高考数学一轮复习 第20讲 三角函数的图像与性质课件

固
基
础
解析式
y＝sin x
y＝cos x
图像
y＝tan x
定义域 值域
R [－1，1]
R [－1，1]

{x x∈R，且 x≠k

π ＋π2 ，k∈Z} R
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第20讲 三角函数的图像与性质
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固
基
础
解析式
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
当
x ＝ 2k π
－
π 2
当 x＝2kπ (k∈Z)时，
(k∈Z)时，ymin＝－ ymax ＝1；
最值 1；
当 x ＝ 2k π ＋ π 无最大、最小值
当
x ＝ 2k π
＋
π 2
(k∈Z)时，ymin＝ －1
(k∈Z)时，ymax ＝1
周期 __2_π_____
__2__π____
__π______
奇偶性 __奇____函数
__偶____函数
__奇____函数
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解析式
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
在[2kπ
－
π 2
，2kπ
＋
π 2
]上是__增____函
在[2kπ －π ，2k
π ]上是_____增___函
在（kπ
－
π 2
，
单调性
数；
在[2kπ
＋
π 2
，2kπ
数； 在[2kπ ，2kπ ＋
π ]上是____减__函数
[答案] －1
[解析] 依题意得 A＋1＝3，所以 A＝2，所以函数 y＝ 2sin x＋1 的最小值为 1－2＝－1.
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3．函数y＝2cos
x在[－π ，0]上是________函数，在
基 础[0，π ]上是________函数．
[答案] 增 减
[解析] 由余弦函数的单调性，得函数 y＝2cos x 在 [－π ，0]上是增函数，在[0，π ]上是减函数．
就叫作周期函数，非零常数 T 叫作这个函数的__周__期____．
(2)最小正周期
如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那
么这个最小正数就叫作 f(x)的__最__小__正__周__期___．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
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第20讲 三角函数的图像与性质
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2kπ ](k∈Z)．( )
(2)正切函数 y＝tan xx≠π2 ＋kπ ，k∈Z在定义域内 是增函数．( )
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基
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[答案] (1)√ (2)×
[解析] (1)函数 y＝2－3cos x 的单调递减区间即函数 y ＝－cos x 的单调递减区间，即函数 y＝cos x 的单调递增区 间，即[2kπ －π ，2kπ ](k∈Z)．
kπ
＋
π 2
）上是
____增__函数
＋
3 2
]π
上是___减___函
(k∈Z)
(k∈Z)
数(k∈Z)
对称性
x对 _＝_称 _k_轴 _π__方＋_程__π2__(_k_∈_，Z) 对 _(k_π称 __中 _，__心0_)_(_k_∈__Z__)_
对 _对 _（x__称 _称 _＝k___轴 中_πk__π__方 心＋___程___(π__k2__∈__，__Z， _0)）（对 _(_kk_称π2∈_中 __，Z_心_)0__）__(k∈Z)
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—— 链接教材 ——
1．函数y＝2sin(2x－1)的最小正周期是________．
[答案] π [解析] T＝2ωπ ＝2π2 ＝π .
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固 基 础是__2__．__函__数．y＝Asin x＋1(A>0)的最大值是3，则它的最小值
)
(2)函数 y＝cosx－π2 和 y＝cosx－π3 都是非奇非偶
函数．( )
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[答案] (1)× (2)×
[解析] (1)因为 y＝sin（x＋3π2 ）＝sin（π ＋π2 ＋x）＝ －sin（π2 ＋x）＝－cos x，所以函数 y＝sin（x＋3π2 ）是偶 函数．
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点 面
讲 考 向
第20讲
三角函数的图像与
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多 元
性质
提
能
力
•
教 师
备
用
题
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考试大纲
1．了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝Asin(ωx＋
φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期为T＝2|ωπ|.
2．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像． 3．能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正
ππ 切函数在－ 2 ， 2 上的性质(如单调性、最大值和最小值、图 像与x轴的交点等).
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1．函数的性质——周期性 (1)周期非零常数 T，使得当 x 取定
义域内的每一个值时，都有_f_(x_＋__T_)_＝__f(_x_)成立，那么函数 f(x)
(2) 由 函 数 y ＝ f(x) 的 周 期 是 T ， 得 f(x ＋ T) ＝ f(x) ， 则
fω（x＋ωT）＝f(ωx＋T)＝f(ωx)，故函数 y＝f(ωx)的周期是ωT .
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2．判断奇偶性的易错点
(1)函数 y＝sinx＋3π2 是奇函数．(
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4．比较大小：tan 1________tan 4(填“<”“>”“＝”)．
[答案] >
[解析] ∵tan 4＝tan(π ＋4－π )＝tan(4－π )，且 0<4－
π
π <1< 2
，∴tan(4－π
)<tan
1，即
tan
1>tan
4.
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(2)因为 y＝cos（x－π2 ）＝cos（π2 －x）＝sin x，所以 y ＝cos（x－π2 ）是奇函数．y＝cos（x－π3 ）是非奇非偶函数．
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3．单调性问题中的误区 (1)函数 y＝2－3cos x 的单调递减区间是[2kπ －π ，
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—— 疑 难 辨 析 ——
1．判断周期性中的问题 (1)任意一个周期函数都有最小正周期．( )
(2)如果函数 y＝f(x)的周期是 T，则函数 y＝f(ωx)的周期
是ωT .(
)
[答案] (1)× (2)√
[解析] (1)例如 f(x)＝C(C 为常数)是周期函数，但 f(x)没有最 小正周期．