江苏省苏州市张家港市高级中学高二数学下学期期中试卷 理(含解析)

2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（下）期中数学
试卷（理科）
一、填空题：（共70分）
1．复数的虚部是．
2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．
3．C22+C32+C42+…+C112= ．（用数字作答）
4．用反证法证明命题：“若x＞0，y＞0 且x+y＞2，则和中至少有一个小于2”
时，应假设．
5．（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为．（用数字作答）
6．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有．
7．有5种不同的书（每种书不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人各一本，共有种不同的送法．（用数字作答）
8．观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此规律，第n个等式可为．
9．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率
为．
10．用数学归纳法证明“1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）”时，由n=k（k＞1）等式成立，推证n=k+1，左边应增加的项为．
11．设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程
为．
12．甲，乙两人独立地破译1个密码，他们能破译密码的概率分别是和，则这个密码能被破译的概率为．
13．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）= ．
14．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出4个不同的数字构成四位数，不大于3410的个数是．
二．解答题（共90分）
15．设复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面的第二象限．
16．若3名女生，5名男生排成一排拍照，问：（用数字作答）
（1）3名女生相邻的不同排法共有多少种？ （2）3名女生不相邻的不同排法共有多少种？ （3）5名男生顺序一定的不同排法有多少种？
17．已知在（
﹣
）n
的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n ；
（2）求含x 2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
18．学校游园活动有这样一个游戏：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）． （1）求在1次游戏中： ①摸出3个白球的概率． ②获奖的概率．
（2）求在3次游戏中获奖次数X 的分布列．（用数字作答）
19．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2﹣na n +1（n ∈N *），且a 1=3．
（1）计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； （2）求证：当n≥2时，a n n ≥4n n ．
20．设f （x ）=﹣x 3+x 2+2ax ．
（1）若f （x ）在（，+∞）上是单调减函数，求实数a 的取值范围．
（2）当0＜a ＜2时，f （x ）在[1，4]上的最小值为﹣，求f （x ）在该区间的最大值．
2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：（共70分）
1．复数的虚部是．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵=，
∴复数的虚部是﹣．
故答案为：．
2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．
【考点】命题的否定．
【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．
【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：
∃x∈R，x2+x+1≤0．
故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．
3．C22+C32+C42+…+C112= 220 ．（用数字作答）
【考点】组合及组合数公式．
【分析】由组合数的性质C n+1m=C n m+C n m﹣1，把C22换作C33逐步利用该性质化简可得．
【解答】解：C22+C32+C42+…+C112=C33+C32+C42+…+C112=C43+C42+…+C112=…=C123=220．
故答案为：220．
4．用反证法证明命题：“若x＞0，y＞0 且x+y＞2，则和中至少有一个小于2”
时，应假设和都大于等于2 ）．
【考点】反证法与放缩法．
【分析】由于“和中至少有一个小于2”的反面是：“和都大于或等于2”，从而得到答案．
【解答】解：由于“和中至少有一个小于2”的反面是：“和都大于或等于2”，
故用反证法证明命题：“若x＞0，y＞0 且x+y＞2，则和中至少有一个小于2”时，应假设
和都大于或等于2，
故答案为：和都大于或等于2．
5．（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为﹣48 ．（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据x2y7的来由分析两种可能，结合二项展开式求系数．
【解答】解：当因式x﹣2y取x，则二项式（x+y）8则取xy7，此时系数为=8；
当因式x﹣2y取﹣2y，则二项式（x+y）8则取x2y6，此时系数为=﹣56；
所以（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为8﹣56=﹣48；
故答案为：﹣48．
6．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=2 ．
【考点】类比推理．
【分析】本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案．
【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．
由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，
则有cos2α+cos2β=1，
我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，
∴cosα=，cosβ=，cosγ=，
∴cos2α+cos2β+cos2γ
===2．
故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．
7．有5种不同的书（每种书不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人各一本，共有125 种不同的送法．（用数字作答）
【考点】计数原理的应用．
【分析】根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：分析可得，这是一个分步计数原理问题，
根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，
则有5×5×5=125种
故答案为：125．
8．观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此规律，第n个等式可为．
【考点】归纳推理．
【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．
【解答】解：观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
分n为奇数和偶数讨论：
第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．
当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，
当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣
+n2=．
综上，第n个等式为．
故答案为：．
9．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据正三角形的性质可知b=3c，进而根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
【解答】解：依题意可知b=3c
∴a== c
∴e==
故答案为：
10．用数学归纳法证明“1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）”时，由n=k（k＞1）等式成立，推证n=k+1，左边应增加的项为（2k+2）+（2k+3）．
【考点】数学归纳法．
【分析】由数学归纳法可知n=k时，左端为1+2+3+…+（2k+1），到n=k+1时，左端1+2+3+…+（2k+3），从而可得答案．
【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，
当n=1左边所得的项是1+2+3；
假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+…+（2k+1）；
则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+[2（k+1）+1]，
∴从“k→k+1”需增添的项是（2k+2）+（2k+3）．
故答案为：（2k+2）+（2k+3）．
11．设直线2x+3y+1=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为3x ﹣2y﹣7=0 ．
【考点】圆的标准方程．
【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由圆x2+y2﹣2x+4y=0，得（x﹣1）2+（y+2）2=5，
∴圆心坐标为（1，﹣2），
又直线2x+3y+1=0的斜率为，则所求直线的斜率为．
∴弦AB的垂直平分线的方程为y﹣（﹣2）=．
整理得：3x﹣2y﹣7=0．
故答案为：3x﹣2y﹣7=0．
12．甲，乙两人独立地破译1个密码，他们能破译密码的概率分别是和，则这个密码能
被破译的概率为．
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】密码被译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出密码被译出的概率．
【解答】解：两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，，
密码被译出的对立事件是密码不能被译出，
而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，
∴密码被译出的概率：p=1﹣（1﹣）（1﹣）=，
故答案为：．
13．设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）= ．
【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．
【分析】根据变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，得到P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=，
由此解出p值，根据η～B（4，p），代入所求的概率的值，根据P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣p（η=1）得到结果．
【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，
∴P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣•（1﹣p）2=，解得p=，
∴P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）=1﹣（）0（）4﹣=1﹣﹣
=．
故答案为：．
14．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出4个不同的数字构成四位数，不大于3410的个数是305 ．
【考点】计数原理的应用．
【分析】分类讨论，根据不大于3410，利用排列知识，即可得出结论．
【解答】解：首位是1的四位数，有A63=120个；首位是2的四位数，有A63=120个；首位是3，千位是0，1，2的四位数，有C31A52=60个；首位是3，千位是4，十位是0的四位数，有4个，
∴不大于3410的个数是120+120+60+4+1=305．
故答案为：305．
二．解答题（共90分）
15．设复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面的第二象限．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】（1）当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0，得到关于m的方程组，解方程组即可．
（2）复平面内第四象限的点对应的复数，得到实部为正和虚部为负得出不等关系，最后解不等式即可．
【解答】解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0
由，得m=3．
（2）当复数对应的点在第二象限时，
由，
得﹣1＜m＜3．
16．若3名女生，5名男生排成一排拍照，问：（用数字作答）
（1）3名女生相邻的不同排法共有多少种？
（2）3名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（3）5名男生顺序一定的不同排法有多少种？
【考点】计数原理的应用．
【分析】（1）先把3名女生捆绑在一起看作一个复合函数，再和5名男生全排，可得结论；（2）先任意排5名男生形成了6个空，将3名女生插入到其中三个空中；
（3）5名男生的顺序一定，在8个位置任意排3名女生
【解答】解：（1）先把3名女生捆绑在一起看作一个复合函数，再和5名男生全排，故有，
（2）先任意排5名男生形成了6个空，将3名女生插入到其中三个空中，故有，
（3）5名男生的顺序一定，在8个位置任意排3名女生，故有
17．已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n；
（2）求含x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【考点】二项式定理．
【分析】（1）由二项式定理，可得（﹣）n的展开式的通项，又由题意，可得当r=5
时，x的指数为0，即，解可得n的值，
（2）由（1）可得，其通项为T r+1=（﹣）r C10r，令x的指数为2，可得，解可得r的值，将其代入通项即可得答案；
（3）由（1）可得，其通项为T r+1=（﹣）r C10r，令x的指数为整数，可得当r=2，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，可得（﹣）n的展开式的通项为
=，
又由第6项为常数项，则当r=5时，，
即=0，解可得n=10，
（2）由（1）可得，T r+1=（﹣）r C10r，
令，可得r=2，
所以含x2项的系数为，
（3）由（1）可得，T r+1=（﹣）r C10r，
若T r+1为有理项，则有，且0≤r≤10，
分析可得当r=2，5，8时，为整数，
则展开式中的有理项分别为．
18．学校游园活动有这样一个游戏：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．
（1）求在1次游戏中：
①摸出3个白球的概率．
②获奖的概率．
（2）求在3次游戏中获奖次数X的分布列．（用数字作答）
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；
②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；
（2）确定在3次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2、3，求出相应的概率，即可写出分布列．
【解答】解：（1）①设“在1次游戏中摸到i个白球”为事件A i（i=0，1，2，3），
则P（A3）==；
②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，
又P（A2）=•+•=，且A2、A3互斥，
所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3；
P（X=0）=•（1﹣）3=，
P（X=1）=C31••=，
P（X=2）=••（1﹣）=，
P（X=3）=•=；
19．已知数列{a n}满足a n+1=a n2﹣na n+1（n∈N*），且a1=3．
（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并给出证明；
（2）求证：当n≥2时，a n n≥4n n．
【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．
【分析】（1）由，且a1=3，分别令 n=1，2，3即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可
（2）由（1）可得a n=n+2，从而有=（n+2）n，利用二项式定理展开后即可证明
【解答】解：（1）∵，且a1=3．
∴a2=4，a3=5，a4=6
猜想a n=n+2
证明：①当n=1时显然成立
②假设n=k时（k≥1）时成立，即a k=k+2
则n=k+1时，a k+1==
=k+3即n=k+1时命题成立
综上可得，a n=n+2
证明：（2）∵a n=n+2，n≥2
∴=（n+2）n=
≥
≥5n n﹣2n n﹣1=4n n+n n﹣1（n﹣2）≥4n n，即证
20．设f（x）=﹣x3+x2+2ax．
（1）若f（x）在（，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间的最大值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）由已知得f′（x）=﹣x2+x+2a，求出函数的最值，继而得到a的取值范围．（2）先根据导数求出极值点．在判断函数的再某个区间上的单调性，根据单调性得到最值．
【解答】解：（1）由．
当时，f'（x）的最大值为．
因为f（x）在上是单调减函数，则f'（x）≤0在上成立，
所以，解得，故所求实数a的取值范围为．
（2）令．
因为当x＜x1或x＞x2时f'（x）＜0，当x1＜x＜x2时f'（x）＞0
所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），
又．
所以f（x）在[1，4]上的最小值为．
得a=1，x2=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为．。