k≠0).
将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2-2（k2-2k+2）x+k2—4k+4=0，
设A(x1,y1）,则1×x1==，
所以y1=k(x1—1)+2=—2，
所以A。

用-k替换点A坐标中的k，得B.
所以k AB==—1。

所以直线AB的斜率为—1。

B组提升题组
8。

B ∵=4,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|QF｜=|QM｜，设抛物线的准线l与x轴的交点为N，则|FN｜=4,又易知△PQM∽△PFN，则
=，即=。

∴|QM｜=3,即｜QF|=3。

故选B.
9。

A 易得该直线的斜率为,F，则直线方程为y=,联立得整理得3x2-5px+=0，即(2x-3p)（6x—p）=0.
因为｜BF|>|AF|,所以x B=p，x A=,
因为｜BF｜=3，所以x B+=2p=3,所以 p=，
所以|AF｜=x A+=p=1。

故选A。

10。

B 依题意可得，·
=—（||·｜｜)。

因为|｜=y A+1,||=y B+1,
所以·=—(y A y B+y A+y B+1).
设直线AB的方程为y=kx+1（k≠0),
联立x2=4y，可得x2—4kx—4=0,
所以x A+x B=4k，x A x B=-4。

所以y A y B=1，y A+y B=4k2+2。

所以·=—(4k2+4).
同理,·=—.
所以·+·=—≤—16.
当且仅当k=±1时等号成立.
11。

答案
解析设双曲线与抛物线的准线的交点分别为A，B,A在x轴上方，B在x轴下方.由抛物线方程可知准线方程为x=-1,由得A,B，∴｜AB｜
==b，即2=a,解得a=(负值舍去）。

12.答案
解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0），准线方程为x=-1，设点A（x 0，y0）（y0〉0),因为直线l的倾斜角为60°,所以x0+1=2（x0—1）,解得x0=3，∴y0=2,∴｜OA｜==。

13。

答案4或8
解析抛物线y2=2px的准线l：x=—，
圆的方程可化为(x+3）2+y2=4，圆心为(—3，0）,半径r=2。

由|AB｜=2,得圆心到l的距离d==1,
∴-=—2或—4,即p=4或8.
14。

解析(1）由题意知抛物线的焦点为F.
设A（x1，y1）,B(x2,y2），直线AB（不垂直于x轴)的方程为y=k（k≠0)，
所以=2px1，=2px2（p>0).
因为直线OA与OB的斜率之积为-p，
所以=—p.
所以=p2,
所以x1x2=4。

由消y，得k2x2—(k2p+2p）x+=0.
其中Δ=(k2p+2p）2-k4p2〉0,
所以x1x2=,x1+x2=.所以=4，
所以p=4,抛物线C的方程为y2=8x。

(2）证明：设M(x0,y0),D（x3,y3），因为M为线段AB的中点,
所以x0=(x1+x2）==，y0=k（x0-2)=.
所以直线OD的斜率为k OD==，直线OD的方程为y=k OD·x=，将其代入抛物线C:y2=8x 的方程,得x3=。

所以=k2+2。

因为k2〉0，
所以==k2+2〉2。