2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第3讲(含答案解析)

[学生用书P260(单独成册)]
一、选择题
1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A ．上半圆 B ．下半圆 C ．圆
D ．抛物线
解析：选A ．由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆． 2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16
D ．(x ＋1)2＋y 2＝16
解析：选A ．因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|
2
＝22．所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8．故选A ．
3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1
D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1
解析：选B ．圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，
b －1
a ＋1＝－1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2
＝1．
4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
解析：选D ．由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为
|4|
2
＝22，所以r ＝2． 又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2．
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1，0)，B (0，1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C ．设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0．求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|
2＝2＜2＝r ，所以直线与圆
相交，交点个数为2．故满足条件的点P 有2个，选C ．
6．已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，△P AB 的面积的最大值为8，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A ．要使△P AB 的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大． 由于AB 的方程为y ＝0，圆心(0，3)到直线AB 的距离为d ＝3， 故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a ．
再根据AB ＝4，可得△P AB 面积的最大值为1
2·AB ·(3＋a )＝2(3＋a )＝8，所以a ＝1，故选A ．
二、填空题
7．已知动点M (x ，y )到点O (0，0)与点A (6，0)的距离之比为2，则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________．
解析：依题意可知|MO |
|MA |＝2，即x 2＋y 2（x －6）2＋y 2＝2，
化简整理得(x －8)2＋y 2＝16，
即动点M 的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆． 所以其面积为S ＝πR 2＝16π． 答案：16π
8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．
解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝1
24－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此
时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π
4
．
答案：3π4
9．已知平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的
方程为________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
因为△OPQ 为直角三角形，
所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)， 半径r ＝|PQ |
2
＝5，
因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5
10．设命题p ：⎩⎪⎨⎪
⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k >0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的
充分不必要条件，则k 的取值范围是________．
解析：如图所示：
命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．
由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－4
3k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0<k ≤6． 答案：(0，6] 三、解答题
11．已知以点P 为圆心的圆经过A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．
(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又因为直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.
所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．
所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40． 12．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．
(1)求m ＋2n 的最大值； (2)求
n －3
m ＋2
的最大值和最小值． 解：将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8， 所以圆心C (2，7)，半径r ＝22．
(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b
2在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切
时，b 有最大或最小值．
所以|2＋2×7－b |
12＋22
＝22，
所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去)， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210． (2)设
n －3
m ＋2
＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2，3)所在直线的斜率， 所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时，k 有最大、最小值，所以|2k －7＋2k ＋3|
1＋k 2＝22，
解得k ＝2＋3或k ＝2－3．
所以n －3m ＋2
的最大值为2＋3，最小值为2－3．
1．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值； (3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．
解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5．
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2
－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5．因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2
x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为
x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×16
5＋
16＝0，解得m ＝8
5
．
(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝45
5，所以所求圆的
方程为⎝⎛⎭⎫x －452
＋⎝⎛⎭⎫y －852
＝16
5
． 2．在△OAB 中，已知O (0，0)，A (8，0)，B (0，6)，△OAB 的内切圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，P 是圆上一点．
(1)求点P 到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离的最大值和最小值；
(2)若S ＝|PO |2＋|P A |2＋|PB |2
，求S 的最大值和最小值．
解：(1)由题意得圆心(2，2)到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离d ＝|4×2＋3×2＋11|42＋32
＝25
5＝5>2，故点P 到
直线l 的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3．
(2)设点P 的坐标为(x ，y )，则S ＝x 2＋y 2＋(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＝3(x 2＋y 2－4x －4y )－4x ＋100＝－4x ＋88，
而(x －2)2≤4，所以－2≤x －2≤2， 即0≤x ≤4，所以－16≤－4x ≤0， 所以72≤S ≤88， 即当x ＝4时，S min ＝72， 当x ＝0时，S max ＝88．。