广东省江门市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题11

一轮复习数学模拟试题11
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m
A ．0或3
B ．0或3
C ．1
或3 D ．1或3
件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是
A ．420
B ．560
C ．840
D ．20160 4.在极坐标系下，圆03sin 4:2
=++θρρC 的圆心坐标为 A.)0,2( B.)2
,
2(π
C.),2(π
D. )2,2(π
-
5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162
=的焦点相
同，则双曲线的渐近线方程为 A ．x y 2
3
±
= B ．x y 23±
= C ．x y 33±= D ．x y 3±= 6.已知直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“2-=a ”是“21l l ⊥” A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是 A.2 B. 22 C.3 D. 32
8.已知函数)0(2)(2
3
≠-+=a bx ax x f 有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，则 A ．当0<a 时，021<+x x ，021>x x B. 当0<a 时，021>+x x ，021<x x C. 当0>a 时，021<+x x ，021>x x D. 当0>a 时，021>+x x ，021<x x
（7题图）
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知1||=a
，2||=b ，向量a 与b 的夹角为 60，则=+||b a
.
10. 若复数i m m m z )1()2(2
+++-=（为虚数单位）为纯虚数， 其中m R ∈，则=m .
11. 执行如图的程序框图，如果输入6=p ，则输出的S = . 12.在ABC ∆中，c b a ,,依次是角C B A ,,的对边，且c b <. 若6
,32,2π
=
==A c a ，则角=C .
13.如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ， 交斜边AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 边于点E . 则
=BC
BE
. 14. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，
对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后)1(≥n ，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(n f ，
则=)3(f ；=)(n f .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分） 已知x x x f 2sin 22sin 3)(-=
.
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若]6
,0[π
∈x ，求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值．
（13题图）
0 2 4 （14题
16.（本小题满分14分）
如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，
2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .
(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ；（Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角 C BD M --的大小为 60，求
CP
CM
的值.
17. （本小题满分13分）
空气质量指数5.2PM (单位:3
/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM 进行监测,获得5.2PM 日
均浓度指数数据如茎叶图所示: （Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内 哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)
（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 空气质量类别均为优或良的概率；
(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个,设X 为空气质量类别为优或良的天数, 求X 的分布列及数学期望.
18. （本小题满分13分） 已知函数ax x x a x f ++
-=2
22
1ln 2)()(R a ∈. (Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性；
（Ⅱ）当0<a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 的最小值.
3 0 2 2
4 4 8 9 6
6 1 5 1
7
8 8 2 3 0
9 8 甲城市 3 2 0 4
5 5
6 4
7 6 9 7
8 8 0 7 9 1 8 0 9
乙城市
19. （本小题满分14分）
已知动点),(y x P 与一定点)0,1(F 的距离和它到一定直线4:=x l 的距离之比为2
1. (Ⅰ) 求动点),(y x P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）已知直线:l '1+=my x 交轨迹C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作直线4:=x l 的垂线，垂足依次为点D 、E .连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.
20. （本小题满分13分）
A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：
(1)对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ；
(2)存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有-)2(|1x ϕ|)2(2x ϕ
||21x x L -≤.
(Ⅰ)设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ；
(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ，如果存在)2,1(0∈x ，使得)2(00x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的； (Ⅲ)设A x ∈)(ϕ，任取)2,1(∈n x ，令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k ,对任意的正整数p ,不等式||1||121
x x L
L x x k k p k --≤--+成立.
答案
一、选择题：)0485('=⨯'
B B
C
D D A D B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.7 10.2 11.3231 12. 120 13.2
1 14.
27,25,23,21； 22
-n j
（这里j 为]2,1[n 中的所有奇数） 三、解答题：)0365('=⨯' 15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）12cos 2sin 3)(-+=x x x f 1)6
2sin(2-+=π
x …………4分
ππ
==2
2T ，)(x f ∴最小正周期为π. …………5分 由ππ
π
ππ
k x k 226222+≤
+
≤+-
)(Z k ∈，得 …………6分
ππ
ππk x k 23
2232+≤≤+- …………7分 ππ
ππ
k x k +≤
≤+-
6
3
…………8分
)(x f ∴单调递增区间为)](6
,
3
[Z k k k ∈++-
ππ
ππ
. …………9分
（Ⅱ）当]6
,
0[π
∈x 时，]2
,6[62π
ππ
∈+
x ， …………10分
)(x f ∴在区间]6
,0[π
单调递增， …………11分
0)0()]([min ==∴f x f ，对应的x 的取值为0. …………13分
16.（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：因为侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，所以AB PQ ⊥， 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，⊂PQ 侧面PAB ， 所以⊥PQ 平面ABCD . ………3分（Ⅱ）连结AC ，设O BD AC = ，建立空间直角坐标系xyz O -，
则)0,0,0(O ，)0,0,3(B ，)0,1,0(C ，)0,0,3(-D ，)3,2
1
,23(
-P ，………5分 )3,2
1,233(--
=,平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m
， 设斜线PD 与平面ABCD 所成角的为α，
则1030
34
1
4273||
||||,cos |sin =++==><=PD m m
α. ………8分 （Ⅲ）设t =)3,23,23(
t t t -=，则M )3,12
3
,23(t t t +-， =)3,12
3
,323(
t t t +--，)0,0,1(32=， ………10分 设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =
，则00·=⇔=⇔⊥x n n
，
⇔=⇔⊥0·n n 03)12
3
()323(=++-+-tz y t x t ，
取3=z ，得)3,2
36,
0(-=t t n
，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m
………12分 所以|60cos ||,cos |||
||·|
=><=n m n m n m ，所以
21
)
2
36(332=-+t t ，
解得2=t （舍去）或5
2=t .所以，此时CP CM 52=. ………14分
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好.
………2分
（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
3
2
1510=，
………4分
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
3
1155=， ………6分
在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为
9
23132=⨯. ………8分
(Ⅲ)X 的取值为2,1,0， ………9分
73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(2151
1015===C C C X P ，212
)0(2
15
01025===C C C X P X 的分布列为：
X
2
P
73 2110 21
2
数学期望3
2
212221101730=⨯+⨯+⨯=EX ………13分
18. （本小题满分13分）
解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，
………1分
(Ⅰ)x
a x a x x a ax x x f )
)(2(2)(22-+=
-+='， ………4分 （1）当0=a 时，0)(>='x x f ，所以)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增； …5分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=（舍去），a x =2， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下： 此时，)(x f 在区间),0(a 单调递减， 在区间),(+∞a 上单调递增；
………7分
（3）当0<a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=，a x =2（舍去）， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下： 此时，)(x f 在区间)2,0(a -单调递减， 在区间),2(+∞-a 上单调递增.
………9分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知当0<a 时，)(x f 在区间)2,0(a -单调递减，在区间),2(+∞-a 上单调递增.
………10分
（1）当e a ≥-2，即2
e
a -
≤时，)(x f 在区间],1[e 单调递减，
所以，2
2min 2
12)()]([e ea a e f x f ++-==； ………11分 （2）当e a <-<21，即2
1
2-<<-
a e 时，)(x f 在区间)2,1(a -单调递减， 在区间),2(e a -单调递增，所以)2ln(2)2()]([2
min a a a f x f --=-=，………12分 （3）当12≤-a ，即02
1
<≤-a 时，)(x f 在区间],1[e 单调递增， 所以2
1
)1()]([min +==a f x f . ………13分
19. （本小题满分14分）
解：(Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ，化简并整理，得 1342
2=+y x .
所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13
42
2=+y x . ………3分
（Ⅱ）当0=m 时，)23
,1(A 、)23,1(-B ，)23,4(D 、)2
3,4(-E
直线AE 的方程为：0522=-+y x ，直线BD 的方程为：0522=--y x ，
方程联立解得0,25==
y x ，直线AE 、BD 相交于一点)0,2
5
(. 假设直线AE 、BD 相交于一定点N )0,2
5
(. ………5分
证明：设),1(11y my A +，),1(22y my B +，则),4(1y D ，),4(2y E ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x 消去x 并整理得096)43(22=-++my y m ，显然0>∆，
由韦达定理得4
36221+-=
+m m y y ，439
22
1+-=m y y . ………7分 因为),23(11y my -=，),23
(2y =，
所以2
3)23(121⨯-⨯-y y my )(23
2121y y y my +-=
4392+-=m m 23-4
362+-⨯
m m
0= ………11分 所以，//，所以A 、N 、E 三点共线， ………12分
同理可证B 、N 、D 三点共线，所以直线AE 、BD 相交于一定点N )0,2
5(.14分
20. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ)对任意]2,1[∈x ，]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ，
≤3
3)2(x ϕ35≤，253133<<<，所以)2,1()2(∈x ϕ.
对任意的]2,1[,21∈x x ，
()
()()()
2
3
23
213
2
121211121212
|
||)2()2(|x x x x x x x x +++++
+-=-ϕϕ，
<
3()()()()323213
2
1112121x x x x ++++++，
所以0＜
()
()()()
2
3
23
213
2
11121212
x x x x +++++
+3
2<
， 令
()()()()
2
323213
2
11121212
x x x x ++++++＝L ，10<<L ，
|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ，所以A x ∈)(ϕ. ………5分 (Ⅱ)反证法:设存在两个000
0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=，)2(00x x '='ϕ则 由|||)2()2(|/
00/
00x x L x x -≤-ϕϕ，得||||/
00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立.
………8分
(Ⅲ)121223)2()2(x x L x x x x -≤-=
-ϕϕ，
所以|2()2(|||11-+-=-n n n n x x x x ϕϕ
||1--≤n n x x L ||212---≤n n x x L ……||121x x L n -≤-
+-+-=--+-+-+++)()(|||211p k p k p k p k k p k x x x x x x ……|)(1k k x x -++
k
k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211 ≤123122x x L x x L p k p k -+--+-+＋…+1
21x x L k --
||1)1(121x x L L L p k ---=-||1121
x x L
L k --≤-. ………13分。