山东省潍坊市诸城第一中学高三数学理联考试题含解析

山东省潍坊市诸城第一中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
B
因为，所以函数为偶函数，因为函数在上是增函数，所以当时，，此时为减函数，所以当，函数单调递增。

因为，所以有，解得，即，选B.
2. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是
A．28+6 B．60+12 C．56+12 D．30+6
参考答案：
D
17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）
（A）充分条件（B）必要条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
参考答案：
A 4. 已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用已知条件求出f（1﹣x）的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．
【解答】解：函数f（x）=，
f（1﹣x）=，
函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数，
就是y=f（1﹣x）与y=1交点个数，
如图：可知两个函数的图象由三个交点，
函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为3．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．
5. 关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,π）单调递增
③f(x)在[－π，π]有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
参考答案：
C
因为，所以是偶函数，①正确，
因为，而，所以②错误，
画出函数在上的图像，很容易知道有零点，所以③错误，
结合函数图像，可知的最大值为，④正确，故答案选C.
6. 已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由?p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件．
【解答】解：∵p∧q为真命题，
∴p和q或者同时都是真命题，
由?p是假命题，知p是真命题．
∴“p∧q是真命题”推出“?p是假命题”，
反之不能推出．
则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分而不必要条件．
故选A．
7. 已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f （x）在R上有零点的概率为（）A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】几何概型．
【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．
【解答】解：若函数f（x）在R上有零点，
则满足判别式△=4b﹣4a2≥0，即b＞a2
区域的面积S==18，
由，解得x=2，y=4，即（2，4），
则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S===，
∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，
故选：B．
8. 某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（）年后需要更新设备.
A. 10
B. 11
C.
13 D. 21
参考答案：
A
9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且边，则△ABC面积的最大值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，根据余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：，可解得：，
由余弦定理，可得
，即，当且仅当时成立。

等号当时成立。

故选：D。

【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．
10. 集合, , 则
A. {(1, 0)}
B. {y|0≤y≤1}
C. {1, 0}
D.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]有极值，则 a的取值范围是．
参考答案：
{a|a＜﹣1或a＞2}
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】由已知得f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]，
∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
由题意知△=36a2﹣36（a+2）＞0，
解得a＜﹣1或a＞2．
故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}．【点评】本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
12. 已知函数在x＝1处取得极大值10，则的值
为．
参考答案：
3
13. 已知向量，且，则实数t= ．
参考答案：
﹣2
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】可先求出，然后根据便可得出，进而得出关于t的方程，解出t即可．
【解答】解：；
∵；
∴；
即t+4+2（2t+3）=0；
解得t=﹣2．
故答案为：﹣2．
14. 已知函数那么的值为．
参考答案：
15. 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．
参考答案：
3
略
16. 若等差数列中，公差，且，则的值是．
参考答案：
略
17. 设无穷等比数列的前n项和为S n，首项是，若S n＝，，则公比
的取值范围是．
参考答案：
因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以，即，所以公比的取值范围是。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）如图，在ABC的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，
E ，
F ．使得DE=BE，
FE=CE，又
点O是△ADF的外心．证明：D，E，F，O四点共圆．
参考答案：
∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．
因此∠A是锐角，从而的外心与顶点A在DF的同侧，
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．
因此D，E，F，O四点共圆．……………10分
19. (本小题满分12分)已知函数的定义域为，且同时满足：
(1)对任意，总有；
(2)
(3)若且，则有.
(I)求的值；
(II)求的最大值；
(III)设数列的前项和为，且满足.求证：
.
参考答案：
解：（I）令，由(3),则
由对任意，总有（2分）
（II）任意且，则
（6分）
(III)
(8分)
，即。

故
即原式成立。

（14分）
略
20. （本题满分16分）已知△ABC的面积为，且，向量
和是共线向量.
（1）求角C的大小；（2）求△ABC的三边长.
参考答案：
（1）因为向量和是共线向量，
所以，…………………2分
即sinAcosB+cosAsinB－2sinCcosC=0，
化简得sinC－2sinCcosC=0，即sinC(1－
2cosC)=0. …………………………4分
因为，所以sinC>0，从而，…………………………6分（2），于是AC. ………………8分
因为△ABC的面积为，所以，
即，解得………………………14分
在△ABC中，由余弦定理得所以
……………………… 16分
略
21. “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
（1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；
（2）请将上述2×2
列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；
参考公式：，，其中
.，若，则可判断y 与x 线性相关.
附表：
参考答案：
（1），与线性相关（2）填表见解析，有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用
车与性别有关 【分析】
（1）计算出，
，
，
，
再代入相关系数公式计算可得；
（2）依题意，完善表格计算出与参数数据比较可得.
【详解】解：（1）依题意，
，
故
，，
则
故
与线性相关.
（2）依题意，完善表格如下：
故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.
【点睛】本题考查利用相关系数判断两个变量的相关程度，以及独立性检验，考查计算能力，属于基
础题. 22.
某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为
当年产量
不足80千件时，
（万元）；当年产量不小于80千件时
（万元），每件商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。

（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
参考答案：
略。