吉林省长春市2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷解析版

吉林省长春市2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．3x2+＝0B．2x﹣3y+1＝0
C．（x﹣3）（x﹣2）＝x2D．（3x﹣1）（3x+1）＝3
2．（3分）下列各组线段中，是成比例线段的是（）
A．1cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．3cm，5cm，9cm，13cm D．3cm，5cm，9cm，12cm
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0时，方程变形正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝7
4．（3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．300（1﹣x）2＝243B．243（1﹣x）2＝300
C．300（1﹣2x）＝243D．243（1﹣2x）＝300
5．（3分）一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）
A．19B．17C．24D．21
6．（3分）已知a：b＝2：3，那么下列等式中成立的是（）
A．3a＝2b B．2a＝3b C．D．
7．（3分）已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（）
A．45cm，65cm B．90cm，110cm C．45cm，55cm D．70cm，90cm
8．（3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）
A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，
＝，DE＝6，则EF＝．
11．（3分）若x＝1是关于x的方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）的一个解，则代数式1﹣a﹣b的值为．12．（3分）方程3（x﹣5）2＝2（x﹣5）的根是．
13．（3分）已知一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22＝．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P
从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝秒时，S1＝2S2．
三、解答题
15．（6分）解方程：x2﹣x﹣1＝0．
16．（6分）解方程：（2x﹣5）2﹣2＝0．
17．（6分）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，S
＝36，求
△AOC （1）AO的长．
（2）求S
．
△BOD
18．（7分）某商店经销一批小家电，每件成本40元．经市场预测，销售定价为50元时，可售出
200个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2250元，应涨价多少元？19．（7分）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
20．（7分）已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，求该三角形的周长．
21．（8分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
22．（9分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．
直接开平方并整理，得．
我们称晓东这种解法为“平均数法”．
（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得
[（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5．
（x+□）2﹣〇2＝5，
（x+□）2＝5+〇2．
直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤．
上述过程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．
23．（10分）某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租客房收入为y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？
（3）当x为何值时，宾馆每天的客房收入最多，最多为多少？
24．（12分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ．
（1）点P到点C时，t＝；当点Q到终点时，PC的长度为；
（2）用含t的代数式表示PD的长；
（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．解：A、3x2+＝0是分式方程，故此选项错误；
B、2x﹣3y+1＝0为二元一次方程，故此选项错误；
C、（x﹣3）（x﹣2）＝x2是一元一次方程，故此选项错误；
D、（3x﹣1）（3x+1）＝3是一元二次方程，故此选项正确．
故选：D．
2．解：∵3×4≠1×6，
∴选项A不成比例；
∵3×4，＝2×6，
∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，
∴选项C不成比例；
∵3×12≠5×9，
∴选项D不成比例
故选：B．
3．解：x2﹣2x﹣3＝0，
移项得：x2﹣2x＝3，
两边都加上1得：x2﹣2x+1＝3+1，
即（x﹣1）2＝4，
则用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0时，方程变形正确的是（x﹣1）2＝4．故选：B．
4．解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：300（1﹣x）2＝243．
故选：A．
5．解：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，
根据相似三角形的三边对应成比例，知，
∴x＝9，y＝15，
∴x+y＝24．
故选：C．
6．解：∵a：b＝2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，∴3a＝2b；
A、3a＝2b；故本选项正确；
B、2a＝3b；故本选项错误；
C、由得，2a+2b＝5b，即2a＝3b；故本选项错误；
D、由得，3a﹣3b＝b，即3a＝4b；故本选项错误；
故选：A．
7．解：∵两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，
∴两个相似三角形的相似比为9：11，
∴两个相似三角形的周长比为9：11，
设两个相似三角形的周长分别为9x、11x，
由题意得，11x﹣9x＝20，
解得，x＝10，
则这两个三角形的周长分别为90cm，110cm，
故选：B．
8．解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，
当6和8是直角边时，斜边为10，直角三角形的三边为6，8，10
当8为斜边时，两条直角边为2和6，此直角三角形的三边为2，6，8，∵另一个直角三角形的边长分别是3和4及x，
当3和为4直角边时，斜边x＝5，直角三角形的三边为3，4，5，
∴，满足这两个直角三角形相似的条件；
当3和x为直角边时，4便是斜边，则：根据勾股定理得，x＝，
∴此直角三角形的三边为，3，4，
∴，
∴x＝5或．
∴x的值可以有2个．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．解：∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；
∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．
故答案为：5：4．
10．解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
∴EF＝9．
故答案为9．
11．解：∵x＝1是关于x的方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）的一个解，∴a+b﹣1＝0，
∴a+b＝1，
∴1﹣a﹣b＝1﹣（a+b）＝1﹣1＝0．
故答案是：0．
12．解：方程变形得：3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣5）[3（x﹣5）﹣2]＝0，
可得x﹣5＝0或3x﹣17＝0，
解得：x1＝5，x2＝．
故答案为：x1＝5，x2＝
13．解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣4，
所以x12+x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣x1x2＝（﹣3）2﹣（﹣4）＝13．
故答案为13．
14．解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝8cm，
又∵AP＝t，
则S1＝AP•BD＝×8×t＝8t，PD＝8﹣t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE＝AP＝t，
∴S2＝PD•PE＝（8﹣t）•t，
∵S1＝2S2，
∴8t＝2（8﹣t）•t，
解得：t＝6．
故答案是：6．
三、解答题
15．解：x2﹣x﹣1＝0，
∴，．
16．解：由原方程，得
（2x﹣5）2＝4，
2x﹣5＝±2，
x＝，
解得x1＝，x2＝．
17．解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝，∵OB＝4，
∴OA＝6．
（2）∵△OBD∽△OAC，
∴＝（）2，
∵S
＝36，
△AOC
＝16．
∴S
△OBD
18．解：设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝2250，整理，得x2﹣110x+3025＝0，
解得x1＝x2＝55．符合题意．
则55﹣50＝5（元）
答：应涨价5元．
19．解：（1）由题意知，△＝（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得：m＜6，
又m﹣2≠0，即m≠2，
则m＜6且m≠2；
（2）由（1）知m＝5，
则方程为3x2+10x+8＝0，
即（x+2）（3x+4）＝0，
解得x＝﹣2或x＝﹣．
20．解：∵x2﹣13x+40＝0，即（x﹣5）（x﹣8）＝0，∴x﹣5＝0或x﹣8＝0，
解得：x＝5或x＝8，
当x＝5时，三角形的三边3+4＞5，能构成三角形，
当x＝8时，三角形的三变边为3+4＜8不能构成三角形，
此时周长为3+5+4＝12．
21．解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x＝400，
解得x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
22．解：（1）4，2，﹣1，﹣7（最后两空可交换顺序）；
故答案为：4，2，﹣1，﹣7；
（2）（x﹣3）（x+1）＝5；
原方程可变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]＝5，
整理得：（x﹣1）2﹣22＝5，
（x﹣1）2＝5+22，即（x﹣1）2＝9，
直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝﹣2．
23．解：（1）由题意得：y＝（200﹣0.4x）（180+x）＝﹣0.4x2+128x+36000y＝38400；
（2）宾馆客房收入：y＝（200﹣0.4x）（180+x）＝﹣0.4x2+128x+36000，
把y＝38400代入解得：x＝20或300，
180+20＝200，180+300＝480，
故：这天每间客房的价格是200或480元；
（3）函数的对称轴是x＝160，
此时函数取得最大值，为46240元．
24．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，
∴CD＝AB＝8点P到点C时，所走路程为AD+CD＝12，
∴t＝＝6s
当点Q到终点时，t＝8s，P点回到CD中点，
∴CP＝4；
（2）当0≤t≤2时，PD＝4﹣2t；
当2＜t＜6时，PD＝2t﹣4；
当6≤t≤8时，PD＝8﹣（2t﹣12）＝20﹣2t；
（3）当0≤t≤2时，AP＝2t PD＝4﹣2t AQ＝t BQ＝8﹣t
S
＝4×8﹣t×2t﹣（8﹣t）×4﹣（4﹣2t）×8＝﹣t2+10t＝9，t1＝1，t2＝9（舍去）△CPQ
当2＜t＜6时，PC＝12﹣2t
S
＝（12﹣2t）×4＝24﹣4t＝9，t＝
△CPQ
当6≤t≤8时，PC＝2t﹣12
S
＝（2t﹣12）×4＝4t﹣24＝9，t＝（舍去）
△CPQ
综上所述，当三角形CPQ的面积为9时t＝1或t＝．。