高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元质量评估

"【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元质量评估
课时作业 新人教A 版选修2-1 "
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.(2021·长沙高二检测)抛物线x 2=4y 的核心坐标为( ) A.(0,-1)
B.(0,1)
C.(1,0)
D.(-1,0)
【解析】选B.由题意知p=2,且核心在y 轴正半轴上,选B.
2.(2021·江西高考)过双曲线C:x 2a 2-y 2
b 2=1的右极点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.假设以C 的右核心为
圆心、半径为4的圆通过A,O 两点(O 为坐标原点),那么双曲线C 的方程为 ( ) x 24y 212=1 x 27y 29=1 x 28y 2
8
=1
x 212y 2
4
=1 【解题指南】设右核心为F,|OF|=|AF|=4.
【解析】选A.设右核心为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b 2=16, 故a=2,b 2=12,因此方程为x 24-y 2
12
=1.
3.假设抛物线的准线方程为x=-7,那么抛物线的标准方程为( ) =-28y =28x =-28x
=28y
【解析】选B.由准线方程为x=-7,因此可设抛物线方程为y 2=2px(p>0),由
p 2
=7,因此p=14,故方程为y 2=28x.
【变式训练】抛物线y=2x 2的准线方程为( )
=18
=-18
=1
2 =-1
2
【解析】选B.由y=2x 2,得
x 2=
12
y,因此p=14,p 2=18
,故准线方程为y=-18
.
4.(2021·温州高二检测)“m>0”是“方程x 23+
y 2m
=1表示椭圆”的( )
A.充分没必要要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.
x 23+
y 2m
=1表示椭圆的充要条件是m>0且m ≠3.应选B.
5.假设椭圆
x 216+
y 2
b 2
=1过点(-2,√3),那么其焦距为( )
√5
B.2
√3
√5
【解析】选 C.由椭圆过点(-2,√3),因此(−2)216
+
(√3)2b
2
=1,解得b 2=4,因此c 2=a 2-b 2=12,因此
c=2√3,2c=4√3.
6.设F 1,F 2是椭圆E:x 2a
2+y 2
b
2=1(a>b>0)的左、右核心,P 为直线x=3a
2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三
角形,那么E 的离心率为( ) A.12
B.23
C.34
D.45
【解析】选C.设直线x=
3a 2与x 轴交于点M,那么∠PF 2M=60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c,F 2M=
3a 2
-c,
故cos60°=
F 2M PF 2
=
3
2
a −c 2c
=12
,解得c a =34
,故离心率e=34
.
7.(2021·邯郸高二检测)设双曲线x 2a
2-y 2
b
2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2√3,那么双曲线的渐近线方程
为( )
=±
√22
x
=±√2x
1
=±
2x =±2x
【解析】选A.由{2b =2,2c =2√3,得{b =1,
c =√3,
因此a=√c 2−b 2=√2,
因此双曲线的方程为
x 22
-y 2=1,
因此渐近线方程为y=±
√22
x.
8.(2021·唐山高二检测)已知双曲线x 2a
2-y 2
b
2=1(a>0,b>0)的左、右核心别离为F 1,F 2,以|F 1F 2|为直径的圆与双
曲线渐近线的一个交点为(3,4),那么此双曲线的方程为
( )
x 29y 216=1
x 23y 24
=1
x 216y 29
=1
x 24y 23
=1
【解析】选A.以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2,点(3,4)在圆上,可得c 2=25,又双曲线的渐近线方程为
y=±b a
x,又过点(3,4),因此有b a =43
,结合a 2+b 2=c 2=25,得a 2=9,b 2=16,因此双曲线的方程为
x 29-
y 2
16
=1.
9.(2021·重庆高考)设双曲线C 的中心为点O,假设有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,其中A 1,B 1和A 2,B 2别离是这对直线与双曲线C 的交点,那么该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(2√33
,2]
B.[
2√33,2) C.(
2√33
,+∞)
D.[
2√33
,+∞)
【解题指南】依照双曲线的对称性找到渐近线与直线A 1B 1和A 2B 2的斜率之间的关系即可.
【解析】选A.由题意知,直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称,又所成的角为60°,因此直线方程为y=±√33
x 或
y=±√3x.又因为有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2
|,因此渐近线斜率知足
√33
<b a
≤√3,解得
2√33
<e ≤2.应选A.
10.(2021·北京高二检测)设a>b>0,k>0且k ≠1,那么椭圆C 1:x 2a 2+y 2
b
2=1和椭圆C 2:x 2a
2+y 2
b
2=k 具有相同的
( ) A.极点 B.焦点 C.离心率
D.长轴和短轴
【解析】选C.椭圆C 2:x 2a 2+y 2
b
2=k,即x 2ka
2+
y 2
kb
2=1,
离心率e 22=ka 2−kb 2ka 2=a 2
−b 2
a 2
=e 12
. 11.(2021·江西高考)已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的核心为F,直线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,那么|FM|∶|MN|=( ) ∶√5
∶2
∶√5
∶3
【解题指南】由抛物线的概念把|FM|转化为点M 到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.
【解析】选C.设直线FA 的倾斜角为θ,因为F(0,1),A(2,0),因此直线FA 的斜率为-12
,即tan θ=-1
2
,过点M 作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线概念得|FM|=|MQ|,在△MQN 中|MQ ||QN |=12
,可得
|MQ ||MN |=
√5
,即|FM|∶
|MN|=1∶√5.
12.(2021·扬州高二检测)假设椭圆C:mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n)与直线l :x+y-1=0交于A,B 两点,过原
点与线段AB 中点的直线的斜率为
√22
,那么
m n
=( )
B.12
C.√2
D.
√22
【解析】选D.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点M(x 0,y 0),
{mx 2+ny 2=1,x +y −1=0
⇒(m+n)x 2-2nx+n-1=0, x 1+x 2=
2n
m +n
,x 0=
x 1+x 22
=
n
m +n
,y 0=1-x 0=
m
m +n
.
由k OM =
√22
,得
y 0x 0
=
√22
,又
y 0x 0=
m n
,因此
m n
=
√22
.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.(2021·山东高考)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a
>0,b >0)的焦距为
2c,右极点为A,抛物线
x 2=2py (p
>0)的核心为F,假设双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA |=c,那么双曲线的渐近
线方程为 .
【解题指南】此题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为冲破口求出a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】由题意知p
2
=√c 2
−a 2=b,
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为(c ,−
p 2
),
即(c ,−b ),代入双曲线方程为c 2a 2-b 2
b 2=1,得
c 2
a 2=2,
因此b a =√c 2
a 2
−1=1,因此渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
14.(2021·兰州高二检测)已知点P(a,0),假设抛物线y 2=4x 上任一点Q 都知足|PQ|≥|a|,那么a 的取值范围是 .
【解析】关于抛物线y 2=4x 上任一点Q 都知足|PQ|≥|a|,假设a ≤0,显然适合;假设a>0,点P(a,0)都知足|PQ|≥|a|,确实是a 2≤(a −y 2
4
)
2
+y 2,解得0<a ≤2.综上知:实数a 的取值范围是a ≤2.
答案:a ≤2
15.假设椭圆x 2a
2+y 2
b
2=1(a>b>0)的两核心关于直线y=x 的对称点均在椭圆内部,那么椭圆的离心率e 的取
值范围为 .
c2 b2<1,得
c2
a2−c2<1,
【解析】由已知得两核心为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,那么
e 2
1−e
2<1,解得0<e<
√22
,因此e ∈(0,
√22
).
答案:(0,
√22
)
16.(2021·青岛高二检测)已知椭圆
x 24
+
y 22
=1,过点P(1,1)作直线l ,与椭圆交于A,B 两点,且点P 是线段AB 的
中点,那么直线l 的斜率为 .
【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),那么{
x 1
24
+y 12
2=1,①
x 2
24+
y 2
22
=1,②
①-②,得(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)
2
=0,
又点P(1,1)是AB 的中点, 因此x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,
因此2(x 1−x 2)4+2(y 1−y 2)2=0,
从而
x 1−x 2
2
+y 1-y 2=0,
又x 1≠x 2,因此直线l 的斜率k=
y 1−y 2x 1−x 2
=-12
.
答案:-12
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)
17.(10分)设抛物线y 2=2px(p>0),Rt △AOB 内接于抛物线,O 为坐标原点,AO ⊥BO,AO 所在的直线方程为y=2x,|AB|=5√13,求抛物线方程.
【解题指南】依照AO ⊥BO,直线AO 的斜率为2,可知直线BO 的斜率为-12
,进而得出直线BO 的方程.把这
两条直线方程代入抛物线方程,别离求出A,B 的坐标.依照两点间的距离为5√13求得p. 【解析】因为AO ⊥BO,直线AO 的斜率为2, 因此直线BO 的斜率为-12
,即方程为y=-12
x,
把直线y=2x 代入抛物线方程解得A 坐标为(
p 2
,p ),
把直线y=-12
x 代入抛物线方程解得B 坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5√13, 因此(
p 2
)
2+p 2+64p 2+16p 2=25×13,因此p 2=4,
因为p>0,因此p=2.故抛物线方程为y 2=4x.
18.(12分)(2021·郑州高二检测)已知通过点A(-4,0)的动直线l 与抛物线G:x 2=2py(p>0)相交于B,C,当直线
l 的斜率是1
2时,AC →
=1
4
AB →
.
(1)求抛物线G 的方程.
(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b,求b 的取值范围.
【解析】(1)设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),由已知当
k l =1
2时,l 方程为y=1
2(x+4),即x=2y-4.由{x 2=2py ,
x =2y −4,
得2y 2-(8+p)y+8=0,因此
{
y 1y 2=4,y 1+y 2=
8+p 2
,
又因为AC →
=14AB →
,因此y 2=1
4y 1或y 1=4y 2. 由p>0得:y 1=4,y 2=1,p=2,即抛物线方程为x 2=4y. (2)设l :y=k(x+4),BC 中点坐标为(x 0,y 0),
由{x 2=4y ,
y =k (x +4)
得x 2-4kx-16k=0.①
因此x 0=
x 1+x 22
=2k,y 0=k(x 0+4)=2k 2+4k.
因此BC 的中垂线方程为
y-2k 2-4k=-
1k
(x-2k),
因此BC 的中垂线在y 轴上的截距为b=2k 2+4k+2=2(k+1)2, 关于方程①由Δ=16k 2+64k>0得k>0或k<-4. 因此b ∈(2,+∞).
【变式训练】(2021·潍坊高二检测)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l 与抛物线y 2=2px(p>0)交于不同的两点A,B,试确信实数a 的取值范围,使|AB|≤2p. 【解析】由题意知,直线l 的方程为y=x-a, 将y=x-a 代入y 2=2px, 得x 2-2(a+p)x+a 2=0.
设直线l 与抛物线的两个交点的坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则{4(a +p )2−4a 2>0,
x 1+x 2=2(a +p ),x 1x 2=a 2.
又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,
因此|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2
=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√8p (p
+2a ).
因为0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0, 因此0<√8p (p +2a )≤2p.
解得-p 2
<a ≤-p
4.
故a ∈(−
p 2
,−p
4]时,有|AB|≤2p.
19.(12分)设椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a>b>0)的左、右极点别离为A,B,点P 在椭圆上且异于A,B 两点,O 为坐标原
点.
(1)假设直线AP 与BP 的斜率之积为-12
,求椭圆的离心率.
(2)假设|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 知足|k|>√3. 【解析】(1)设点P 的坐标为(x 0,y 0).
由题意得,x 02a 2+y 0
2b
2=1.①
由A(-a,0),B(a,0),得k AP =
y 0
x 0+a
,k BP =
y 0
x 0−a
.
由k AP ·k BP =- 12
,可得x 02
=a 2-2y 02,代入①并整理得(a 2-2b 2)y 0
2=0.
由于y 0≠0,故a 2=2b 2.于是e 2=
a 2−
b 2
a 2
=12
,因此椭圆的离心率e=
√22
.
(2)依题意,直线OP 的斜率存在,设直线OP 的方程为y=kx,点P 的坐标为(x 0,y 0).
由条件得{y 0=kx 0,
x 02a
2+y 0
2
b
2=1,
消去y 0并整理得x 02
=a 2b 2
k 2a 2+b
2. ② 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y 0=kx 0,
得(x 0+a)2+k 2x 02=a 2.整理得(1+k 2)x 02
+2ax 0=0.而x 0≠0, 于是x 0=
−2a
1+k
2,代入②,整理得(1+k 2)2=4k
2
(a b
)
2
+4.
由a>b>0,故(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,因此k 2>3.因此|k|>√3.
【一题多解】依题意,直线OP 的方程为y=kx,可设点P 的坐标为(x 0,kx 0),由点P 在椭圆上,有x 02a 2+k 2
x 0
2
b 2=1.
因为a>b>0,kx 0≠0,因此x 02a 2+k 2
x 0
2
a
2<1,即(1+k 2)x 02<a 2.③由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x 0+a)2+k 2x 02=a 2,整理
得(1+k 2)x 02+2ax 0=0,于是x 0=−2a 1+k 2.代入③,得(1+k 2)4a 2(1+k 2)
2<a 2,解得k 2>3,因此|k|>√3.
20.(12分)(2021·西安高二检测)已知双曲线C:x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2√3
3,过点A(0,-b)和B(a,0)
的直线与原点的距离为
√32
.
(1)求双曲线C 的方程.
(2)直线y=kx+m(km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C,D,且C,D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范围.
【解析】(1)依题意
{
c a =2√33
,
√a 2+b 2=√32
,
a 2+
b 2=
c 2,
解得a 2=3,b 2=1.
因此双曲线C 的方程为
x 23
-y 2=1.
(2){y =kx +m ,
x 2
3
−y 2
=1,
消去y 得,
(1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0,
由已知:1-3k 2≠0且Δ=12(m 2+1-3k 2)>0⇒m 2+1>3k 2 ① 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 的中点P(x 0,y 0), 那么x 0=
x 1+x 22
=
3km
1−3k
2,y 0=kx 0+m=
m
1−3k
2,
因为AP ⊥CD,
因此k AP =m
1−3k
2+1
3km 1−3k
2
−0=m +1−3k 2
3km =-1k ,
整理得3k 2=4m+1 ②, 联立①②得m 2-4m>0,
因此m<0或m>4,又3k 2=4m+1>0, 因此m>-14
,因此-14
<m<0或m>4.
【变式训练】已知椭圆C:x 2a
2+y 2
b
2=1(a>b>0)的离心率e=1
2,短轴长为2√3.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)从定点M(0,2)任作直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B,记线段AB 的中点为P ,试求点P 的轨迹方程.
【解析】(1)由已知得{
e =c a
=12
,
2√3=2b ,a 2
=b 2
+c 2
⇒a=2,b=√3,那么椭圆方程为
x 24
+
y 23
=1.
(2)设P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 假设直线l 与x 轴垂直,那么P(0,0).
假设直线l 与x 轴不垂直,设直线l 的方程为y=kx+2(k ≠0).
由{x 2
4
+
y 23
=1,
y =kx +2
⇒(3+4k 2)x 2+16kx+4=0 ①
则{
2x =x 1+x 2=−16k
3+4k 2,y =kx +2,
将其消去k, 得
3x 24
+(y-1)2=1,
由①中Δ=(16k)2-16(3+4k 2)>0,解得k 2>
14
,
那么x=
−8k
3+4k
2=
−8
4k +3k
∈[−2√33,0)∪(0,
2√33
],
y=
−8k
2
3+4k
2+2=
6
3+4k
2∈
(0,32
),
综上,所求点P 的轨迹方程为
3x 24
+(y-1)2=1(y ∈[0,3
2
)).
21.(12分)已知点F 1,F 2别离是椭圆C:x 2a 2+y 2
b
2=1(a>b>0)的左、右核心,A 是椭圆C 的上极点,B 是直线AF 2
与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°. (1)求椭圆C 的离心率.
(2)已知△AF 1B 的面积为40√3,求a,b 的值.
【解析】(1)由题意知△AF 1F 2为正三角形,a=2c,e=c a =1
2
.
(2)直线AB 的方程为y=-√3(x-c),
{x 2
a 2
+
y 2b
2
=1,
y =−√3(x −c )
⇒(3a 2+b 2)x 2-6a 2cx+3a 2c 2-a 2b 2=0①
由a=2c,得a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2. 代入①中得
5x 2-8cx=0,x=0
或x=
8c 5
,
得A(0,√3c),B (
8c 5
,−
3√35
c ).|AB|=
16c 5
.
由△AF 1B 的面积为40√3,得12
|AB||AF 1|sin60°=40√3,
12·
16c 5
·a ·
√32
=40√3,由a=2c,得a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2.解得c=5,a=10,b=5√3.
22.(12分)(2021·北京高二检测)已知A,B 是椭圆
x 24
+
y 23
=1的左、右极点,椭圆上异于A,B 的两点C,D 和x
轴上一点P ,知足AP →
=
13
AD →
+2
3
AC →
.
(1)设△ADP ,△ACP ,△BCP ,△BDP 的面积别离为S 1,S 2,S 3,S 4,求证:S 1S 3=S 2S 4. (2)设P 点的横坐标为x 0,求x 0的取值范围. 【解题指南】(1)依照AP →
=
13
AD →
+2
3
AC →,可得CP →
=1
3
CD →
,从而C,P ,D 共线,可得出
S 1S 2=|PD →
||CP →|=
S 4S 3
.
(2)由(1)P 为CD 与x 轴交点,可设出CD 的方程与椭圆联立,找出P 点横坐标所知足的式子,成立关于P 点横坐标的不等式求解. 【解析】(1)由AP →
=
13
AD →
+2
3
AC →知,AP →
=1
3
AD →
+(1−1
3
)AC →
,
即AP →-AC →
=13
(AD →
-AC →
),因此CP →
=
13
CD →
,
故C,D,P 三点共线,且C,D 在P 点的双侧,因此
S 1S 2=|PD →
||CP →|=
S 4S 3
,即S 1S 3=S 2S 4.
(2)由(1)知,C,D,P 三点共线,且C,D 在P 点的双侧,且C,D 异于A,B 的两点,故-2<x 0<2,且直线CD 不平行于x 轴,可设直线CD 的方程为:x=my+x 0,
由{x =my +x 0,
x 24
+y 2
3
=1,
得(3m 2+4)y 2+6mx 0y+3x 02
-12=0, 当-2<x 0<2时,显然直线与椭圆有两个交点,设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),
故y 1+y 2=-
6mx 0
3m 2+4
,y 1y 2=
3x 02−123m 2+4
,又CP →
=
13
CD →
,故y 2=-2y 1,联立三式,消去y 1,y 2得
-
72m 2x 02(3m 2+4)
2=
3x 02−123m 2+4
,化简得(27x 02
-12)m 2=4(4-x 02
),
因为-2<x 0<2,m 2>0,故
27x 02
-12>0,因此x 0>23或x 0<-23
,
综上知,x 0的取值范围是(−2,−
23
)∪(2
3
,2).。