2013年高考数学真题分类汇编 考点17 正弦定理和余弦定理 理(含解析)

考点17 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.（2013·高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=
1
3
,则sinB=( ) A.
15 B.5
9
C. D.1
【解题指南】已知两边及一边的对角利用正弦定理求解。

【解析】选B 。

由正弦定理得355
,,sin 1sin sin sin 93
所以所以===
a b B A B
B 。

2.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ4）AB
C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，
6
B π
=
，4
C π
=
，则ABC ∆的面积为（ ）
A.2
B.1
C.2
D.1 【解题指南】利用正弦定理和三角形的面积公式可得
【解析】选B.因为,64B C π
π
=
=
,所以712A π=
.由正弦定理得sin sin 64
b c ππ=
，解得c =
三角形的面积为117sin 22212
bc A π
=⨯⨯.
因为711sin
sin())123422222
πππ=+=+=+，
所以
11sin )122
bc A =+=，选B. 3.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ）
A.10
B.9
C.8
D.5
【解题指南】由02cos cos 232
=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.
【解析】选D.因为02cos cos 232
=+A A ，所以01cos 2cos 232
2
=-+A A ，解得25
1
cos 2
=
A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以5
1
cos =
A ,562sin =A .
由正弦定理
C c
A a sin sin =
得，C
sin 65
627=. 35612sin =
C ，35
19
cos =C .又)(C A B +-=π， 所以C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，
17565035612513519562sin =⨯+⨯=
B .由正弦定理B b A a sin sin =得,175
6
505627b =，解得5=b . 方法二:由余弦定理A bc c b a cos 22
2
2
-+=，51cos =
A ，则495
112362
=⨯-+b b ，解得5=b 4.（2013·某某高考文科·Ｔ9）【备注：（2013·某某高考理科·Ｔ7）与之题干相同】 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( )
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向. 【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA ,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin 2
A,所以sin(B+C)=sin 2
A, sinA=sin 2
A, sinA=1,所以三角形ABC 是直角三角形.
5.（2013·某某高考文科·Ｔ9）【备注：（2013·某某高考理科·Ｔ12）与之题干相同】 设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,则3sinA =5sinB ,则角C= ( ) A.
π3 B.2π
3
C.3π4
D.5π6
【解题指南】 根据正弦定理、余弦定理进行解三角形计算。

【解析】选B.由题设条件可得5233573⎧
=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨
=⎩⎪=⎪⎩a b
b c a a b c b
，由余弦定理得
222
2
2
2
257
()()133cos 52223
+-+-∠===-⨯b b b a b c C ab b ，所以2π∠C =
3。

6. （2013·某某高考文科·Ｔ7）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，
若2B A =，1a =，
b =
c =（ ）
A.
【解析】选B.由A B 2=,则A B 2sin sin =，由正弦定理知
B
b
A a sin sin =
,即A A A B A cos sin 232sin 3sin 3sin 1===,所以cosA=23，所以A=6π，3
2π==A B ，所以2
π
π=
--=A B C ，所以4312
22=+=+=b a c ，c=2.
7.（2013·某某高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .
若
2sin ,a B A =则角等于（ ）
A ．
12π B ．6π C ．4π D ．3
π
【解题指南】本题先利用正弦定理B
b
A a sin sin =
化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选D.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3
π. 8. （2013·某某高考理科·Ｔ6）在△ABC 中
, ,3,4
AB BC ABC π
∠==则sin BAC ∠ = ( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】先由余弦定理求AC 边长，然后根据正弦定理求值. 【解析】选C. 在△ABC
中，由余弦定理得，
2222cos
29234
2
+-⋅⋅=+-=⨯
AB B AC C AB BC π
5,=
所以AC =由正弦定理得
,s sin in =BC A B A C
即sin 4
3,sin =A
所以sin ∠=
BAC . 9. （2013·某某高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ）
A.
3π B.4π C.6
π D.12π
【解题指南】本题先利用正弦定理B
b
A a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” . 【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=
23,所以锐角A=3
π.
10.(2013·某某高考理科·T16)在△ABC 中,∠C =90°,M 是BC 的中点.若1
sin 3
BAM ∠=
,则sin ∠BAC =.
【解题指南】分别在Rt △ABC 和△ABM 中应用勾股定理和正弦定理. 【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM 中由正弦定理得
12sin sin a
c BAM BMA
=
∠∠①, 因为sin sin AC
BMA CMA AM
∠=∠=
, 又2
2
AC b c a ==-,2
22
21344
AM b a c a =+=-,所以22
22
sin 34
c a BMA c a -∠=
-. 又由①得22
22
1213
34
a c c a c a =--,两边平方化简得4c 4-12a 2c 2+9a 4=0,所以2c 2-3a 2
=0,
所以6sin 3
a BAC c ∠=
=. 【答案】
63
11.（2013·某某高考理科·T4）已知△ABC 的内角A,B,C 所对应边分别为a,b,c,若3a 2
+2ab+3b 2
-3c 2
=0,则角C 的大小是(结果用反三角函数值表示).
【解析】3a 2
+2ab+3b 2
-3c 2
=0⇒c 2
=a 2
+b 2
+a b,故1
1cos ,arccos 33
C C π=-=-．
【答案】1arccos
3
-π 12.（2013·某某高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2
+ab+b 2
-c 2
=0，则角C 的大小是.
【解析】π3
2
212- cos 0- 2222
2
2
=⇒-=+=
⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】
π3
2
13. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ18）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ18）相同 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))(( （I ）求B ;
（II ）若4
1
3sin sin -=
C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+2
2
2
.
由余弦定理得2
1
2cos 222-=-+=
ac b c a B ，因此 120=B . （II ）由（I ）知
60=+C A ，所以C A C A C A sin sin cos cos )cos(+=-
=C A C A sin sin cos cos -2sin sin A C
C A C A sin sin 2)cos(++= 4
1
3221-⨯+=
23=. 故
30=-C A 或
30-=-C A ，因此
15=C 或
45=C
14. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ17）如图，在ABC ∆中，
90=∠ABC ，3=
AB ，1=BC ，
P 为ABC ∆内一点， 90=∠BPC .
（Ⅰ）若2
1
=
PB ，求PA ； （Ⅱ）若
150=∠APB ，求PBA ∠tan . 【解析】由已知得，
60=∠PBC ，
所以
30=∠PBA . 在PBA ∆，由余弦定理得
4
7
30cos 21324132=⨯⨯-+
= PA ,故27=PA . （Ⅱ）设α=∠PBA ，由已知得αsin =PB ， 在PBA ∆中，由正弦定理得
)
30sin(sin 150sin 3αα
-=
，化简得ααsin 4cos 3=，所以43tan =α，即4
3
tan =
∠PBA . 15.（2013·某某高考文科·Ｔ16）在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知
sin 3sin b A c B =, a = 3, 2
cos 3B =.
(Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin 23B π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
【解题指南】(Ⅰ)根据正弦定理及sin 3sin b A c B =, a = 3求出a,c 的值，再由余弦定理求b 的值； (Ⅱ)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出cos2B ，sin 2B ，再由两角差的正弦公式求值.
【解析】(Ⅰ) 在△ABC 中，由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，即sin sin b A a B =，又由sin 3sin b A c B =，
可得，3a c =,又a = 3，故c=1，由2222cos ,b a c ac B =+-且2
cos ,3
B =可得b =
(Ⅱ)由2cos 3B =，得sin B 21
cos22cos 1,9
B B =-=-sin 22sin cos B B B ==
所以sin 2sin 2cos cos 2sin 333B B B ⎛
⎫-=-=
⎪⎝
⎭πππ 16.(2013·某某高考文科·T18)与(2013·某某高考理科·T18)相同
在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且2asinB= b. (1)求角A 的大小.
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.
【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.
【解析】(1)由2asinB=及正弦定理
sin sin a b
A B
=
,得sinA=2,
因为A 是锐角,所以3
A π
=
.
(2)由余弦定理a 2
=b 2
+c 2
-2bccosA,得
b 2+
c 2-bc =36,又b+c =8,所以283
bc =
, 由三角形面积公式S=
1
2
bcsinA,得△ABC 的面积为733.
17.（2013·某某高考理科·Ｔ16）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
cos C (cos A 3sin A)cos B 0+-=.
(1)求角B 的大小；
(2)若a c 1+=，求b 的取值X 围.
【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2
关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的X 围. 【解析】（1）由已知得cos(A B)cos A cos B 3sin A cos B 0-++-=，即
sin Asin B 3sin A cos B 0-=.因为sin A 0≠，所以sin B 3cos B 0-=,又cosB 0≠,所以tan B 3=,又0B <<π，所以B 3
π
=
. （2）由余弦定理，有2
2
2
b a
c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2=,所以2
211b 3(a )24
=-+，又因为0a 1<<，所以
21b 14≤<，即1
b 12
≤<. 18. （2013·某某高考文科·Ｔ17）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
sinAsinB+sinBsinC+cos2B =1.
（1）求证：a ，b ，c 成等差数列； （2）若C=
23
π
，求a b 的值.
【解题指南】（1）先利用二倍角公式把角2B 化为角B ，再进行角化边的处理；（2）借助第（1）问的结果结合余弦定理进行求解.
【解析】(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin 2
B,因为sinB 0≠,所以sin A +sinC=2sinB,由正弦定理可知a+c=2b ，即a ，b ，c 成等差数列. (2) 由C=
23π，c=2b-a 及余弦定理得222(2b a)a b ab -=++，即有25ab 3b 0-=，所以a 3
b 5
=.
19.（2013·高考理科·Ｔ15）在△ABC 中，a =3，b B =2∠A . (I)求cos A 的值， (II)求c 的值
【解题指南】（1）由条件可以看出，已知两角关系求角，可以利用正弦定理解决问题；（2）由已知两边和角求第三边，所以应用余弦定理求解。

【解析】（1）由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，所以3sin A =3sin A =，
即cos A =
（2）由余弦定理得2
2
2
2cos a b c bc A =+-，所以222
32c =+-⨯ 即2
8150c c -+=，解得5c =或3c =（舍）。

20.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知
a=bcosC+csinB .
(1)求B.
(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
【解题指南】(1)将a=bcosC+csinB “边化角”,化简求得B.
(2)利用角B 、边b 将△ABC 面积表示出来,借助均值不等式求最大值.
【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB ,因为sinC ≠0, 所以tanB=1,解得B=
.4
π
(2)由余弦定理得:b 2
=a 2
+c 2
-2accos
4
π,即4=a 2+c 2ac,由不等式得a 2+c 2
≥2ac,当且仅当a=c 时,
取等号,所以4≥(2-)ac,解得ac ≤,所以△ABC 的面积为
12acsin 4
π
≤4×
)=+1.所以△ABC 面积的最大值为+1.。