2020-2021大学《离散数学》期末课程考试试卷B1(含答案)

2020-2021《离散数学》期末课程考试试卷B1
专业：考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100 分 闭卷
一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列语句中是命题的只有（ ）
A ．1+8==30
B ．5x+6==30
C ．5y+1<30
D ．x mod 20==3。

2．设命题公式G ：)(R Q P ∧→⌝,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( )
1,1,1.0
,1,0.1
,0,0.0
,0,0.D C B A
3．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中（ ）是错的。

A 、A ⊆Φ； B 、{6，7，8}∈A ；
C 、{{4，5}}⊂A ；
D 、{1，2，3}⊂A 。

4．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点度数序列。

A 、 2,3,4,5,6,7；
B 、 1,2,2,3,4；
C 、 2,1,1,1,2；
D 、 3,3,5,6,0。

5．给定无向图>=<E V G ,，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ ）。

A 、{<V1,V2>,<V7,V8>}；
B 、{<V1,V4>,<V3,V4>}；
C 、{<V4,V7>,<V4,V8>}；
D 、{<V1,V4>,<V2,V3>}。

6．设P 表示“天下大雨”， Q 表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（ ）。

A 、 P Q →； B 、P Q ∧； C 、P Q ⌝→⌝； D 、P Q ⌝∨．
7．集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有（ ）。

A 、自反性、对称性和传递性； B 、自反性、反对称性和传递性； C 、反自反性、对称性和传递性； D 、反自反性、反对称性和传递性 8．设Q 为有理数集，〈Q ，•〉（其中•为普通乘法）不能构成（ ）。

A 、半群； B 、独异点； C 、群； D 、交换半群． 9．集合A={1,2,…,8}上的关系R={<x,y>|x+y=8,x,y ∈A}，则R 的性质为（ ）。

A 、自反的 B 、对称的 C 、传递的，对称的 D 、传递的
10．连通非平凡的无向图G 有一条欧拉回路当且仅当图G ( )。

A 、只有一个奇度结点； B 、只有两个奇度结点； C 、只有三个奇度结点； D 、没有奇度结点。

二、填空题(每空2分，共20分)
1．设}4,}3{,,2{a A =，}1,4,3,}{{a B =，请在下列每对集合中填入适当的符号（⊆∈,）。

（1）}{a B , (2) }}3{,4,{a A 。

2．n 阶完全无向图Kn 的边数为 。

3．设图G 中结点的度数列为：1 ,4, 4, 3, 5, 5,则G 中有 条边。

4．令R(x):x 是实数，Q(x):x 是有理数。

则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为 。

5．设},,{c b a A =考虑下列子集
}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S = }}
{},{},{{5c b a S =，
}}
,{},{{6c a a S =，其中是A 的划分集合
有 。

6．设集合B={a,b},,则B 的幂集P(B)= 。

7．A={2，5，7}，A 上的关系R={<2，5>，<2，2>，<7，5>}，R 的对称闭包为 。

8．（填写公式类型）两个重言式的析取是 ，一个重言式和一个矛盾式的合取是 。

三、证明和计算题（共60分）
1．符号化下述命题并证明结论的有效性。

（9分）
前提：若a 是实数，则它不是有理数就是无理数。

若a 不能表示成分数，则它不是有理数。

a 是实数且不能表示成分数。

结论：a 是无理数。

2．求公式p ∧r ∧⌝(q →p )的真值表，并判断公式类型。

（7分）
院系： 专业班级： 姓名： 学号：
装订
线
.
3．求公式P→（P∧（Q→P））的主析取范式和主合取范式。

（7分）
4．（8分）若D是具有结点v1,v2,v3,v4的有向图，它的邻接矩阵表示如下：
0 2 1 0
0 0 2 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1)画出这个图；
2)D是单向连通还是强连通？说明理由。

3)该图是否存在欧拉通路？说明理由。

5.一棵无向树T有5片树叶,3个二度分支点,其余的分支点都是3度顶点,问T有几个顶点。

(7分)
6．设A={1，2，3，4，5，6}，B={x|x为一偶整数}，C={2，3，4，5}，求（1）（A∩B）-C。

（2）A⊕C。

（7分）
7（8分）．A上的偏序关系≤的Hasse图如下。

（1）下列哪些关系式成立：a≤b,b≤a,c≤e,e≤f,d≤f,c≤f；
（2）分别求出下列集合关于≤的极大（小）元、最大（小）元、上（下）界及上（下）确界（若存在的话）：
① A; ② {b,d}; ③ {b,e};④ {b,d,e}
a f
e
b d
c
8．集合S={a,b,c}上的二元运算*的运算表如下，求出它的幺元、零元及所有可逆元素的逆元(如果存在的话)。

（7分）
* a b c
a a
b c
b b a c
c c c c
2020-2021《离散数学》期末课程考试试卷B1答案
一、选择题（每小题2分，共20分）
ADDBA CACBD
二、填空题(每空2分，共20分)
1. ∈ ，⊆
2. n(n-1)/2
3. 11
4. ⌝∀x(R(x)→Q(x))或者与之等价的公式 5．S3,S4,S5
6． {∅,{a},{b},{a,b}}
7. {<2,5>,<2,2>,<5,2>,<5,7>,<7,5>} 8.重言式；矛盾式。

三、证明和计算题（共60分）
1. 证明 设P ：a 是实数。

Q ：a 是有理数。

R ：a 是无理数。

S ：a 能表示成分数。

则本题即证：)(R Q P ∨→，Q S ⌝→⌝，S P ⌝∧R ⇒ （1）S P ⌝∧ P 规则 （2）P )1(T I （3）)(R Q P ∨→ P 规则 （4）R Q ∨ )3)(2(T I （5）S ⌝ P 规则 （6）Q S ⌝→⌝ P 规则 （7）Q ⌝ )6)(5(T I （8）R )7)(4(T I
p q r q →p ⌝(q →p )
p ∧r ∧⌝(q →p )
0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1
1
1
该式为矛盾式（或永假式）
3解：P →（P ∧（P →Q ））
⇔1
⇔(⌝P ∧⌝Q)∨( ⌝P ∧Q)∨( P ∧⌝Q)∨( P ∧Q) (主析取范式）
没有主合取范式
4.解： 1）
2)单向连通
3)不存在欧拉通路 5.
解:11个
设n 个顶点，根据握手定理： 2*（n-1）=5+3*2+(n-5-3)*3
N=11
6
（1）{6}
（2）{1，6}
7 解：(1) b≤a,c≤e,d≤f,c≤f成立；
(2)①的极大元为a,e,f,极小元为c;无最大元，c是最小元；
无上界，下界是c;无上确界，下确界是c。

②的极大元为b,d,极小元为b,d;无最大元和最小元；
上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。

③的极大元为e,极小元为b;最大元是e，b是最小元；
上界是e，下界是b;上确界是e，下确界是b。

④的极大元为e,极小元为b,d;最大元是e，无最小元；上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。

8
幺元:a、零元: c 只有a,b可逆:a-1=a、b-1=b。